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CHAPITRE 4

INTERPOLATION ET APPROXIMATION

4.1. Introduction

•On se donne un ensemble de points (xi,fi) obtenus suite `a une mesure exp´erimentale

(firepr´esente la temp´erature, pression, d´ebit, ....) pourconnaˆıtre la valeur de la fonction

mesur´ee en d"autres points dans le domaine, on peut alors repr´esenter la fonctionfpar un polynˆome. xf(xi) p(xi)On cherchePun polynˆome tel que

P(xi) =f(xi). Un tel polynˆome inter-

pole la fonction mesur´ee aux points des mesuresxifixxip(x)

On cherchePun polynˆome le plus

proche des valeurs mesur´ees. L"approxi- mation au sens des moindre carr´e consiste `aptel que? i|p(xi)-fi|2soit minimal. •On cherche `a calculer une int´egrale dont on ne connaˆıt pasexplicitement sa valeur.

Par exemple, on approche cette comme suit

f(x)≈p(x)et? f(x)dx≈? p(x)dx(facile `a calculer) ce qui conduit `a l"int´egration num´erique.

•fsolution d"une e.d.o

•fsolution d"une ´equation non lin´eaire de la formef=G(f) •Soitfune fonction inconnue solution d"un probl`eme aux limites (´equation de la chaleur par exemple), on cherche `a approcher au mieux les valeurs defen certains points du domaine.

38CHAPITRE 4. INTERPOLATION ET APPROXIMATION

4.2. Interpolation de Lagrange

Soient (n+ 1) couples : (x0,f0), (x1,f1) ... (xn,fn), tels que lesxisont distincts. On cherche un polynˆomePtel que

P(xi) =fipouri= 0,1,...,n.

Le polynˆome passe par les points de mesure.

Th´eor`eme 4.1. -Il existe un uniqueP?IPn={polynˆomes de degr´es n}tel que

P(xi) =fipouri= 0,1,...,n.

D´emonstration. -

Unicit´e.Soientp,q?IPntels queP(xi) =Q(xi) =fipouri= 0,...n, alorsp-q?IPnet il s"annule en (n+ 1) points distincts alorsp-q≡0.

Existence.Base de polynˆomes de Lagrange.

Soit L i?IPntel queLi(xj) =δij, i= 0,...,n, alors{Li}i=0,nest une base de IPn(famille libre). Construction deLi(x).On aLi(xj) = 0 pourj?=idoncx-xjdivise le polynˆome L i(x) =λn? j=0,j?=i(x-xj)?IPn=?λ?R, λest calcul´e parLi(xi) = 1 ce qui donneλ=1 ?nj=0,j?=i(xi-xj). Les polynˆomes de Lagrange sont L i(x) =n? j=0,j?=ix-xj xi-xj, i= 0,n.(4.1) Th´eor`eme 4.2. -(Erreur d"interpolation de Lagrange) d´efinit par p(xi) =f(xi)pouri= 0,1,...,n. Alors f(x)-p(x) =L(x) (n+ 1)!f(n+1)(ξ),(4.2)

4.2. INTERPOLATION DE LAGRANGE39

D´emonstration. - Six=xialorsf(xi) =p(xi) etL(x) = 0 ce qui ´etablit (4.2). soitx?=xi,i= 0,n. Consid´erons la fonctionwd´efinie par : w(t) =f(t)-p(t)-L(t)k(x) avec la fonctionk(x) est donn´ee tel quew(x) = 0, soit encorek(x) =f(x)-p(x)

L(x). On a

w(x) = 0,w(xi) = 0, i= 0,n ws"annule en (n+ 2) points distincts et d"apr`es le th´eor`eme de Rolle w ?s"annule en (n+ 1) points distincts, et donc w ??s"annule ennpoints distincts, ... w (n+1)s"annule en 1 point; Il existeξ?]a,b[ tel quew(n+1)(ξ) = 0. w (n+1)(ξ) =f(n+1)(ξ)-p(n+1)(ξ)-(n+ 1)!k(x) = 0 orp(n+1)(ξ) = 0 carp?IPn, ce qui donne k(x) =f(n+1)(ξ) (n+ 1)!=f(x)-p(x)L(x) ce qui ´etablit (4.2).

