Nous allons voir que si une variable aléatoire suit une certaine loi, alors ses réalisations (sous forme L'espérance de la loi du χ2(ν) est égale au nombre ν de degrés de liberté et sa variance est 2ν 4 très grand (n > 50) et p très petit (p < 0, 1) notions simples comme le biais et la variance et est relativement facile à
| Previous PDF | Next PDF |
[PDF] degré de libertéx - Page personnelle de Benjamin Putois
28 août 2008 · Cours réalisé par Benjamin Putois 2008 1 La notion de degré de liberté « En donnant la liberté aux esclaves, nous assurons celle des
[PDF] La liberté
Parmi les notions que la réflexion philosophique se donne pour tâche d'élaborer et notion de liberté Liberté et suis-je libre de faire ce que je veux, alors que je suis enchaîné par un cours : « Phénoménologie de l'Esprit », I, 2e degré B, § 31 à 34, lieu que, selon le déterminisme, le plus petit changement écarte de
[PDF] Cours de Statistiques inférentielles
Nous allons voir que si une variable aléatoire suit une certaine loi, alors ses réalisations (sous forme L'espérance de la loi du χ2(ν) est égale au nombre ν de degrés de liberté et sa variance est 2ν 4 très grand (n > 50) et p très petit (p < 0, 1) notions simples comme le biais et la variance et est relativement facile à
[PDF] Cours de Statistiques niveau L1-L2 - Archive ouverte HAL
7 mai 2018 · Statistique inférentielle : elle a pour but de faire des prévisions et de prendre des décisions Prévision sur les observations futures ⇒ associer un degré de confiance Elles ont des taux de guérison plus faible que les petites tumeurs 2 Le concept de variable aléatoire formalise la notion de grandeur
[PDF] Cours de probabilités et statistiques
B 3 Fractiles de la loi du χ2 (ν = nombre de degrés de liberté) 64 Dans ce cas, il suffit de savoir calculer le cardinal des ensembles uniforme pour chacune de ces petites expériences aléatoires, on a encore la probabilité
[PDF] COURS DE MECANIQUE 2ème année - Université du Maine
afin de faciliter le suivi du cours magistral, mais ne répond pas aux normes de présentation Le degré de liberté est donc une variable qui peut prendre deux états auxquels on peut Moment d'un glisseur en un point - notion de couple
[PDF] CAPSULE 2 : Le khi2 calculé et son interprétation - Fun MOOC
Il existe une formule simple pour calculer le degré de liberté d'un tableau Il suffit pour nous de savoir qu'elle existe et que c'est avec elle que nous allons
[PDF] Résumé du Cours de Statistique Descriptive - UniNE
15 déc 2010 · Apprendre les principales techniques de statistique descriptive univariée A partir de la plus petite valeur observée, on obtient les bornes de classes La notion de quantile d'ordre p (o`u 0 < p < 1) généralise la médiane `a q degrés de liberté est une variable de Fisher `a 1 et q degrés de liberté
[PDF] Analyse de corrélation - Université Lumière Lyon 2
L'analyse graphique est une bonne manière de comprendre les différentes à degrés de liberté infini, donc vers la loi normale plus lente et, pour les petits effectifs, la distribution de ˆr tend à être Le coefficient de Kendall repose sur la notion de paires discordantes et Décrivons le processus de formation de S :
[PDF] Annexe_méthode de calcul - RT batiment
[PDF] CHAPITRE XIII : Les circuits ? courant alternatif : déphasage - IIHE
[PDF] La fonction exponentielle - Lycée d 'Adultes
[PDF] le temps de travail - CIG Versailles
[PDF] Formules de calcul des agrégats de la comptabilité nationale - 9alami
[PDF] LA METHODE DES COÛTS COMPLETS Objectif(s) : o Les coûts
[PDF] LA METHODE DES COÛTS COMPLETS Objectif(s) : o Les coûts
[PDF] CHAPITRE 6 : LES ESCALIERS
[PDF] 1 Gérer la paie (p 5)
[PDF] contrat archix
[PDF] Les Incoterms et le calcul du prix de vente export
[PDF] les conges annuels des agents territoriaux - CDG71
[PDF] puissances exercices
[PDF] Statistiques - Académie en ligne
Licence 2-S4 SI-MASS
Année 2018Cours de Statistiques inférentiellesPierre DUSART
2Chapitre1Lois statistiques
1.1 Introduction
Nous allons voir que si une variable aléatoire suit une certaine loi, alors ses réalisations (sous forme
d"échantillons) sont encadrées avec des probabilités de réalisation. Par exemple, lorsque l"on a une énorme
urne avec une proportionpde boules blanches alors le nombre de boules blanches tirées sur un échan-
tillon de taillenest parfaitement défini. En pratique, la fréquence observée varie autour depavec des
probabilités fortes autour depet plus faibles lorsqu"on s"éloigne dep.Nous allons chercher à faire l"inverse : l"inférence statistique consiste à induire les caractéristiques in-
connues d"une population à partir d"un échantillon issu de cette population. Les caractéristiques de
l"échantillon, une fois connues, reflètent avec une certaine marge d"erreur possible celles de la population.
