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Concours National Commun - Session 2017 - Filière MPL"énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filièreMP,comporte 4 pages.L"usage de tout matériel électronique, y compris la calculatrice, estinterdit.Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clartéet la précision des raisonnements constitueront des éléments importants pour l"appréciation descopies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les référencesdes questions abordées.Si, au cours de l"épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d"énoncé,il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu"ilest amené à prendre.Le sujet de cette épreuve est composé d"un exercice et de deux problèmes indépendantsentre eux.Durée : 4 heuresExerciceCalcul de la somme de la série de Riemann?n≥11n21.Montrer que pour touk?N?,?π0?x22π-x?cos(kx)dx=1k2.2.Soitx?]0,π]a)Montrer que pour toutn?N?,eix1-einx1-eix=sin(nx2)sin(x2)ei(n+1)x2.b)En déduire que pour toutn?N?,n?k=1cos(kx) =sin(nx2)cos(n+1)x2sin(x2).3.Soitψune fonction réelle de classeC1sur[0,π]. Montrer à l"aide d"une intégration par partiesquelimm→+∞?π0ψ(x)sin(mx)dx= 0.4.Soitgla fonction réelle définie sur[0,π]par???g(x) =x22π-x2sin(x2)six?]0,π]g(0) =-1.Montrer quegest de classeC1sur[0,π].5.a)Montrer que pour toutn?N?,n?k=11k2=π26+?π0g(x)sin((2n+1)2x)dx.b)Justifier la convergence de la série?n≥11n2et montrer que+∞?n=11n2=π26.6.Pour tout réelx >0, on pose?(x) =+∞?n=1xn(1+2nx)a)Montrer que pour tout réelx >0,?(x)est bien définie.b)Justifier l"existence de la limite, quandxtend vers+∞, de?(x)et déterminer sa valeur.Problème 1On désigne parR+l"ensemble des réels positifs et parR?+l"ensemble des réels strictement positifs.Dans tout le problème, on noteLl"ensemble des fonctionsf:R+→R, continues, telles que, pour toutentiern >0, pour tout réelx >0, la fonctiont?→f(t)e-nxtsoit intégrable surR+. Pour tout entiern >0et pour toutfdansL, on noteNn(f), la fonction définie surR?+par :?x?R?+,Nn(f)(x) =?+∞0f(t)e-nxtdtSoitkun entier naturel non nul et soitfune fonctionkfois dérivable surR+, on notef(0)=fetf(k)= (f(k-1))?désigne la dérivéekèmedef. Dans toute la suite,ndésigne un entier naturel non nul.Épreuve de Mathématiques IPage 1/4
Concours National Commun - Session 2017 - Filière MPPartie IVInjectivité deNn1.Soithune fonction réelle continue sur[0,1]telle que, pour toutm?N,?10tmh(t)dt= 0.a)Montrer que pour tout polynômePà coefficients réels,?10P(t)h(t)dt= 0.b)En déduire quehest la fonction nulle.2.Soitfun élément deL, on pose pour toutt≥0,hn(t) =?t0e-nuf(u)du.a)Montrer que pour tout entierk >0,Nn(f)(1 +k) =nkNn(hn)(k).b)On suppose que pour tout entierk >0,Nn(f)(1 +k) = 0.i)Montrer que pour tout entierk≥0,?10ukhn(-lnun)duconverge et vaut 0.ii)En déduire quehnest la fonction nulle.3.Montrer que l"applicationNndéfinie surLest injective.Partie VApplication au calcul de l"intégrale de DirichletSoitwun réel strictement positif, on considère la fonctiongdéfinie parg(0) =wet pour toutt >0,g(t) =sinwttet soitGla fonction définie surR+parG(x) =?x0g(t)dt.1.Montrer queGadmet une limite réelle?en+∞.2.a)Montrer que pour toutx?R?+,Nn(g)(x) =π2-arctan((nw)x), (vous pouvez utiliser lesquestions de la Partie III, 2. a) et de la Partie II, 1. a).b)i)Montrer que pour toutx?R?+,Nn(g)(x) =nxNn(G)(x).ii)En déduire la valeur de?+∞0sinwttdt.Partie VIApplication à la résolution des équations différentiellesSoitmun entier naturel non nul, on considère l"équation différentielle linéaire d"ordrem, àcoefficients constants :(E)a0y(m)+a1y(m-1)+...+amy=f(t),avec les conditions initiales :y(0) =y0,y?(0) =y1,...,y(m-1)(0) =ym-1,avec(a0,a1,...,am)?Rm+1,a0?= 0,(y0,y1,...,ym-1)?Rmetf?L. On voudrait trouver lasolutiony=y(t)pourt≥0de(E).1.Montrer que siyest une solution de(E)alorsyvérifie une équation algébrique de la formeNn(y)(x) =ψn,m-1(x)?n,m(x)+Nn(f)(x)?n,m(x), où?n,mest un polynôme à coefficients réels de degrémetψn,m-1est un polynôme à coefficients réels de degré inférieur ou égal àm-1.2.Résoudre, en utilisantN1, l"équation différentielley??+3y?+2y= 2e-32t, avec les conditionsinitiales suivantes :y(0) = 1ety?(0) = 2.3.Résoudre, en utilisantN2, l"équation différentielley??+ 4y?+ 3y= sint, avec les conditionsinitiales suivantes :y(0) = 1ety?(0) =-3.4.Résoudre le système différentiel suivant :(S)?????y?1+y?2-y1+y2=-4e-3ty?1+ 2y?2+ 3y1+y2= 5costy1(0) = 2,y2(0) = 0Problème 2Soit(Ω,A,P)un espace probabilisé, on appelle fonction génératrice d"une variable aléatoire réelleXàvaleurs dansN, lorsqu"elle existe, la fonctionGXdéfinie par :GX(t) =E(tX) =+∞?k=0tkP(X=k).Épreuve de Mathématiques IPage 3/4
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