Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques un échantillon de taille 1000 de la population totale des électeurs 3) On lance une pièce de monnaie 50 Il suffit de remplacer dans la dernière ligne return(s) En effet, la probabilité de gagner (obtenir un « 1 » ou un « 6 ») est égale à = Loi des grands
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frÉCHANTILLONNAGE
Vidéo https://youtu.be/EXEcSJE31QY
Partie 1 : Notion d'échantillon
1. Définition
Exemples :
1) Sur l'ensemble des cartes à puce produites par une entreprise en une semaine, on en prélève
200. On dit que cet ensemble de 200 cartes à puce constitue un échantillon de taille 200 de la
population de toutes les cartes à puce produites en une semaine.2) On s'intéresse aux intentions de vote lors d'une élection. On sonde 1000 personnes en leur
demandant leur intention de vote. L'ensemble de ces 1000 personnes constitue un échantillon de taille 1000 de la population totale des électeurs.3) On lance une pièce de monnaie 50 fois de suite et on note les résultats obtenus. L'ensemble
de ces 50 lancers constitue un échantillon de taille 50.Définition :
Un échantillon de taille est constitué des résultats de répétitions indépendantes de la même
expérience sur l'ensemble des personnes ou objets sur lesquels porte l'étude statistique (la population). Un échantillon issu d'une population est donc l'ensemble de quelques éléments de cette population.2. Simulation d'une expérience aléatoire
• On considère l'expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé à 6 faces. Le programme
Python suivant permet de simuler cette expérience. Le fonction randint renvoie un nombre aléatoire → entier de 1 à 6. On exécute le programme et on obtient l'affichage ci-contre. Cela signifie que le logiciel a simulé un lancer de dé et on a obtenu un " 1 ».2 sur 4
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr• La règle du jeu veut que si le résultat est " 1 » ou " 6 », on gagne. Dans le cas contraire, on
perd. On répète fois de suite cette expérience à deux issues (gagner ou perdre) consistant à
lancer le dé. Ainsi, on modifie et complète le programme Python afin de simuler lancers de dé. Le programme affiche le nombre de fois que l'on gagne. La variable n désigne le nombre de lancers. →La variable s permet de compter le nombre de
fois que l'on gagne (le dé s'arrête sur "1 » ou sur → " 6 »). On exécute le programme et on obtient l'affichage ci-contre. Cela signifie que sur 10 lancers, on a gagné 3 fois.Partie 2 : Loi des grands nombres
Calcul d'une fréquence (Rappel) :
Sur 10 lancers, on a gagné 3 fois. La fréquence de jeu gagné est égale à =0,3.Modifions le programme afin d'afficher en sortie la fréquence de jeux gagnés sur un échantillon
de lancers de dé. Il suffit de remplacer dans la dernière ligne return(s) (l'effectif) par return(s/n) (la fréquence). → On exécute le programme pour des valeurs de de plus en plus grandes. Ci-contre les résultats obtenus à l'aide du logiciel. On constate que, plus devient grand, plus les fréquences observées semblent se rapprocher d'une valeur théorique égale à En effet, la probabilité de gagner (obtenir un " 1 » ou un " 6 ») estégale à
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frLoi des grands nombres : Lorsque devient grand, la fréquence observée est le plus souvent
proche de la probabilité.Partie 3 : Estimation d'une probabilité
On se propose maintenant de répéter fois la simulation de l'expérience aléatoire précédente.
Dans chaque cas, pour suffisamment grand, la fréquence observée devrait être proche de la
probabilité théorique =On veut calculer la proportion des cas pour lesquels l'écart entre et est inférieur ou égale à
On complète alors le programme précédent avec la fonction estim.Le programme complet au format texte se trouve
sur la dernière page de ce document. On exécute le programme pour différentes valeurs de en choisissant suffisamment grand, soit = 10000. On trouve des valeurs proches de 0,95 ce qui signifie que dans95% des cas, l'écart entre la fréquence observée et la
probabilité est inférieur ou égale à 0,01.En effet :
= 0,01.Principe de l'estimation : Pour assez grand, donne une bonne estimation de dans environ
95 % des cas.
← La variable c compte le nombre de fois où ce test est vérifié. se note sqrt(n).On teste N fois
← si abs(f-1/3)<=1/sqrt(n). On affiche en sortie la fréquence correspondante. abs(f-1/3) est l'écart → entre etOn utilise la fonction
dé de la partie c. →4 sur 4
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frLe programme complet :
from random import* from math import* def dé(n): s=0 for k in range(n): r=randint(1,6) if r==1 or r==6: s=s+1 return(s/n) def estim(N,n): c=0 for k in range(N): f=dé(n) if abs(f-1/3)<=1/sqrt(n): c=c+1 return(c/N)Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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