1.1.1 Fonction de répartition
La densité de probabilitép(x)ou la fonction de répartitionF(x)définissent la loi de probabilité d"une
variable aléatoire continueX. Elles donnent lieu aux représentations graphiques suivantes :Figure1.1 - fonction répartition
La fonction de distribution cumuléeF(x)exprime la probabilité queXn"excède pas la valeurx:F(x) =P(Xx):
De même, la probabilité que X soit entreaetb(b > a) vautP(a < X < b) =F(b)F(a):
4CHAPITRE 1. LOIS STATISTIQUES1.1.2 Grandeurs observées sur les échantillons
L"espéranceE(X)d"une variable aléatoire discrèteXest donnée par la formuleE(X) =X
ix iP(xi): L"espérance est également appelée moyenne et notée dans ce casX. Sa variance2Xest l"espérance des carrés des écarts avec la moyenne :2X=E[(XX)2] =X
i(xiX)2P(xi) =X ix2iP(xi)2X:
Son écart-typeXest la racine positive de la variance.1.2 Lois usuelles
1.2.1 Loi normale ou loi de Gauss
Une variable aléatoire réelleXsuit une loi normale (ou loi gaussienne, loi de Laplace-Gauss) d"espérance
et d"écart type(nombre strictement positif, car il s"agit de la racine carrée de la variance2) si cette
variable aléatoire réelleXadmet pour densité de probabilité la fonctionp(x)définie, pour tout nombre
réelx, par : p(x) =1 p2e12 (x )2: Une telle variable aléatoire est alors dite variable gaussienne.Une loi normale sera notée de la manière suivanteN(;)car elle dépend de deux paramètres(la
moyenne) et(l"écart-type). Ainsi si une variable aléatoireXsuitN(;)alorsE(X) =etV(X) =2:
Lorsque la moyennevaut 0, et l"écart-type vaut 1, la loi sera notéeN(0;1)et sera appelée loi normale
standard. Sa fonction caractéristique vautet2=2. Seule la loiN(0;1)est tabulée car les autres lois (c"est-
à-dire avec d"autres paramètres) se déduise de celle-ci à l"aide du théorème suivant : SiYsuitN(;)
alorsZ=Y suitN(0;1). On notela fonction de répartition de la loi normale centrée réduite : (x) =P(Z < x) avecZune variable aléatoire suivantN(0;1).Propriétés et Exemples :(x) = 1(x),
(0) = 0:5;(1:645)0:95;(1:960)0:9750Pourjxj<2, une approximation depeut être utilisée; il s"agit de son développement de Taylor à
l"ordre 5 au voisinage de 0 : (x)0:5 +1p2 xx36 +x540Inversement, à partir d"une probabilité, on peut chercher la borne pour laquelle cette probabilité est
effective. Cours Proba-Stat / Pierre DUSART5Notation : on noteraz=2le nombre pour lequelP(Z > z=2) ==2
lorsque la variable aléatoire suit la loi normale standard.risque0:010:020:050:10valeur critiquez=22:582:331:961:645coefficient de sécuritéc99%98%95%90%
A l"aide des propriétés de la loi normale standard, on remarque que le nombrez=2vérifie également
P(Z < z=2) =
P(Z P(z=2< Z < z=2) =
P(jZj> z=2) =
La somme de deux variables gaussiennes indépendantes est elle-même une variable gaussienne (stabilité) :
SoientXetYdeux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les loisN(1;1)et N(2;2). Alors, la variable aléatoireX+Ysuit la loi normaleN(1+2;p 21+22).
