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Exo7

Calculs de primitives et d"intégrales

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :

1)1x

3+12)x2x

3+13)x5x

3x2x+14)1x(x2+x+1)55)1x(x2+1)2

6)x2+xx

6+17)1x

4+18)1(x4+1)29)1x

8+x4+110)x(x4+1)3

11)1(x+1)7x71

Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :

4x+sin4x9)sinxsin(2x)sin

4x+cos4x+110)tanx1+sin(3x)

16)thx1+chx17)1sh

5x18)11chx

Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :

1)1px

2+2x+5etpx

2+2x+5 2)1p2xx23)p1+x6x

4)1p1+x+p1x5)qx+1x1

6)x2+1x

px

4x2+17)q1pxpx

8)11+p1+x29)3px

3+1x 2et13 px

3+110)1px+1+3px+1

Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :

11)arctanxpx

12)xex(x+1)213) (xe

)xlnx14)xnlnx(n2N)15)eaxcos(ax) ((a;a)2(R)2)

16)sin(lnx)et cos(lnx)17)px

n+1x

18)x2exsinx

Exercice 5

Calculer les intégrales suivantes (a,bréels donnés,petqentiers naturels donnés) 1)Ra

1=alnxx

2+1(0

02cos(px)cos(qx)dxetRp

02cos(px)sin(qx)dxetRp

02sin(px)sin(qx)dx

3)Rb ap(xa)(bx)dx4)R2

2(jx1j+jxj+jx+1j+jx+2j)dx

5)R2

1=21+1x

2arctanx dx6)R1

1p1+jx(1x)jdx

7)Rp

0xsinx1+cos2x8)Rx

1(lnt)ndt(n2N)

Condition nécessaire et suffisante sura,b,cetdpour que les primitives de(xa)(xb)xc)2(xd)2soient rationnelles (a,b,

cetdréels donnés).

Etude def(x) =R1

1sinx12tcosx+t2dt.

Etude def(x) =R1

0Max(x;t)dt.

0sinnx dx.

1. Calculer W0etW1. Déterminer une relation entreWnetWn+2et en déduireW2netW2n+1en fonction den. 2. Etudier les v ariationsde la suite (Wn)et en déduire limn!+¥Wn+1W n. 3.

Montrer que la suite (nWnWn1)n2Nest constante. En déduire limn!+¥Wn, puis un équivalent simple de

W n. En écrivantRp=2 0=Ra 0+Rp a2, retrouver directement limn!+¥Wn. 4.

Montrer que lim

n!+¥n1:3::::(2n1)2:4::::(2n) 2=1p . (Formule de WALLIS)

Pournentier naturel, on poseIn=Rp=4

0tannx dx.

1. Calculer I0etI1. Trouver une relation entreInetIn+2. En déduireInen fonction den. 2.

Montrer que Intend vers 0 quandntend vers+¥, et en déduire les limites des suites(un)et(vn)définies

par :un=ånk=1(1)k1k (n2N) etvn=ånk=1(1)k12k1.

Correction del"exer cice1 N1.Iest l"un des deux intervalles]¥;1[ou]1;+¥[.fest continue surIet admet donc des primitives

surI. 1X

3+1=1(X+1)(X+j)(X+j2)=aX+1+bX+j+b

X+j2; oùa=13(1)2=13 etb=13(j)2=j3 . Par suite, 1X

3+1=13

(1X+1+jX+j+j2X+j2) =13 (1X+1+X+2X

2X+1) =13

(1X+112 2X1X

2X+1+32

1X 2X+1) 13 (1X+112 2X1X

2X+1+32

1(X12 )2+(p3 2 )2):

Mais alors,

Z 1x

3+1dx=13

(lnjx+1j12 ln(x2x+1)+32 2p3 arctanx12p3 2 ) =16 ln(x1)2x

2x+1+1p3

arctan2x1p3 +C:

2.Iest l"un des deux intervalles]¥;1[ou]1;+¥[. SurI,Rx2x

3+1dx=13

ln(x3+1)+C.

3.X3X2X+1=X2(X1)(X1) = (X21)(X1) = (X1)2(X+1). Donc, la décomposition

en éléments simples def=X5X

3X2X+1est de la formeaX2+bX+c+d1X1+d2(X1)2+eX+1.

Détermination dea,betc. La division euclidienne deX5parX3X2X+1 s"écritX5= (X2+X+

2)(X3X2X+1)+2X2+X2. On a donca=1,b=1 etc=2.

e=limx!1(x+1)f(x) =(1)5(11)2=14 . Puis,d2=limx!1(x1)2f(x) =151+1=12 . Enfin,x=0 fournit

0=cd1+d2+eet donc,d1=212

+14 =94 . Finalement, X 5X

3X2X+1=X2+X+294

1X1+12

1(X1)214

1X+1; et donc,Idésignant l"un des trois intervalles]¥;1[,]1;1[ou]1;+¥[, on a surI Z x5x

3x2x+1dx=x33

+x22 +2x12(x1)14 lnjx+1j+C: 4.

