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On appelle fonction elliptique une fonction f : IRn → IR de classe C1 et fortement convexe 15 Page 16 2 2 2 Exemples des fonctions convexes, strictement 

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strictement concave) sur I si −f est convexe (resp strictement convexe) sur I Remarques et exemples 1) Une fonction convexe sur un intervalle I est aussi 

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Théorème 3 4 (unicité de solution) Si X est une partie convexe d'un espace vectoriel E et si f est strictement convexe sur X, alors (PX ) a au plus une solution

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3) Caractérisation des fonctions convexes dérivables f est strictement convexe sur I si et seulement si la fonction pente en tout x0 de I est strictement 

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Elle est strictement convexe si on peut mettre l'inégalité stricte pour λ ∈]0, 1[ et x = y Une fonction f est dite (strictement) concave si −f est (strictement) convexe

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2 On montre facilement qu'une fonction fortement convexe est strictement convexe On a aussi la caractérisation suivante : Proposition 3 1 Soit C un convexe de 

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Dans tout ce chapıtre, C désigne une partie convexe de IRn, et f une fonction numérique partout définie sur C 9 1 Fonctions affines, convexes, strictement 

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17 déc 2009 · Toute fonction strictement croissante est injective Proposition 2 L'ensemble des fonctions croissantes sur I (resp convexes sur C ) un cône (dans 

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Fonction convexe ⇐⇒ ´Epigraphe convexe Fonction strictement convexe ∀u, v, u enveloppe sup´erieure de toutes les fonctions convexes inf´erieures `a f

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surCparunerelationdelaforme:

²a(x)=nX

i=1a ixi+b=aTx+b d'unefonctionconstante. suivante: strictementconvexesurIRn. toutentiercontenudanslegraphe). contientaucunsegment.

Preuve:

(resp.=,<) t

1=1et:t2=0,'(t1)=f(x1),et:'(t2)=f(x2).

2 droitedelongueurnonnulle. gmi1.opti.G.L.cours{02/05p.58

9.3CasdesfonctionsdeclasseC2

00(t)=uTr2f(x+tu)u

festconvexesur(thm9.1). 2

Exemple9.7Lafonction:f=1

peutcontenirunsegmentdelongueurnonnulle.

9.4CasdesfonctionsdeclasseC1

0 '(t)·t'(1)+(1¡t)'(0)(resp.<)(6) et: gmi1.opti.G.L.cours{02/05p.59

Encombinant(6)et(7),ilvient:

'(st)¡'(0) 2 convexe)sursietseulementsi: z

Mais:'(t?)=t?f(x)+(1¡t?)f(y)¡f(z?)

=t?[f(x)¡f(y)]+f(y)¡f(z?) =rf(z?)(z?¡y)+f(y)¡f(z?) positivesur]0;1[,etfestconvexesur. 2 gmi1.opti.G.L.cours{02/05p.60 surC. surI,'±feststrictementconvexesurC. mentconvexesura(C). parpoint:maxff2FgestconvexesurC f h MX k=1t kxki

·MX

k=1t kf(xk)(resp.=,<)(11) gmi1.opti.G.L.cours{02/05p.61 t

Posons:t=tM+1,et:sk=tk

k=1s kxkappartientµaC,et: f h M+1X k=1t kxki

·fh

txM+1+(1¡t)MX k=1s kxki

·tfh

x M+1i +(1¡t)fh MX k=1s kxki f h M+1X k=1t kxki

·tf(xM+1)+MX

k=1(1¡t)skf(xk)=M+1X k=1t kf(xk)(resp.=,<) t 2 x k>0;rk>0;MX k=1r k=1)MY k=1xrkk·MX k=1r kxk (resp.de:Y=f(X)). 2

Exemple9.15L'ensemble:C=½

(x;y)2IR2jx;y>0;et:1 xy+x+y·3¾ estunepartiecon- vexedeIR2. gmi1.opti.G.L.cours{02/05p.62 minimisantfsurCesttoujoursconvexe. 2 fappartenantµaminimisefsur. gmi1.opti.G.L.cours{02/05p.63quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39