1.2.2 Loi du2(khi-deux)
Définition 1SoitZ1;Z2;:::;Zune suite de variables aléatoires indépendantes de même loiN(0;1).
Alors la variable aléatoireP
i=1Z2isuit une loi appeléeloi du Khi-deuxàdegrés de liberté, notée 2(). Proposition 1.2.11. Sa fonction caractéristique est(12it)=2. 2. La densité de la loi du2()est
f (x) = 12 =2(=2)x=21ex=2pourx >0 0sinon.
oùest la fonction Gamma d"Euler définie par(r) =R1 0xr1exdx.
3. L"espérance de la loi du2()est égale au nombrede degrés de liberté et sa variance est2.
4. La somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement2(1)et2(2)suit
aussi une loi du2avec1+2degrés de liberté. PreuveCalculons la fonction caractéristique deZ2lorsqueZsuitN(0;1). '(t) =E(eitZ2) =Z 1 1 eitz21p2ez2=2dz 1p2Z 1 1 e12 (12it)z2dz 1p2Z 1 1e 12 u2(12it)1=2dten posantu= (12it)1=2z '(t) = (12it)1=2 Maintenant pour la somme devariablesZ2iindépendantes, on a '(t) = (12it)=2: 6CHAPITRE 1. LOIS STATISTIQUESMontrons maintenant que la fonction de densité est correcte. Pour cela, calculons la fonction caractéris-
tique à partir de la densité : '(t) =E(eitx) =Z +1 0 eitx12 =2(=2)x=21ex=2dx 12 =2(=2)Z +1 0 x(1=2it)xdx 12 =2(=2)1(1=2it)(1=2it)=21Z +1 0 u=21euduen posantu= (1=2it)x 12 =2(=2)1(1=2it)=2Z +1 0 u=21eudu |{z} =(=2) '(t) =1(12it)=2 Calculons maintenant l"espérance et la variance. Selon la définition de la loi du2, chaque variable
Z isuit la loi normale centrée réduite. AinsiE(Z2i) =V ar(Zi) = 1etE(P i=1Z2i) =. De même, V(Zir) =E(Z4i)(E(Z2i))2=41:On sait que pour une loi normale centrée réduite4= 3donc V ar(Z2i) = 2etV ar(P
i=1Z2i) = 2: La dernière proposition est évidente de par la définition de la loi du2. Fonction inverse: on peut trouver une tabulation de la fonction réciproque de la fonction de répartition
de cette loi dans une table (en annexe) ou sur un logiciel tableur : 7!2;(FonctionKHIDEUX.inverse(;));
c"est-à-dire la valeur de2;telle queP(2()> 2;) =. Exemple : Pour= 0:990et= 5,2= 0:554 =20:99;5.Figure1.2 - fonction2inverse 1.2.3 Loi de Student
Définition 2SoientZetQdeux variables aléatoires indépendantes telles queZsuitN(0;1)etQsuit 2(). Alors la variable aléatoire
T=ZpQ=
suit une loi appeléeloi de Studentàdegrés de liberté, notéeSt(). Cours Proba-Stat / Pierre DUSART7Proposition 1.2.21. La densité de la loi de la loi de Student àdegrés de liberté est
f(x) =1p +12 )(=2)1(1 +x2=)+12 2. L"espérance n"est pas définie pour= 1et vaut 0 si2. Sa variance n"existe pas pour2et
vaut=(2)pour3. 3. La loi de Student converge en loi vers la loi normale centrée réduite.
