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Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques LES SUITES Le raisonnement Limite d'une suite géométrique : q q ≤ −1 −1< q < 1 q = 1

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Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 1 LIMITES DE SUITES I Limite d'une suite géométrique 1) Suite (qn) q 0 < q 1

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Cours de Y Monka avec lien vidéo (généralités d'une suite) : http://www maths-et -tiques fr/telech/Suites pdf - Calculer les premiers termes d'une suite à la main, 

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Limites de suites : théorèmes de comparaison - Limite de qn Vidéo : Calculer la limite d'une suite à l'aide du théorème de comparaison (maths-et-tiques) :

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Feuille d'exercices no 3 : Limite de suites On dit alors que ℓ est la limite de la suite (un)n∈N suivants, nous verrons comment prolonger les notions vectorielles et analy- tiques [ Exercice résolu 3 page 302 ,Maths Repère, Hachette]

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12 jui 2019 · tiques, de telle sorte qu'on peut démontrer n'importe quel La logique ( mathématique) est un domaine des mathématiques qui corsète tout l'édifice tout n ≥ N Il en résulte que la suite u est convergente avec limite l = uN

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tiques de Rennes » implique l'accord avec les conditions générales d'utili- didactique des mathématiques sur les rapports entre enseignement et apprentis- sage ou sur (1) Par exemple, s i 2 est la limite de la suite (u ") : Y e > 0 , 3 N

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NOTION DE LIMITE ET RECHERCHE DE SEUILS Vidéo maths et tiques Méthode : pour calculer un terme d'une suite définie par son terme général, 

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10 juil 2012 · 6 2 2 Limites de suites usuelles 10 1 2 Opérations et limites tique de la suite l'équation du second degré r2 − ar − b = 0 Théorème 2

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mathématique, les notations et le vocabulaire mathématiques sont à considérer comme des conquêtes de l' La notion de limite de suite fait l'objet d'une étude approfondie tique : un problème didactique, La Pensée sauvage (2002)

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YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frLES SUITES Le raisonnement par récurrence Principe : Si la propriété P est : - vraie au rang n0 (Initialisation), - héréditaire à partir du rang n0 (Hérédité), alors la propriété P est vraie pour tout entier n ≥

n0. Limites Propriétés : - lim n→+∞ n=+∞ lim n→+∞ n 2 lim n→+∞ n=+∞ lim n→+∞ 1 n =0 lim n→+∞ 1 n 2 =0 lim n→+∞ 1 n =0 . Limite d'une somme : lim n→+∞ u n

L L L +∞

lim n→+∞ v n

L' +∞

()lim nn n uv

L + L' +∞

F.I.* Limite d'un produit :

lim n→+∞ u n

L L > 0 L < 0 L > 0 L < 0 +∞

0 lim n→+∞ v n

L' +∞

ou -∞ ()lim nn n uv

L L' +∞

F.I. Limite d'un quotient :

lim n→+∞ u n

L L L > 0 ou +∞

L < 0 ou -∞

L > 0 ou +∞

L < 0 ou -∞

0 +∞

ou -∞ lim n→+∞ v n

L'≠

0 +∞

ou -∞

0 avec

v n >0

0 avec

v n >0

0 avec

v n <0

0 avec

v n <0

0 L' > 0 L' < 0 L' > 0 L' < 0 +∞

ou -∞ lim n→+∞ u n v n L L'

0 +∞

F.I. +∞

F.I. Les quatre formes indéterminées sont, par abus d'écriture : "∞-∞

0×∞

" et " 0 0

". YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frSuite géométrique Formule de récurrence :

u n+1 =q×u n

Formule explicite :

u n =u 0 ×q n

Limite d'une suite géométrique : q

-11 lim n→+∞ q n pas de limite 0 1 +∞

Somme des termes d'une suite géométrique :

1+q+q 2 +...+q n 1-q n+1 1-q Limites et comparaison Théorèmes de comparaison : 1) Si, à partir d'un certain rang, u n n et lim n→+∞ u n alors lim n→+∞ v n . 2) Si, à partir d'un certain rang, u n ≥v n et lim n→+∞ u n alors lim n→+∞ v n . Théorème d'encadrement (théorème des gendarmes) : Si, à partir d'un certain rang, u n n n et lim n→+∞ u n =lim n→+∞ w n =L alors lim n→+∞ v n =L

