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CoordonnŽesdÕ unvecteur

Additiondev ecteurs

MultiplicationdÕun vecteurparunrŽel

Barycentre

Produitscalaire

Produitvector iel

DŽÞnition

InterprŽtation

PropriŽtŽ

CoordonnŽesdÕun vecteur

DŽÞnition

i jA,lescoordonnŽes dÕun vecteur usontlescoordonnŽes delÕ uniquepointMtelque OM= u.

OnŽcrit

u1x;yApourdireque lescoordonnŽes duvecteur u sont1x;yA.

S.B.PrŽsentationen Latexa vecBeamer

CoordonnŽesdÕ unvecteur

Additiondev ecteurs

MultiplicationdÕun vecteurparunrŽel

Barycentre

Produitscalaire

Produitvector iel

DŽÞnition

InterprŽtation

PropriŽtŽ

CoordonnŽesdÕun vecteur

i j, k

AlescoordonnŽes

dÕunvecteur usontlescoordonnŽes delÕ uniquepointMtel que OM= u.

OnŽcrit

u1x;y;zApourdireque lescoordonnŽesdu vecteur u sont1x;y;zA. Apartir dÕici,onseplace danslÕespace.Tout peuttrer amenŽ remplacepar0.

S.B.PrŽsentationen Latexa vecBeamer

CoordonnŽesdÕ unvecteur

Additiondev ecteurs

MultiplicationdÕun vecteurparunrŽel

Barycentre

Produitscalaire

Produitvector iel

DŽÞnition

InterprŽtation

PropriŽtŽ

CoordonnŽesdÕun vecteur

Levecteur

OMnousdonnela positiondu pointM.Six,y,z

sontdesf onctionsde lavariabletreprŽsentantletemps ,le vecteur OM1tAnousdonnela positiondupoint MˆlÕinstant t.

Lesfonctions x1tA,y1tAetz1tAsontlesŽquations

paramŽtriquesdelacourbereprŽsentantledŽplacement du pointMaucoursdu temps. Danscecas levecteur OM P

1tA,de

coordonnŽes1x P 1tA;y P 1tA;z P

1tAAestlev ecteurvitesseet le

vecteur OM PP

1tA,decoordonnŽes 1x

PP 1tA;y PP 1tA;z PP

1tAAestle

vecteuraccŽlŽration.

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CoordonnŽesdÕ unvecteur

Additiondev ecteurs

MultiplicationdÕun vecteurparunrŽel

Barycentre

Produitscalaire

Produitvector iel

DŽÞnition

InterprŽtation

PropriŽtŽ

CoordonnŽesdÕun vecteur

PropriŽtŽ

Deuxvecteurs sontŽgauxsietseulementsi ilsontles mmes

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Additiondev ecteurs

MultiplicationdÕun vecteurparunrŽel

Barycentre

Produitscalaire

Produitvector iel

DŽÞnition

InterprŽtation

PropriŽtŽ

CoordonnŽesdÕun vecteur

CoordonnŽesduvecteur

AB

Siles pointsA1x

A ;y A ;z A

AetB1x

B ;y B ;z B

AsontdonnŽs;

alorslev ecteur

ABapourcoordonnŽes :

1x B ✓x A ;y B ✓y A ;z B ✓z A A

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Additiondev ecteurs

MultiplicationdÕun vecteurparunrŽel

Barycentre

Produitscalaire

Produitvector iel

CoordonnŽes

PropriŽtŽs

Soustraction

u1x;y;zAet v1x P ;y P ;z P

A;alorsle vecteur

u+ vapourcoordonnŽes 1x+x P ;y+y P ;z+z P A

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Additiondev ecteurs

MultiplicationdÕun vecteurparunrŽel

Barycentre

Produitscalaire

Produitvector iel

CoordonnŽes

PropriŽtŽs

Soustraction

PropriŽtŽs

Si u, v, wsonttroisv ecteursalors: u+ v= v+ u u+ 0= 0+ u= u 1 u+ vA+ w= u+1 v+ wA

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Additiondev ecteurs

MultiplicationdÕun vecteurparunrŽel

Barycentre

Produitscalaire

Produitvector iel

CoordonnŽes

PropriŽtŽs

Soustraction

DŽÞnition

Si uet vsontdeuxv ecteursalors: u✓ v= u+1✓ vA o✓ vestlÕopposŽ de v MŽthodeChaquefois quelÕonrencontreune soustraction,on laremplacepar lÕadditioncorrrepondante .

Exemple:

AB✓

DC✓

CB= AB+ CD+ BC= AB+ BC CD= AC+ CD= AD

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Additiondev ecteurs

MultiplicationdÕun vecteurparunrŽel

Barycentre

Produitscalaire

Produitv ectoriel

ProduitdÕ unvecteurparunnombre rŽel

VecteurscolinŽaires

DŽÞnition

✓estunrŽel et uunvecteur decoordonnŽes1a;b;cAdansun

Levecteur ✓

uestlev ecteurde coordonnŽes1✓a;✓b;✓cAdans

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Barycentre

Produitscalaire

Produitv ectoriel

ProduitdÕ unvecteurparunnombre rŽel

VecteurscolinŽaires

PropriŽtŽs

SiAetBsonttelsque

u=

AB,etCtelque✓

u=

ACalors

A,B,CsontalignŽs .

si✓=0alorsC=A, si✓=1alorsC=B, si0P✓P1alorsCX[AB] si✓>0alorsAC=✓ABet ABet

ACsontde mme

sens, si✓<0alorsAC=✓✓ABet ABet

ACsontdesens

contraire.

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Barycentre

Produitscalaire

Produitv ectoriel

ProduitdÕ unvecteurparunnombre rŽel

VecteurscolinŽaires

Calculs

u=

0q0✓=0ou

u=0

1✓1A

u=✓ u u✓ v= u+1✓ vA ✓1 u+ vA=✓ u+✓ v

1✓+✓

P A u=✓ u+✓ P u

1✓✓

P A u=✓1✓ P uA

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Barycentre

Produitscalaire

Produitv ectoriel

ProduitdÕun vecteurparunnombrerŽel

VecteurscolinŽaires

DŽÞnition

Deuxvecteurs

uet vnonnuls sontcolinŽairessÕilexiste un rŽel✓telque v=✓ u.

LeurscoordonnŽessont doncpropor tionnelles.

Levecteur nul

0estcolinŽaire ˆtousles vecteurs.

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Barycentre

Produitscalaire

Produitv ectoriel

ProduitdÕun vecteurparunnombrerŽel

VecteurscolinŽaires

PropriŽtŽs

ABCalignŽsq0

ABet

ACsontcolinŽaires

ABet

CDsont

colinŽaires

Iestlemilieu de[AB]q0

AB=2 AI

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Produitvector iel

DŽÞnition

PropriŽtŽs

GŽnŽralisation

Application

DŽÞnition

SoientAetBdeuxpointsquelconques ,aetbdeuxrŽelstels quea+b@=0.Le barycentredes pointsAetBaffectŽs respectivementdescoefÞcientsaetbestlÕunique pointGtel que: a GA+b GB= 0 Onnote Gbarycentrede1A,aAet1B,bA.Onpeut alorsŽcrire :

1A,aA1B,bA=1G,a+bA.

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DŽÞnition

PropriŽtŽs

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