Remarque : pour= 1, la loi de Student s"appelle loi de Cauchy, ou loi de Lorentz. 1.2.4 Loi de Fisher-Snedecor
Définition 3SoientQ1etQ2deux variables aléatoires indépendantes telles queQ1suit2(1)etQ2 suit2(2)alors la variable aléatoire F=Q1=1Q
2=2 suit une loi de Fisher-Snedecor à(1;2)degrés de liberté, notéeF(1;2). Proposition 1.2.3La densité de la loiF(1;2)est
f(x) =(1+22 )(1=2)(2=2) 1 2 1=2x1=21(1 +
1 2x) 1+22 six >0 (0sinon): Son espérance n"existe que si23et vaut2
22. Sa variance n"existe que si25et vaut22
2(1+22)
1(22)2(24).
Proposition 1.2.41. SiFsuit une loi de FisherF(1;2)alors1F suit une loi de FisherF(2;1). 2. SiTsuit une loi de Student àdegrés de liberté alorsT2suit une loi de FisherF(1;).
1.2.5 Fonctions inverses et TableurLoiNotationVariableFct RépartitionV. critiqueFonction inverse
GaussN(0;1)Zloi.normale.standard(z)z
loi.normale.standard.inverse(1)Khi-Deux 2()K 2khideux(k;;1)
;1;2inverse.Loi.f(;1;2)) 8CHAPITRE 1. LOIS STATISTIQUES
Chapitre2Convergences
2.1 Convergence en probabilité
2.1.1 Inégalités utiles
Inégalité de Markov simplifiée
SoitYune v.a.r.,gune fonction croissante et positive ou nulle sur l"ensemble des réels, vérifiantg(a)>0,
alors 8a >0;P(Ya)E(g(Y))g(a):
Preuve
E(g(Y)) =Z
g(y)f(y)dy=Z Y Yag(y)f(y)dy
Z P(z=2< Z < z=2) =
P(jZj> z=2) =
La somme de deux variables gaussiennes indépendantes est elle-même une variable gaussienne (stabilité) :
SoientXetYdeux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les loisN(1;1)et N(2;2). Alors, la variable aléatoireX+Ysuit la loi normaleN(1+2;p21+22).
1.2.2 Loi du2(khi-deux)
Définition 1SoitZ1;Z2;:::;Zune suite de variables aléatoires indépendantes de même loiN(0;1).
Alors la variable aléatoireP
i=1Z2isuit une loi appeléeloi du Khi-deuxàdegrés de liberté, notée 2(). Proposition 1.2.11. Sa fonction caractéristique est(12it)=2.2. La densité de la loi du2()est
f (x) = 12 =2(=2)x=21ex=2pourx >00sinon.
oùest la fonction Gamma d"Euler définie par(r) =R10xr1exdx.