. Suites majorées, minorées, bornées - (un) est majorée s'il existe un réel M tel que pour tout n,

u n . - (un) est minorée s'il existe un réel m tel que pour tout n, u n ≥m

. - (un) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Théorème de convergence monotone : - Si une suite croissante est majorée alors elle est convergente. - Si une suite décroissante est minorée alors elle est convergente. Corollaire : - Si une suite croissante est non majorée alors elle tend vers +∞

. - Si une suite décroissante est non minorée alors elle tend vers -∞

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frCONTINUITÉ ET DERIVATION Limites Propriétés : -

lim x→+∞ x 2 lim x→-∞ x 2 lim x→+∞ x 3 lim x→-∞ x 3 lim x→+∞ x=+∞ lim x→+∞ 1 x =0 lim x→-∞ 1 x =0

Définitions : - La droite d'équation

x=A est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction f si lim x→A f(x)=+∞ ou lim x→A f(x)=-∞ . - La droite d'équation y=B est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f si lim x→+∞ f(x)=B ou lim x→-∞ f(x)=B peut désigner +∞ ou un nombre réel : Limite d'une somme lim x→α f(x)=

L L L +∞

lim x→α g(x)=

L' +∞

lim x→α f(x)+g(x)

L + L' +∞

F.I. Limite d'un produit

lim x→α f(x)=

L L > 0 L < 0 L > 0 L < 0 +∞

0 lim x→α g(x)=

L' +∞

ou -∞ lim x→α f(x)g(x)

L L' +∞

F.I. Limite d'un quotient

lim x→α f(x)=

L L L > 0 ou +∞

L < 0 ou -∞

L > 0 ou +∞

L < 0 ou -∞

0 +∞

ou -∞ lim x→α g(x)=

L'≠

0 +∞

ou -∞

0 avec

g(x)>0

0 avec

g(x)>0

0 avec

g(x)<0

0 avec

g(x)<0

0 L' > 0 L' < 0 L' > 0 L' < 0 +∞

ou -∞ lim x→α f(x) g(x) L L'

0 +∞

F.I. +∞

F.I. Limites et comparaisons Théorèmes de comparaison : Si et : - Si lim x→+∞ f(x)=+∞ alors lim x→+∞ g(x)=+∞ - Si lim x→+∞ g(x)=-∞ alors lim x→+∞ f(x)=-∞ - Si lim x→-∞ f(x)=+∞ alors lim x→-∞ g(x)=+∞ - Si lim x→-∞ g(x)=-∞ alors lim x→-∞ f(x)=-∞

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frThéorème d'encadrement (théorème des gendarmes) : Si

et : Si lim x→+∞ f(x)=L et lim x→+∞ h(x)=L alors lim x→+∞ g(x)=L . Continuité - f est continue en a si lim x→a f(x)=f(a)

. - f est continue sur I si f est continue en tout point de I. Théorème des valeurs intermédiaires : f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b]. Pour tout réel k compris entre

f(a) et f(b) , l'équation f(x)=k

admet une unique solution sur [a ; b]. Dérivabilité On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel L, tel que :

lim h→0 f(a+h)-f(a) h =L . L est appelé le nombre dérivé de f en a. Définition : La tangente à la courbe C f

au point A est la droite passant par A de coefficient directeur le nombre dérivé L. Une équation de la tangente à la courbe

C f en A est : y=f'a x-a +fa

Fonction f Dérivée f '

f(x)=a a∈! f'(x)=0 f(x)=ax a∈! f'(x)=a f(x)=x 2 f'(x)=2x f(x)=x n n≥1 entier f'(x)=nx n-1 f(x)= 1 x f'(x)=- 1 x 2 f(x)= 1 x n n≥1 entier f'(x)=- n x n+1 f(x)=x f'(x)= 1 2x

Fonction Dérivée

u+v u'+v' ku k∈! ku' uv u'v+uv' 1 u u' u 2 u v u'v-uv' v 2 uquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28