[PDF] Exercices du chapitre 5 avec corrigé succinct - UTC

Les propriétés d'une norme sont donc vérifiées Montrer que si une matrice est symétrique définie positive, ses termes diagonaux sont strictement positifs

Pour une matrice symétrique définie positive A de taille n × n, les énoncés suivants sont équivalents : 1 Les n pivots de A sont strictement positifs 2 Les n

[PDF] I - Caractérisation des matrices symétriques définies positives

I B 1) Puisque A(n) = A est définie positive, on a det(A(n) = det(A) > 0 car det(A) est le produit des valeurs propres de A Soit i ∈ [1, n − 1] La matrice A s'écrit

[PDF] MT23-Algèbre linéaire - UTC - Moodle

compte d'autres propriétés remarquables que l'on rencontre naturellement On dit que la matrice symétrique A ∈ Mn,n(IR) est semi-définie positive si x T

[PDF] Exercices du chapitre 5 avec corrigé succinct - UTC - Moodle

Les propriétés d'une norme sont donc vérifiées Montrer que si une matrice est symétrique définie positive, ses termes diagonaux sont strictement positifs

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26 mar 2018 · 6 5 Matrices définies positives Définition Une matrice symétrique A est définie positive si toutes ses valeurs propres sont positives Théor`eme

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7 jan 2010 · On suppose connues les notions et les propriétés usuelles d'espace euclidien, espace hermitien, base orthonor- Les matrices réelles hermitiennes sont les matrices symétriques 1 4 Matrices positives, définies positives

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4 fév 2015 · Démontrer les propriétés suivantes 2 a La somme de deux matrices symétriques positives est une matrice symétrique positive 2 b

[PDF] 158 Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes

Introduction : Les matrices symétriques interviennent dans de nombreux probl` emes (théorie des graphes, analyse numérique) et poss`edent des propriétés intéressantes symétriques ou hermitiennes positives (resp définies positives)

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Exercices du chapitre 5 avec corrigé succinct

Exercice V.1Ch5-exercice1

M ontrerq ueh~x,~xi È0 pour tout~x6AE~0

M ontrerq ueh~x,~0iAEh~0,~xiAE0 et que donc, en particulier,~xAE~0AE) h~x,~xi AE0.

Solution:

D ansl ad éfinitiono na

h ~x,~xiAE0)~xAE~0 donc en utilisant la contraposée : x6AE~0)h~x,~xi6AE0 mais puisque h ~x,~xi¸0 on a donc : x6AE~0)h~x,~xiÈ0. L abilinéar itéet la sy métrieent raînent h ~x,~0iAEh~0,~xiAE0 (revoir comment on a démontré queu(~0E)AE~0Florsqueuest linéaire).Exercice V.2Ch5-exercice2 Montrer que si°1, ...,°nsont des réels strictement positifs,h~x,~yi°AEPn iAE1°ixiyidéfinit bien un produit sca- laire dans IR n. Que se passe-t-il si°1, ...,°nne sont plus des réels strictement positifs?

Solution:

O nv érifiela bili néarité.

O na -h~x,~xiAEnX iAE1° ix2 i¸0 puisque°iÈ0 etx2 i¸0 -h~x,~xiAE0()°ix2 Si les°ine sont pas strictement positifs, prenons par exemple nAE2,°1AE1,°2AE¡1, on a alors h ~x,~xiAEx21¡x22 donch~x,~xin"est pas positif ou nul pour tout~x, on peut prendre pour s"en convaincre x

1AE0,x2AE1.

Si tous les°isont positifs ou nuls , par exemple

1AE1,°2AE0,

il n"est plus possible d"avoirh~x,~xiÇ0 , mais on peut avoirh~x,~xiAE0 avec~x6AE~0, prendre par exemple

1AE0,x2AE1.

D"une façon plus générale quand les°isont seulement positifs ou nuls on peut avoir°ix2

iAE0 sans que x iAE0.

Exercice V.3Ch5-exercice3

Montrer la proposition :

SiA2Mmn(IR) alorsAT2Mnm(IR) vérifie :

hAx,yiAEhx,ATyi,8x2IRn,8y2IRm(1.1) (le poduit scalaire du membre de gauche est dans IR met celui de droite dans IRn.) Solution: On applique la définitionhx,yiAExTy, on obtient : hAx,yiAE(Ax)TyAExTATyAEhx,ATyi.Exercice V.4Ch5-exercice4

Dans l"espace, le produit scalaire usuel est défini parh~x,~yiAEk~xkk~ykcosµoùµest l"angle entre les 2 vecteurs .

Vérifier l"inégalité de Cauchy-Schwarz dans ce cas particulier. Solution: On obtienth~x,~yi2AEk~xk2k~yk2cos2µ·k~xk2k~yk2.