3. L"espérance de la loi du2()est égale au nombrede degrés de liberté et sa variance est2.
4. La somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement2(1)et2(2)suit
aussi une loi du2avec1+2degrés de liberté. PreuveCalculons la fonction caractéristique deZ2lorsqueZsuitN(0;1). '(t) =E(eitZ2) =Z 1 1 eitz21p2ez2=2dz 1p2Z 1 1 e12 (12it)z2dz 1p2Z 1 1e 12 u2(12it)1=2dten posantu= (12it)1=2z '(t) = (12it)1=2 Maintenant pour la somme devariablesZ2iindépendantes, on a '(t) = (12it)=2:6CHAPITRE 1. LOIS STATISTIQUESMontrons maintenant que la fonction de densité est correcte. Pour cela, calculons la fonction caractéris-
tique à partir de la densité : '(t) =E(eitx) =Z +1 0 eitx12 =2(=2)x=21ex=2dx 12 =2(=2)Z +1 0 x(1=2it)xdx 12 =2(=2)1(1=2it)(1=2it)=21Z +1 0 u=21euduen posantu= (1=2it)x 12 =2(=2)1(1=2it)=2Z +1 0 u=21eudu |{z} =(=2) '(t) =1(12it)=2Calculons maintenant l"espérance et la variance. Selon la définition de la loi du2, chaque variable
Z isuit la loi normale centrée réduite. AinsiE(Z2i) =V ar(Zi) = 1etE(P i=1Z2i) =. De même, V(Zir) =E(Z4i)(E(Z2i))2=41:On sait que pour une loi normale centrée réduite4= 3doncV ar(Z2i) = 2etV ar(P
i=1Z2i) = 2: La dernière proposition est évidente de par la définition de la loi du2.Fonction inverse: on peut trouver une tabulation de la fonction réciproque de la fonction de répartition
de cette loi dans une table (en annexe) ou sur un logiciel tableur :7!2;(FonctionKHIDEUX.inverse(;));
c"est-à-dire la valeur de2;telle queP(2()> 2;) =. Exemple : Pour= 0:990et= 5,2= 0:554 =20:99;5.Figure1.2 - fonction2inverse1.2.3 Loi de Student
Définition 2SoientZetQdeux variables aléatoires indépendantes telles queZsuitN(0;1)etQsuit2(). Alors la variable aléatoire
T=ZpQ=
suit une loi appeléeloi de Studentàdegrés de liberté, notéeSt().Cours Proba-Stat / Pierre DUSART7Proposition 1.2.21. La densité de la loi de la loi de Student àdegrés de liberté est
f(x) =1p +12 )(=2)1(1 +x2=)+122. L"espérance n"est pas définie pour= 1et vaut 0 si2. Sa variance n"existe pas pour2et
vaut=(2)pour3.3. La loi de Student converge en loi vers la loi normale centrée réduite.
Remarque : pour= 1, la loi de Student s"appelle loi de Cauchy, ou loi de Lorentz.1.2.4 Loi de Fisher-Snedecor
Définition 3SoientQ1etQ2deux variables aléatoires indépendantes telles queQ1suit2(1)etQ2 suit2(2)alors la variable aléatoireF=Q1=1Q
2=2 suit une loi de Fisher-Snedecor à(1;2)degrés de liberté, notéeF(1;2).Proposition 1.2.3La densité de la loiF(1;2)est
f(x) =(1+22 )(1=2)(2=2) 1 21=2x1=21(1 +
1 2x) 1+22 six >0 (0sinon):Son espérance n"existe que si23et vaut2
22. Sa variance n"existe que si25et vaut22
2(1+22)
1(22)2(24).
Proposition 1.2.41. SiFsuit une loi de FisherF(1;2)alors1F suit une loi de FisherF(2;1).2. SiTsuit une loi de Student àdegrés de liberté alorsT2suit une loi de FisherF(1;).
1.2.5 Fonctions inverses et TableurLoiNotationVariableFct RépartitionV. critiqueFonction inverse
GaussN(0;1)Zloi.normale.standard(z)z
loi.normale.standard.inverse(1)Khi-Deux 2()K2khideux(k;;1)
;1;2inverse.Loi.f(;1;2))8CHAPITRE 1. LOIS STATISTIQUES
Chapitre2Convergences
2.1 Convergence en probabilité
2.1.1 Inégalités utiles
Inégalité de Markov simplifiée
SoitYune v.a.r.,gune fonction croissante et positive ou nulle sur l"ensemble des réels, vérifiantg(a)>0,
alors8a >0;P(Ya)E(g(Y))g(a):
Preuve
E(g(Y)) =Z
g(y)f(y)dy=Z Y Yag(y)f(y)dyYag(y)f(y)dycargest positive ou nulle
g(a)ZYaf(y)dycargest croissante
=g(a)P(Ya)AinsiE(g(Y))g(a)P(Ya).
