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Trajectoires de billard

Nicolas Bedaride

Institut de Mathematiques de Marseille

Figure:H. P oincareet J. C. Y occoz

Billard= systeme dynamique

Hypotheses

Denition

I

Une seule billepour l'instant.

I

Elle est assimilee a un pointpour l'instant.

I Pas de trou sur le bord ou d'obstacle dans la table. I

Pas de frottement.

Loi de Descartes

On se deplace dans le billard en ligne droite, et quand on rencontre un bord, la trajectoire rebondit en respectant les angles par rapport au bord. On peut aussi seulement regarder ce qui se passe sur le bord.

Denition

On part d'un point du bordmet d'une directionu.

On lui associe un couple(m0;u0)tel que

I m0est sur le bord I (mm0)est parallele a la directionu I u0est le symetrique deupar rapport a la tangente enm0au bord. mm 0uu 0 On est passe dujeu de billarda l'etude d'une fonction T:X!X (m;u)7!(m0;u0) L'etude de cette fonction rentre dans lessystemes dynamiques.

Vocabulaire

Etudier un systeme dynamique signie etudier une fonction

T:X!X.A partir dex2X, comprendre ou sont

T(x);T(T(x));:::T(T(:::T(x))).T(x)x

T 2(x)

Vocabulaire

Etudier un systeme dynamique signie etudier une fonction

T:X!X.A partir dex2X, comprendre ou sont

T(x);T(T(x));:::T(T(:::T(x))).T(x)x

T 2(x)

Premiere question

Comment passer d'un point a un autre en faisant une ou plusieurs bandes ?Question proche:

Comment revenir sur le m^eme point ?

Comment passer d'un point a un autre en faisant une ou plusieurs bandes ?Question proche:

Comment revenir sur le m^eme point ?

Comment passer de l'un a l'autre en deux, trois ou mille rebonds ?

Depliage

On va expliquer comment trouver de telles trajectoires.

Le bon outil est ledepliage.

d d Trajectoire de billard dans un polygone= Droite dans le plan Trajectoire de billard dans un polygone= Droite dans le plan Trajectoire de billard dans un polygone= Droite dans le plan Trajectoire de billard dans un polygone= Droite dans le plan Comment passer de l'un a l'autre en deux rebonds ?

Droite

Droite

Droite

Droite

Haut Haut

Billes en dehors du bord.

Internet est ton ami

AB C DHE (AD) est parallele a (BC), donc EAEC =ADCB =ADCH

Autre facon de voir le point:

Autre facon de voir le point:

Autre facon de voir le point:

Autre facon de voir le point:

Question tres proche:

Peut on revenir au m^eme point apres rebond ?Avecnrebonds, cela s'appelle unetrajectoire periodiquede

perioden+ 1 .

Question tres proche:

Peut on revenir au m^eme point apres rebond ?Avecnrebonds, cela s'appelle unetrajectoire periodiquede

perioden+ 1 .

Periode 2

xT(x)

Periode 4

xT(x)T 3(x)T 2(x)

Periode 4

xT(x)T 3(x)T 2(x)

Periode 6

T(x)T 4(x)T 2(x)T 5(x)T 3(x)x

Mais comment on les trouve ?

Encore le depliage...

Et la periode 3 ?

03 3 3 03 3 3 03 3 3 03 3 3

Pour vous occuper...

Pouvez vous trouver toutes les trajectoires periodiques dans le carre ?

Pour vous occuper...

Pouvez vous trouver toutes les trajectoires periodiques dans le carre ?

Deuxieme question

Que se passe-t-il si on change la forme de la table ?

Et si on jouait dans un disque ?

Que se passe-t-il si on change la forme de la table ?

Et si on jouait dans un disque ?

mm 0uu 0

Si on ne vise pas le centre, on ne l'atteint pas.

(m;u)

Exemple de trajectoire periodique

Exemple de trajectoire non periodique

Preuve

A0 BC

Preuve

A0 BC

Preuve

A0 BC

Preuve

A0 BC Si on passe par le centre on revient au m^eme point apres un rebond.Sinon on ne passe jamais par un disque centre a l'origine.

Le cercle est une mauvaise table pour jouer.

Pas pour faire des maths...

Si on passe par le centre on revient au m^eme point apres un rebond.Sinon on ne passe jamais par un disque centre a l'origine.

Le cercle est une mauvaise table pour jouer.

Pas pour faire des maths...

Si on passe par le centre on revient au m^eme point apres un rebond.Sinon on ne passe jamais par un disque centre a l'origine.

Le cercle est une mauvaise table pour jouer.

Pas pour faire des maths...