En majorant l"erreur d"interpolation, on a

(n+ 1)!maxx?[a,b]|f(n+1)(ξ)|maxx?[a,b]|L(x)|.(4.3)

L"erreur d"interpolation r´esulte de deux termes : le premier terme maxx?[a,b]|f(n+1)(x)|d´epend

defet on ne peut pas l"am´eliorer carfest donn´ee, par contre le deuxi`eme terme maxx?[a,b]|L(x)|

d´epend de la distribution des pointsxi. On peut choisir l"ensemble des points{xi}i=0,npour que l"erreur maxx?[a,b]|L(x)|soit minimal.

4.2.1. Meilleur choix des pointsxi. -Le polynˆomeL(x) = (x-x0)(x-x1)...(x-

x n+1) est un polynˆome de degr´e (n+1) dont le coefficient dexn+1est 1. Le meilleur choix de{xi}i=0,nest alors les racines du polynˆomeL(x) v´erifiant max Nous allons voir que les polynˆomes de Tchebychev r´epondent `a cette question. Les po- lynˆomes de Tchebychev sont d´efinis par T n(x) = cos(narccos(x)), x?[-1,1],n≥0. V´erifions d"abord queTn(x)?IPn. On aT0= cos(0) = 1 etT1(x) =xet on a la relation de r´ecurrence T n+1= 2xTn(x)-Tn-1= 2nxn+1+.....

40CHAPITRE 4. INTERPOLATION ET APPROXIMATION

car en posantθ=Arccos(x) T n+1= cos((n+ 1)θ) = cos(nθ)cos(θ)-sin(nθ)sin(θ) = cos(nθ)cos(θ)-1

2(cos((n-1)θ)-cos((n+ 1)θ) =xTn(x)-12(Tn-1(x)-Tn+1).

Les racines deTnsont :Tn(x) =cos(narccos(x)) = 0, alorsnarccos(x) =π

2+kπ, ainsi

arccos(x) =π

2n+kπnpourk= 0···n-1, ce qui donne que les racines deTnsont :

x k= cos(2k+ 1

2nπ);k= 0···n-1.

Les extremas deTnsont :Tn(x) = cos(narccos(x)) =±1, alors arccos(x) =kπ nce qui donne les extremas : y k= coskπ n;Tn(yk) = (-1)k, k= 0···n. Th´eor`eme 4.3. -Les racines des polynˆomes de Tchebychev satisfont max D´emonstration. - On va montrer ce r´esultat par l"absurde. Soitq(x) = 2n-1xn+ a n-1xn-1+...?=Tn(x) et on suppose max

Sur chaque intervalle [cos(

kπ n,cos((k+1)πn],k= 0···n-1,Tnpasse du maximum au minimum ou inversement. On posed(x) =q(x)-Tn(x)?= 0, et doncd?IPn-1. De plusqest continue et v´erifie la relation 4.6, alors sur chaque intervalle [cos(kπ n),cos((k+1)πn]), le graphe deq intersecte au moins une fois le graphe deTn, c"est `a dired(x) s"annule au moins une fois dans cet intervalle. Alors le polynˆomeds"annulenfois et commedest un polynˆome de degr´e (n-1) alorsd= 0, ce qui contredit qued?= 0. Ainsi, on a montr´e que parmi tous les polynˆomes de degr´ens"´ecrivant sous la forme q(x) = 2n-1xn+an-1xn-1+..., le polynˆome de Tchenychev est celui qui r´ealise le minimum pour la norme infinie, c"est `a dire ?Tn?C0[-1,1]Autrement dit, max x?[-1,1]|(x-x0)(x-x1)···(x-xn)|est minimal si et seulement si T n+1(x) = 2n(x-x0)(x-x1)···(x-xn) avecxk= (cos2k+ 1

2(n+ 1)π);k= 0···n.