Rappel : Inégalité de Bienaymé-Chebyshev
SoitXune variable aléatoire admettant une espéranceE(X)et de variance finie2(l"hypothèse de variance finie garantit l"existence de l"espérance).L"inégalité de Bienaymé-Chebychev s"énonce de la façon suivante : pour tout réel"strictement positif,
P(jXE(X)j ")2"
2: PreuveVoir Cours S3 ou prendreY=jXE(X)j,a="etg(t) =t2dans l"inégalité de Markov.10CHAPITRE 2. CONVERGENCES2.1.2 Convergence en probabilité
Définition 4 (Convergence en probabilité)On considère une suite(Xn)d"une v.a. définie sur
Xune autre v.a. définie sur
On dit que la suite(Xn)converge en probabilité vers une constante réelle`si8" >0;limn!1P(jXn`j> ") = 0:
On dit que la suite(Xn)converge en probabilité versXsi8" >0;limn!1P(jXnXj> ") = 0:
Exemple de la loi binomiale :On réalisenexpériences indépendantes et on suppose que lors dechacune de ces expériences, la probabilité d"un événement appelé "succès" estp. SoitSnle nombre de
succès obtenus lors de cesnexpériences. La variance aléatoireSn, somme denvariables de Bernoulli
indépendantes, de même paramètrep, suit une loi binomiale :Sn,! B(n;p). On s"intéresse alors à la variable aléatoire Snn , proportion de succès surnexpériences, a donc pour espéranceE(Snn ) =pet pour varianceV(Snn ) =1n2V(Sn) =p(1p)n
. Commep(1p)atteint son maximumlorsquep= 1=2, on a ainsip(1p)1=4. En appliquant l"inégalité de Bienaymé-Chebyshev, il vient
P(jSn=npj ")p(1p)n"
214n"2:
Ainsi pour tout" >0, il existe >0(plus précisément >14n"2) tel queP(jSn=npj ")< ou encorelimn!1P(jSn=npj ") = 0. La variable aléatoireSnn converge en probabilité versp.Théorème 2.1.1Soit(Xn)une suite de variables aléatoires sur le même espace probabilisé(
;P)ad- mettant des espérances et des variances vérifiant lim n!1E(Xn) =`etlimn!1V(Xn) = 0; alors les(Xn)convergent en probabilité vers`. PreuveSoit" >0. PosonsE(Xn) =`+unaveclimun= 0. Alors il existeN2Ntel que : nN) junj< "=2 et donc à partir du rangN, jXnE(Xn)j< "=2) jXn`j< ";(2.1) carjXn`j=jXnE(Xn) +E(Xn)`j jXnE(Xn)j+jE(Xn)`j. L"implication (2.1) peut être encore écrite sous la forme jXn`j ") jXnE(Xn)j "=2: Par conséquent, en utilisant l"inégalité de Bienaymé-Chebyshev,P(jXn`j ")P(jXnE(Xn)j "=2)V(Xn)("=2)2;
qui tend vers 0 quandntend vers l"infini. Conséquence : Pour que(Xn)converge en probabilité versX, il suffit queE(XnX)!0etV(XnX)!0lorsquen! 1(la démonstration passe par l"inégalité de Bienaymé-Chebychev).
Cours Proba-Stat / Pierre DUSART112.1.3 Convergence en moyenne quadratique Définition 5Une suite de v.a.r.(Xn)n2Nconverge en moyenne quadratique vers une v.a.r.Xsi lim n!1E((XnX)2) = 0:Propriétés :