Si on passe par le centre on revient au m^eme point apres un rebond.Sinon on ne passe jamais par un disque centre a l'origine.

Le cercle est une mauvaise table pour jouer.

Pas pour faire des maths...

Troisieme question

Comment jouer dans un vrai billard ?

Vrai billard

Vrai billard: Dierence avec etude precedente:

I Il y an3 billes dans un rectangle, et chacune bouge et peut toucher une autre. I

Les billes ne sont pas des points.

Premier probleme

Elles rebondissent en suivant les lois de la physique suivant leurs vitesses et leurs directions initiales. Il faut donc pour chaque bille conna^tre la position et le vecteur vitesse. Cela fait 4 parametres. On les regroupe dans un tableau 0 B

BBBBBBBB@a

1 b 1 c 1 d 1... c n d n1 C

CCCCCCCCA

(a1;b1) represente la position, et (c1;d1) la vitesse.Ainsi etudier le billard avecnbilles dans le carre revient a etudier

une bille dans un objet de grande dimension (4n). Il faut donc pour chaque bille conna^tre la position et le vecteur vitesse. Cela fait 4 parametres. On les regroupe dans un tableau 0 B

BBBBBBBB@a

1 b 1 c 1 d 1... c n d n1 C

CCCCCCCCA

(a1;b1) represente la position, et (c1;d1) la vitesse.Ainsi etudier le billard avecnbilles dans le carre revient a etudier

une bille dans un objet de grande dimension (4n). L'objet s'appelleXet un point dedans bouge suivant une fonction T:

T:X!XOn revient aux systemes dynamiques.

L'objet s'appelleXet un point dedans bouge suivant une fonction T:

T:X!XOn revient aux systemes dynamiques.

Par exemple etudier 2 points sur une droite de massesm1;m2et de vitessesx1;x2revient a etudier un point, dans une partie du plan, qui rebondit sur une droite.x 1x 2m 1m 2m

1x01=m2x02x

01x 02x 01=pm

1x1;x02=pm

2x2.

Deuxieme probleme

Une bille n'est pas un point.

Changer la forme de la table en une autre plus grosse et plus ronde. En conclusion pour comprendre le vrai billard, il faut comprendre la dynamique d'un point mais dans un objet plus complique qu'un carre.

Espace des phases

Bonus Comment se repartissent les billes ?Il faut faire de la theorie ergodique. Bonus Comment se repartissent les billes ?Il faut faire de la theorie ergodique.

Hypothese de Boltzmann

Pour un systeme compose d'un tres grand nombre de particules, elle arme qu'a l'equilibre, la valeur moyenne d'une grandeur calculee de maniere statistique est egale a la moyenne d'un tres grand nombre de mesures prises dans le temps.Theorie ergodique. Birkho 1931. En terme plus mathematiques, une grandeur est une fonction f:X!R. L'hypothese compare alors limsup +11N N1X i=0fTi(x) 1(X)Z X fd Fin.

Questions ?

Bonus I

AB C DHEF GI

Thales et symetrie en action

(EF)k(BC);(EG)k(BC)EA

EC=ADBCADCH=GDGC

Bonus I

AB C DHEF GI

Thales et symetrie en action

(EF)k(BC);(EG)k(BC)EA

EC=ADBCADCH=GDGC

Bonus I

AB C DHEF GI

Thales et symetrie en action

(EF)k(BC);(EG)k(BC)EA

EC=ADBCADCH=GDGC

Bonus II

Et dans un triangle ?

Triangle equilateral

L'ensemble des depliages forme un pavage du plan

Triangle equilateral, depliage

Et dans un autre triangle ?

Beaucoup plus complique.

Et dans un autre triangle ?

Beaucoup plus complique.

Probleme de trajectoires periodiques

Dans un triangle equilateral: dessin precedent.

Proposition

Dans un triangle aigu pour avoir une trajectoire periodique, il sut de prendre les pieds des hauteurs.

Probleme de trajectoires periodiques

Dans un triangle equilateral: dessin precedent.

Proposition

Dans un triangle aigu pour avoir une trajectoire periodique, il sut de prendre les pieds des hauteurs.

Probleme de trajectoires periodiques

Dans un triangle equilateral: dessin precedent.

Proposition

Dans un triangle aigu pour avoir une trajectoire periodique, il sut de prendre les pieds des hauteurs.

Dans un triangle obtus ?

Theoreme (Schwartz 2007)

Dans tout triangle d'angle inferieur a100degres il existe une trajectoire periodique.

Dans un triangle obtus ?

Theoreme (Schwartz 2007)

Dans tout triangle d'angle inferieur a100degres il existe une trajectoire periodique.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28