Ork~xk2AEh~x,~xi,k~yk2AEh~y,~yi.

Ce qui termine de démontrer la propriété.Exercice V.5Ch5-exercice5

Montrer que dans IR

n, max1·i·njxij, où (x1,...,xn) sont les composantes dex, définit une norme. On appelle cette

norme la norme infinie et on la notek.k1

Solution:

ma x1·i·njxijAE0()xiAE08iAE1,...,n()~xAE~0 ma x ma x Les propriétés d"une norme sont donc vérifiées.Exercice V.6Ch5-exercice6 Vérifier queF?est bien un sous-espace vectoriel et montrer queF\F?AE{~0}

Solution:

O nv érifiequ esi

~x12F?,~x22F?,®1~x1Å®2~x22F?,F?est stable donc est un sous espace vectoriel. ~x2F?)h~x,~yiAE08~y2F x2F¾ )h ~x,~xiAE0)~xAE~0 doncF\F?AE{~0}Exercice V.7Ch5-exercice7 Montrer qu"une famille de vecteurs orthogonaux non nuls est une famille libre. Solution: Soit {~x1,...,~xp} une famille orthogonale, supposons que

1~x1Å...Å®p~xpAE~0,

alors en effectuant le produit scalaire avec ~xion a : h ~xi,®1~x1Å...Å®p~xpiAE0, en utilisant la bilinéarité on obtient puisque la famille est orthogonale h ~xi,~xjiAE0 pourj6AEi, donc on obtient ih~xi,~xiiAE0 or

~xi6AE~0 donch~xi,~xii6AE0 donc®iAE0 ce que l"on vient de faire est valable8iAE1,...,pdonc la famille est libre.Exercice V.8Ch5-exercice8

Utiliser le procédé d"orthogonalisation de Schmidt pour construire la familleYassociée à la familleXAE

~x1,~x2,~x3} avec~x1AE0 @1 1 01 A ,~x2AE0 @0 1 11 A ,~x3AE0 @1 1 11 A

Solution:

y1AE0 B @1p2 1p2 01 C A,

¯AE¡h~x2,~y1iAE¡1p2

ˆy2AE~x2Å¯~y1AE0

@0 1 11 A

¡1p2

0 B @1p2 1p2 01 C AAE0 @¡12 12 11 A y2AE1p6 0 @¡1 1 21
A ˆy3AE~x3Å¯1~y1Å¯2~y2, avec¯1AE¡h~x3,~y1iAE¡p2,¯2AE¡h~x3,~y2iAE¡2p6

ˆy3AE0

@1 1 11 A ¡0 @1 1 01 A

¡13

0 @¡1 1 21
A AE0 @13

¡13

13 1 A d"où y3AE0 B @1p3

¡1p3

1p3 1 C A

Pour obtenir

~y3on peut écrire~y3AE1k ~ˆy3k~ˆy3 où ce qui est équivalent mais plus facile à calculer y3AE1k @1 ¡1 11 A

Exercice V.9Ch5-exercice9

SoitEAEIR3,~yAE(1,¡2,1),FAEvecth~yi.

Alors on a vu queF?AE{~x2IR3jx1¡2x2Åx3AE0}.F?est donc un plan dont (2,1,0) et (1,0,¡1) constituent par

exemple une base. Montrer directement dans ce cas particulier queEAEF©F?. Solution: Si on note~x1AE(2,1,0),~x2AE(1,0,¡1), alors {~y,~x1,~x2} est une base de IR3. On peut alors montrer facilement queF\F?AE{~0} et que IR3AEFÅF?.Exercice V.10Ch5-exercice10

Montrer que la matriceQ0

BBB@1p2

¡12

0¡12

0 12 1p2

¡12

1p2 12 012

0¡12

1p2 12 1 C CCCA est orthogonale. Quelle est l"inverse deQ? Que vaut le déterminant deQ?

Solution: On vérifie que

(Q2)TQ2AE1,(Q2)TQ3AE0,(Q2)TQ4AE0, (Q3)TQ3AE1,(Q3)TQ4AE0, (Q4)TQ4AE1

DoncQTQAEIdoncQ¡1AEQT.

On calcule detQAE¡1.Exercice V.11Ch5-exercice11

On définit sur IR

3le produit scalaire usuel. SoitB, la base canonique de IR3, montrer queBest une base

orthonormée. Montrer que la baseB0définie par B

0AE½µ1p3

,1p3 ,1p3 ,µ1p2 ,¡1p2 ,µ1p6 ,1p6 ,¡2p6 est une base orthonormée. Que vautPmatrice de passage deBàB0.