1. La convergence en moyenne quadratique entraîne la convergence en probabilité.
2. Pour les(Xn)sont des variables aléatoires d"espérance et de variance finies, siE(Xn)!et
V ar(Xn)!0alorsXnconverge en moyenne quadratique vers. Preuve1. On applique l"inégalité de Markov avecY=jXnXj,a="2etg(t) =t2. Il suffit ensuite de remarquer queP(jXnXj2> "2) =P(jXnXj> ")et utiliser l"hypothèse que limE((XnX)2) = 0.2.limE((Xn)2) = limE(X2n)2E(X) +2= limE(X2n)E(Xn)2= limV(Xn) = 0:
2.1.4 Loi faible des grands nombres
Théorème 2.1.2Soit(Xn)une suite de variables aléatoires indépendantes sur le même espace probabi-
lisé( ;P)ayant une même espérance mathématique`et des variances vérifiantlimn!11n 2Pn i=12i= 0:On poseSn=X1++XnalorsSnn
converge en probabilité vers`.Si on considère une suite de variables aléatoires(Xn)indépendantes définies sur un même espace probabi-
lisé, ayant même espérance et même variance finie notées respectivementE(X)etV(X). La loi faible des
grands nombres stipule que, pour tout réel"strictement positif, la probabilité que la moyenne empirique
S nn s"éloigne de l"espérance d"au moins", tend vers 0 quandntend vers l"infini. La moyenneSnn converge en probabilité vers l"espérance communeE(X).PreuveOn aE(Sn=n) =`etlimV(Sn=n) = lim1n
2P2i= 0par hypothèse. Ainsi par le théorème
2.1.1,Sn=nconverge en probabilité vers`.
2.2 Convergence en loi
Définition 6Soient(Xn)etXdes variables aléatoires sur un même espace probabilisé( ;P), de fonc- tions de répartition respectivesFnetF; on dit que les(Xn)convergent versXen loi (et on noteXnL!X) si en tout pointxoùFest continue, lesFn(x)convergent versF(x).Propriétés : (admises)
1. La convergence en probabilité entraîne la convergence en loi.(XnP!X))(XnL!X)
2. Si les(Xn)etXsont des variables aléatoires discrètes, alorsXnconverge en loi versXsi et
seulement si8x2R;limn!1P(Xn=x) =P(X=x):
PreuveIl s"agit de montrer que si(Xn)nconverge en probabilité versX, la suite(FXn)nconverge vers FX(respectivement préalablement notéesFnetF). On utilise le lemme suivant : soientA,Bdes variables
aléatoires réelles,cun réel et" >0. Alors on a l"inégalitéP(Ac)B(c+") +P(jABj> ");
12CHAPITRE 2. CONVERGENCEScar
P(AC) =P(Ac\Bc+") +P(Ac\B > c+")
=P(AcjBc+")P(Bc+") +P(Ac\B" > c)P(Bc+") +P(AB >")carP(j)1
P(Bc+") +P(jABj> ")
carP(jABj> ") =P(AB > ") +P(AB <")P(AB <") De ce lemme, il vient respectivement pour(A=Xn; c=x; B=X)puis(A=X; c=x"; B=Xn)P(Xnx)P(Xx+") +P(jXnXj> ")(2.2)
P(Xnx)P(Xx") +P(jXnXj> ")(2.3)
Passons à la démontration proprement dite. Soitxun point oùFest continue. Soit >0. Par continuité
deFXenx, il existe" >0tel quejFX(x+")FX(x)j< =2etjFX(x")FX(x)j< =2. Pour cet", de part la convergence de(Xn)nversX, il existen0tel que, pour toutnn0,P(jXnXj> ")< =2:
Ainsi par(2:2),
FXn(x)FX(x)FX(x+") +P(jXnXj> ")FX(x)
FX(x+")FX(x) +P(jXnXj> ")< =2 +=2 =
et par(2:3), FXn(x)FX(x)FX(x")FX(x)P(jXnXj> ")
=2=2 =Donc8 >0;9n0tel que8nn0;jFXn(x)FX(x)j< .
Proposition 2.2.1 (Convergence de la loi hypergéométrique vers la loi binomiale)Soit(XN)une suite de variables aléatoires sur un même espace probabilisé, de loi hypergéométrique :XN,!
H(N;n;p)oùnetpsont supposés constants. Alors(XN)convergent en loi, quandNtend vers l"in- fini, versXde loi binomialeB(n;p)(mêmes valeurs de paramètres).