4.3. POLYNˆOME D"INTERPOLATION DE NEWTON41

Ou encore,

pour toute distribution de points d"interpolation (z0,z1,···,zn), alors max o`u lesxksont les racines deTn+1. Enfin, sur un intervalle quelconque [a,b], les racines du polynˆome de Tchebychev sont d´efinies comme suit

ˆTn: [a,b]φ-→[-1,1]Tn-→R

o`uφ(x) =2x b-a-b+ab-a. Les polynˆomes de Tchebychev sur un intervalle quelconque [a,b] s"´ecrivent : Tn= (Tn◦φ)(x) =Tn(φ(x)) = cos(narccosφ(x)) et leurs racines sont :φ(xk) = (cos(2k+1)π

2n);k= 0···n-1 et doncφ(xk) =2xkb-a-b+ab-a=

cos( (2k+1)π

2n), ainsixk=a+b2+b-a2cos((2k+1)π2n),pourk= 0···n-1.

Remarque 4.1. -i)On aTn+1(x) = 2nxn+1+···= 2n(x-x0)(x-x1)···(x-xn)et commemaxx?[-1,1]|Tn+1(x)|= 1et doncmaxx?[-1,1]|(x-x0)(x-x1)···(x-xn)|=1 2n, ainsi l"erreur d"interpolation s"´ecrit : (n+ 1)!12nmax x?[-1,1]|f(n+1)(x)|. ii) Les racines de Tchebychev, elles sont plus denses aux extr´emit´es. Cette distribution a pour effet de r´eduire le ph´enom`ene de Runge (les effets sur le bord). Exemple (TP) : comparer pourf(x) =e-x2sur[-5,5]en prenant10points ´equidistants et les 10 racines deT10(x).

4.3. Polynˆome d"interpolation de Newton

Une autre fa¸con de construirep?IPntel quep(xi) =fiest d"utiliser la formule de Taylor et d"introduire les diff´erences divis´ees.

En effet, par la formule de Taylor, on ´ecrit

p(x) =p(x0) + (x-x0)Q0(x) avecQ0?IPn-1, orp(x0) =f0ainsi p(x) =f0+ (x-x0)Q0(x),

Ensuite pour quep(x1) =f1, alorsQ0(x1) =f1-f0

x1-x0est connu. On applique `a nouveau La formule de Taylor `aQ0(x) Q

0(x) =Q0(x1) + (x-x1)Q1(x) avecQ1?IPn-2,

soit encore p(x) =f0+ (x-x0)Q0(x1) + (x-x0)(x-x1)Q1(x),

42CHAPITRE 4. INTERPOLATION ET APPROXIMATION

p(x) x p(xi) =fi, p?(xi) =g(i)p(x2) =f2, p?(x2) =g2 p(x1) =f1, p?(x1) =g1f(xi) =fi, p?(xi) =gi

Figure 1.Interpolation de Hermite

Pour assurerp(x2) =f2, on impose alors

Q

1(x2) =f2-f0-(x2-x0)Q0(x1)

(x2-x0)(x2-x1) on continue le proc´ed´e en faisant le d´eveloppement de Taylor deQ1(x) au pointx2. Les Q i(xi+1) sont appel´es les diff´erences divis´ees.

4.4. Interpolation de Hermite

On cherche un polynˆome qui interpole la fonctionfainsi que sa d´eriv´ee aux points donn´es. pr´ecis´ement, soient les (n+ 1) triplet (xi,fi,gi) pouri= 0,n. On chercher un polynˆomeptel que?p(xi) =fi, i= 0,n p ?(xi) =gi, i= 0,n(4.7) Th´eor`eme 4.4. -Il existe un uniqueP?IP2n+1={polynˆomes de degr´es 2n+1}satis- faisant(4.7).