Vérifier quePPTAEPTPAEI

Solution: On vérifie que :

k k PAE0 B @1p3 1p2 1p6 1p3

¡1p2

1p6 1p3

0¡2p6

1 C A

lorsque l"on effectuePTPon effectue les mêmes calculs que pour calculer les normesk~e01k,... et les produits

scalairesh~e01,~e03i,..., on trouve donc quePTPAEI. En effectuantPPTon obtient à nouveauPPTAEI, c"est

normal carPTPAEI)P¡1AEPTet doncPPTAEPP¡1AEI.

Exercice V.12Ch5-exercice12

Quel est l"inverse de la matrice :0

B @1p3 1p2 1p6 1p3

¡1p2

1p6 1p3

0¡2p6

1 C A?

Que vaut son déterminant?

Solution: C"est la matricePde l"exercice précédent, c"est une matrice de passage entre 2 bases

orthonormées, elle est donc orthogonale doncP¡1AEPT, et on calcule detPAE1, (en fait on peut montrer que

lorsque la base est orthonormée directe ~e03AE~e01^~e02, alors detPAE1, sinon detPAE¡1)Exercice V.13Ch5-exercice13 SoientxAE(x1,x2,x3) etyAE(y1,y2,y3) deux vecteurs de IR3, on définit la base B

0AE½µ1p3

,1p3 ,1p3 ,µ1p2 ,¡1p2 ,µ1p6 ,1p6 ,¡2p6 on notex01,x02, etc les composantes dexetydans cette nouvelle base, calculer (x01)2Å(x02)2Å(x03)2 Puis x

01y01Åx02y02Åx03y03

Solution: On ax0AEP¡1xAEPTxd"où

01AEx1Åx2Åx3p3

,x02AEx1¡x2p2 ,x03AEx1Åx2¡2x3p6

On a donc

x Ceci était prévisible puisquex0AEQx, orQAEPTest orthogonale, donc x

01y01Åx02y02Åx03y03AEhQx,QyiAEyTQTQxAEhx,yiAEx1y1Åx2y2Åx3y3Exercice V.14Ch5-exercice14

SoitAune matrice symétrique,¸1,¸22 valeurs propres réelles distinctes, on notey1,y22 vecteurs propres

réels associés. 1.

E xprimerhAy1,y2ià l"aide dehy1,y2i.

E xprimerhy1,Ay2ià l"aide dehy1,y2i.

E ndéd uirequ ehy1,y2i=0.

Solution:

1.hAy1,y2iAE¸1hy1,y2i.

2.hy1,Ay2iAE¸2hy1,y2i.

Or hAy1,y2iAEhy1,ATy2iAEhy1,Ay2i.

Donc (¸1¡¸2)hy1,y2iAE0.

Puisque

16AE¸2,

on obtient hy1,y2iAE0.

Exercice V.15Ch5-exercice15

Calculer les valeurs propres et déterminer une base orthonormée de vecteurs propres de la matrice :

AAE0 @4¡2¡2

¡2 4¡2

¡2¡2 41

Solution: det (sI¡A)AE(s¡6)2s, on a donc 2 valeurs propres (réelles)¸0AE0,¸1AE6. On calcule les vecteurs

propres :

les composantes deY0doivent vérifiery1AEy2AEy3; d"où un vecteur propre normé possible :Y0AE0

B @1p3 1p3 1p3 1 C A les composantes deY1doivent vérifiery1Åy2Åy3AE0; d"où : Y

1AEy20

@¡1 1 01 A

Åy30

@¡1 0 11 A on obtient 2 vecteurs propres qui constituent une base deV¸1à savoir X 1AE0 @¡1 1 01 A ,X2AE0 @¡1 0 11 A Ces 2 vecteurs ne sont pas normés, ils ne sont pas orthogonaux entre eux, en revancheX1etY0sont

orthogonaux, il en est de même pourX2etY0. On va utiliser le procédé d"orthogonalisation de Schmidt pour

propres associés à¸1. Y B 1p2 1p2 01 C A, @¡1 0 11 A

¡1p2

0 B 1p2 1p2 01 C AAE0 @¡12

¡12

11 A Y B 1p6

¡1p6

2p6 1 C A. On obtient donc la base orthonormée de vecteurs propres : 8>< :0 B @1p3 1p3 1p3 1 C A,0 B 1p2 1p2 01 C A,0 B 1p6

¡1p6

2p6 1 C A9

le premier vecteur est associé à¸0, les 2 derniers sont associés à¸1.Exercice V.16Ch5-exercice16

Montrer que si une matrice est symétrique définie positive, ses termes diagonaux sont strictement positifs

(calculerxTAxavec un vecteurxjudicieusement choisi).

Montrer que si une matrice est symétrique semi-définie positive, ses termes diagonaux sont positifs ou nuls.

Solution: Choisissez successivement pourxles vecteurs de la base canonique, on a alorseT iAeiAEaii, d"où la conclusion.