Sur R,

Z

1x(x2+x+1)5dx=12

Z

2x+1(x2+x+1)5dx+32

Z

1(x2+x+1)5dx=18(x2+x+1)4+32

Z

1((x+12

)2+34 )5dx

18(x2+x+1)4+32

Z 1(( p3 2 u)2+34 )5p3 2 du(en posantx+12 =up3 2

18(x2+x+1)4+28p3

3 4Z

1(u2+1)5du:

Pourn2N, posons alorsIn=Rdu(u2+1)n. Une intégration par parties fournit 3 I et donc,In+1=12n u(u2+1)n+(2n1)In . Mais alors, I 5=18 u(u2+1)4+78 I4=18 u(u2+1)4+78:6u(u2+1)3+7:58:6I3 18 18

2+1+7:5:3:18:6:4:2I1

18

2+1+7:5:3:18:6:4:2arctanu+C:

Maintenant,

u

2+1= (2p3

(x+12 ))2+1=43 x2+43 x+13 +1=43 (x2+x+1):

Par suite,

2 8p3 3 4Z

1(u2+1)5du=28p3

3 4 18 3 44
42p3
(x+12 )(x2+x+1)4+78:63 34
32p3
(x+12 )(x2+x+1)3+7:58:6:43 24
22p3
(x+12 )(x2+x+1)2

7:5:38:6:4:234

2p3 (x+12 )x

2+x+1+7:5:3:18:6:4:2arctan2x+1p3

+C! 18

2x+1(x2+x+1)4+736

2x+1(x2+x+1)3+35108

2x+1(x2+x+1)2+3554

2x+1x 2+x+1 70p3
81
arctan2x+1p3 +C; (il reste encore à réduire au même dénominateur). 5.

On pose u=x2et doncdu=2xdx

Z

1x(x2+1)2dx=Zxx

2(x2+1)2dx=12

Z duu(u+1)2=12 Z (1u

1u+11(u+1)2)du

12 (lnjujlnju+1j+1u+1)+C 12 (lnx2x

2+1+1x

2+1)+C:

6.

Rx2+xx

6+1dx=Rx2x

6+1dx+Rxx

6+1dx.

Ensuite, en posantu=x3et doncdu=3x2dx,

Z x2x

6+1dx=13

Z 1u

2+1du=13

arctanu+C=13 arctan(x3)+C; et en posantu=x2et doncdu=2x dx, 4 Z xx

6+1dx=12

Z 1u

3+1du=16

ln(u1)2u

2u+1+1p3

arctan2u1p3 +C(voir 1)) 16 ln(x21)2x

4x2+1+1p3

arctan2x21p3 +C

Finalement,

Z x2+xx

6+1dx=13

arctan(x3)+16 ln(x21)2x

4x2+1+1p3

arctan2x21p3 +C: 7. 1X

4+1=å3k=0l

kXzkoùzk=ei(p4 +kp2 ). De plus,lk=14z3k=zk4z4k=zk4 . Ainsi, 1X

4+1=14

=14 p2X2X

2p2X+1p2X+2X

2+p2X+1!

Mais, p2X2X

2p2X+1=1p2

2Xp2 X

2p2X+11(X1p2

)2+(1p2 )2; et donc, Z p2x2x

2p2x+1dx=1p2

ln(x2p2x+1)p2arctan(p2x1)+C; et de même, Z p2x+2x

2+p2x+1dx=1p2

ln(x2+p2x+1)+p2arctan(p2x+1)+C:

Finalement,

Z 1x

4+1dx=1p2

lnx2p2x+1x

2+p2x+1p2(arctan(p2x1)+arctan(p2x+1))+C:

8.

Une intégration par parties fournit

Z 1x

4+1dx=xx

4+1+Z4x4(x4+1)2dx=xx

4+1+4Zx4+11(x4+1)2dx

xx

4+1+4Z1x

4+1dx4Z1(x4+1)2dx

Et donc,

Z

1(x4+1)2dx=14

(xx

4+1+3Z1x

4+1dx) =:::

5

9.Posons R=1X

8+X4+1.

X

8+X4+1=X121X

= (Xeip=6)(Xeip=6)(X+eip=6)(X+eip=6)(Xj)(Xj2)(X+j)(X+j2):

Rest réelle et paire. Donc,

R=aXj+a

Xj2aX+ja

X+j2+bXeip=6+b

Xeip=6bX+eip=6b

X+eip=6:

et donc, aXj+a

Xj2=112

(12jXj+12j2Xj2) =14 1X

2+X+1=14

1(X+12

)2+(p3 2 )2; et par parité, aXj+a

Xj2aX+ja

X+j2=14

(1(X+12 )2+(p3 2 )2+1(X12 )2+(p3 2 )2): =eip=6(2j)12 =2eip=6i12 , et donc, bXeip=6+b

Xeip=6=112

(2eip=6iXeip=6+2eip=6+iXeip=6) =112

2p3X+3X

2p3X+1=14

p3 2Xp3 X

2p3X+1:

Par parité,

bXeip=6+b

Xeip=6bX+eip=6b

X+eip=6=14

p3 2Xp3 X

2p3X+1+14

p3 2X+p3 X

2+p3X+1:

Finalement,

Z 1x

8+x4+1=12

p3 (arctan2x1p3 +arctan2x+1p3 )+14 p3 lnx2+p3x+1x

2p3x+1+C:

10. En posant u=x2et doncdu=2x dx, on obtientRx(x4+1)3dx=12 R

1(u2+1)3.

Pourn>1, posonsIn=R1(u2+1)ndu. Une intégration par parties fournit : I u(u2+1)n+2n(InIn+1); et donc,8n>1;In+1=12n(u(u2+1)n+(2n1)In).

On en déduit que

I 3=14 (u(u2+1)2+3I2) =u4(u2+1)2+38(u2+1)+38 arctanu+C; 6 et finalement que Z x(x4+1)3dx=116 (2x2(x4+1)2+3x

4+1+3arctan(x2))+C:

11. =7X(X+1)(X4+2X3+3X2+2X+1) =7X(X+1)(X2+X+1)2:

Par suite,

7(X+1)7X71=1X(X+1)(Xj)2(Xj2)2=aX

+bX+1+c1Xj+c2(Xj)2+c

1Xj2+c

2(Xj2)2:

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