D´emonstration. -

Unicit´e.Soientp,q?IP2n+1tels quep(xi) =q(xi) =fietp?(xi) =q?(xi) =gipour i= 0,...n, alorsr=p-q?IP2n+1etr(xi) =r?(xi) = 0, alors (x-xi)2divise le polynˆome r, ainsir=c(x-x0)2...(x-xn)2?IP2(n+1), orr?IP2n+1alorsc= 0 etr≡0.

Existence.Base de polynˆomes de Hermite.

On cherche une base de polynˆomes de IP

2n+1telle que

p(x) =n? i=0f iAi(x) +n? i=0g iBi(x)

4.4. INTERPOLATION DE HERMITE43

Les conditions sur les fonctions de bases sont alors les suivantes : A i(xj) =δij, Bi(xj) = 0 pouri= 0,n A i(xj) = 0, B?i(xj) =δijpouri= 0,n les premi`eres conditions permettent d"imposerp(xi) =fiet les secondesp?(xi) =gi. Ces conditions permettent de construire les fonctions de bases. En effet, Construction des polynˆomesAi. On aAi(xj) =A?i(xj) = 0 pourj?=ialors (x-xj)2divise A ipourj?=i, alorsAi(x) =r(x)?nj=0,j?=i(x-xj)2o`ur(x)? PN1. On peut exprimer ce polynˆome en fonction du polynˆome de Lagrange. En effet,Li(x) =?nj=0,j?=ix-xj xi-xj, ainsi A i(x) =q(x)L2i(x), o`uq(x) =ax+b?P1. Les coefficientsaetbsont tels que A i(xi) = 1 etA?i(xi) = 0. On a A i(xi) = (axi+b)L2i(xi) = 1 =axi+bcarLi(xi) = 1. A i(xi) =aL2i(xi) + 2Li(xi)L?i(xi)(axi+b) =a+ 2L?i(xi)(axi+b) =a+ 2L?i(xi) = 0, ainsia=-2L?i(xi) etb= 1-axi, enfin A i(x) = (1-2(x-xi)L?i(xi))L2i(xi). Calcul deBi. Pourj?=i, on aBi(xj) =B?i(xj) = 0, alorsL2idiviseBi, d"autre part B i(xi) = 0, alors (x-xi) divise aussiBi. On d´eduit queBi(x) =c(x-xi)L2i(x) etc?R. On d´etermine la constante par la relationB?i(xi) = 1; on a B ?i(xi) =cL2i(xi) + 2c(xi-xi)Li(xi)L?i(xi) =c= 1, ce qui donne B i(x) = (x-xi)L2i(x). Th´eor`eme 4.5. -(Erreur d"interpolation de Hermite) d"interpolation de Hermite d´efinit par?p(xi) =f(xi), i= 0,n p ?(xi) =f?(xi), i= 0,n.(4.8) Alors f(x)-p(x) =L(x) (2n+ 2)!f(2n+2)(ξ),(4.9) La preuve est semblable `a celle propos´ee pour le th´eor`eme 4.2.

44CHAPITRE 4. INTERPOLATION ET APPROXIMATION

x f Ph Figure 2.Interplation locale par des IP1par morceaux(gauche),par des IP2par morceaux(droite)

4.5. Interpolation locale

Le th´eor`eme d"interpolation 4.2 montre que l"approximation d"une fonction par des

polynˆomes n´ecessite que la fonction soit r´eguli`ere et le degr´e du polynˆome soit ´elev´e pour

avoir la convergence lorsque le degr´e du polynˆome tend vers l"infinie. L"interpolation locale

consiste `a interpoler la fonction sur des intervalles de petite taille par des polynˆomes de faible degr´e. On va d´ecrire cette m´ethode. Soit [a,b] un compact deR. On divise l"intervalle [a,b] enM-intervalles de pash= (b-a)/M. On poseai=a+ih,i= 0,M. Ensuite sur chaque intervalle [ai,ai+1] on construit un polynˆome d"interpolationpi(x) de degr´emfixeaux points d"interpolation (xi)k=ai+kh m,k= 0,m. Les points (xi)ksont situ´es dans l"intervalle [ai,ai+1].quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29