Exercice V.17Ch5-exercice17

Démontrer la proposition suivante :

Une condition nécessaire et suffisante pour que la matriceAsymétrique soit semi-définie positive est que

toutes ses valeurs propres soient positives ou nulles.

Solution: On a :xTAx¸08x2IRn()nX

iAE1¸ i(˜xi)2¸08˜x2IRn, donc si toutes les valeurs propres sont positives ou nulles, on a n X iAE1¸ i(˜xi)2¸0 doncxTAx¸0 donc la matrice est symétrique semi-définie positive. Réciproquement si la matrice est symétrique semi-définie positive, on axTAx¸08xdonc n X iAE1¸ i(˜xi)2¸08˜x2IRn, donc en particulier si on choisit ˜xpremier vecteur de la base canonique de IRn, on obtient¸1¸0. De même

on obtient que chacun des¸iest positif ou nul, en choisissant pour˜xchacun des vecteurs de la base

canonique.Exercice V.18Ch5-exercice18

La matrice

AAE0 @4¡2¡2

¡2 4¡2

¡2¡2 41

A est-elle définie positive? semi-définie positive? CalculerxTAx.

Solution: La matrice est semi-définie positive puisque toutes ses valeurs propres sont positives ou nulles.

Elle n"est pas définie positive puisque ses valeurs propres ne sont pas strictement positives. x TAxAE4(x1)2Å4(x2)2Å4(x3)2¡4x1x2¡4x1x3¡4x2x3Exercice V.19Ch5-exercice19

Montrer qu"une matrice symétrique définie positive est inversible. Le résultat est-il toujours valable si la ma-

trice est semi-définie positive? Si oui démontrez-le, si non trouvez un contre exemple.

Solution: SiAest définie positive, ses valeurs propres sont strictement positives donc 0 n"est pas valeur

propre, doncAest inversible.

Si on définitAAEµ1 0

, cette matrice est semi-définie positive puisque ses valeurs propres sont positives ou nulles, mais elle n"est pas inversible.Exercice V.20Ch5-exercice20

O ndéfinit

AAE0 @3¡2 5

¡2 7 11

quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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Exercices du chapitre 5 avec corrigé succinct

Exercice V.1Ch5-exercice1

M ontrerq ueh~x,~xi È0 pour tout~x6AE~0

Solution:

D ansl ad éfinitiono na

Solution:

O nv érifiela bili néarité.

1AE0,x2AE1.

1AE1,°2AE0,

1AE0,x2AE1.

Exercice V.3Ch5-exercice3

Montrer la proposition :

SiA2Mmn(IR) alorsAT2Mnm(IR) vérifie :

Ork~xk2AEh~x,~xi,k~yk2AEh~y,~yi.

Montrer que dans IR

Solution:

Solution:

O nv érifiequ esi

1~x1Å...Å®p~xpAE~0,

Solution:

¯AE¡h~x2,~y1iAE¡1p2

ˆy2AE~x2Å¯~y1AE0

¡1p2

ˆy3AE0

¡13

¡13

¡1p3

Pour obtenir

Exercice V.9Ch5-exercice9

SoitEAEIR3,~yAE(1,¡2,1),FAEvecth~yi.

Montrer que la matriceQ0

BBB@1p2

¡12

0¡12

¡12

0¡12

Solution: On vérifie que

DoncQTQAEIdoncQ¡1AEQT.

On définit sur IR

3le produit scalaire usuel. SoitB, la base canonique de IR3, montrer queBest une base

0AE½µ1p3

Vérifier quePPTAEPTPAEI

Solution: On vérifie que :

¡1p2

0¡2p6

Exercice V.12Ch5-exercice12

Quel est l"inverse de la matrice :0

¡1p2

0¡2p6

Que vaut son déterminant?

0AE½µ1p3

01y01Åx02y02Åx03y03

Solution: On ax0AEP¡1xAEPTxd"où

01AEx1Åx2Åx3p3

On a donc

01y01Åx02y02Åx03y03AEhQx,QyiAEyTQTQxAEhx,yiAEx1y1Åx2y2Åx3y3Exercice V.14Ch5-exercice14

E xprimerhAy1,y2ià l"aide dehy1,y2i.

E xprimerhy1,Ay2ià l"aide dehy1,y2i.

E ndéd uirequ ehy1,y2i=0.

Solution:

1.hAy1,y2iAE¸1hy1,y2i.

2.hy1,Ay2iAE¸2hy1,y2i.

Or hAy1,y2iAEhy1,ATy2iAEhy1,Ay2i.

Puisque

16AE¸2,

Exercice V.15Ch5-exercice15

¡2 4¡2

¡2¡2 41

1AEy20

Åy30

¡1p2

¡12

¡1p6

¡1p6

Exercice V.17Ch5-exercice17

Démontrer la proposition suivante :

Solution: On a :xTAx¸08x2IRn()nX

La matrice

¡2 4¡2