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Exo7
Déterminants
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le coursExercice 1**Montrer que
2a a+b a+c
b+a2b b+c c+a c+b2c =4(b+c)(c+a)(a+b).X a b c
a X c b b c X a c b a X 1. det (jijj)16i;j6n 2. det (sin(ai+aj))16i;j6n(a1,...,anétantnréels donnés) 3. a0::: :::b0a...b0
... 0...0... ... 0...0... 0b a0 b0::: :::a 4.1 1:::1
1 1 0:::0
... 0......... .........1 01 0:::0 1
5. det (Cj1 n+i1)16i;j6p+1 6.X1 0::: :::0
0X1......
............00::: :::0X1
a0::: :::an2an1X
1 i+bj16i;j6noùa1,...,an,b1,...,bnsont 2nréels tels que toutes les sommesai+bjsoient non nulles.
Calculer detA(en généralisant l"idée du calcul d"un déterminant de VANDERMONDEpar l"utilisation d"une
fraction rationnelle) et en donner une écriture condensée dans le casai=bi=i. BBBBB@1 1::: :::1
1 2::: :::n
1 22::: :::n2
1 2 n1::: :::nn11 CCCCCA.
B A2M2n(R). Montrer que detC>0.
detA+detB. BBBBBBBB@a
1a2::: :::an
a na1a2an1 a n1ana1an2............ a2a3:::ana11
C CCCCCCCAetP= (w(k1)(l1))16k;l6noùw=e2ip=n. CalculerP2etPA.En déduire detA.
Exercice 12***I Dérivée d"un déterminantSoientai;j((i;j)élémentdef1;:::;ng2)n2fonctionsdeRdansR, dérivablessurRetA=(ai;j)16i;j6n. Calculer
la dérivée de la fonctionx7!det(A(x)).Applications. Calculer
1. x+1 1:::11x+1......
.........11::: :::1x+1
2. x+a1x:::x x x+a2...... .........x x::: :::x x+an 1.0 1:::1
1 0 ......0 11::: :::1 0
et1 1:::1
1 0 ......0 11::: :::1 0
2. det ((i+j1)2) 3. a b:::b b a ......a b b::: :::b a 4. a1+x c+x::: :::c+x
b+x a2+x...... ......an1+x c+x b+x::: :::b+x an+x b,ccomplexes distincts 5.2 1 0:::0
1 2 0 .........0 .........2 11:::0 1 2
Correction del"exer cice1 NSoit(a;b;c)2R3. NotonsDle déterminant de l"énoncé. Pourxréel, on poseD(x) =
2x x+b x+c
b+x2b b+c c+x c+b2c(de sorte queD=D(a))).Dest un polynôme de degré inférieur ou égal à 2. Le coefficient dex2vaut
(2c)+(b+c)+(b+c)(2b) =4(b+c): Puis,D(b) =
2b0b+c
02b b+c
cb c+b2c =2b(4bc(b+c)2)+2b(cb)2=0;et par symétrie des rôles debetc,D(c) =0. De ce qui précède, on déduit que sib6=c,D(x) =4(b+c)(x+
b)(x+c)(même sib+c=0 car alorsDest un polynôme de degré infèrieur ou égal à 1 admettant au moins
deux racines distinctes et est donc le polynôme nul). Ainsi, sib6=c(ou par symétrie des roles, sia6=bou
a6=c), on a :D=4(b+c)(a+b)(a+c). Un seul cas n"est pas encore étudié à savoir le cas oùa=b=c. Dans
ce cas,D(a) =
2a2a2a
2a2a2a
2a2a2a
=8a3 1 1 1 11 1 1 11 =32a3=4(a+a)(a+a)(a+a);ce qui démontre l"identité proposée dans tous les cas (on pouvait aussi conclure en constatant que, pouraetb
fixés, la fonctionDest une fonction continue decet on obtient la valeur deDpourc=ben faisant tendrecvers
bdans l"expression deDdéjà connue pourc6=b). D=4(a+b)(a+c)(b+c).Correction del"exer cice2 NSoitP=X a b c
a X c b b c X a c b a X .Pest un polynôme unitaire de degré 4. En remplaçantC1parC1+C2+C3+C4etpar linéarité par rapport à la première colonne, on voit quePest divisible par(X+a+b+c). Mais aussi, en
remplaçantC1parC1C2C3+C4ouC1C2+C3C4ouC1+C2C3C4, on voit quePest divisible par (Xab+c)ou(Xa+bc)ou(X+abc).1er cas.Si les quatre nombresabc,a+b+c,ab+ceta+bcsont deux à deux distincts,Pest unitaire de degré 4 et divisible par les quatre facteurs de
degré 1 précédents, ceux-ci étant deux à deux premiers entre eux. Dans ce cas,P= (X+a+b+c)(X+a+b
c)(X+ab+c)(Xa+b+c).2ème cas.Deux au moins des quatre nombresabc,a+b+c,ab+c eta+bcsontégaux. Notonsalorsqueabc=a+bc,b=aetquea+b+c=ab+c,a=b. Par symétrie des roles, deux des quatre nombresabc,a+b+c,ab+ceta+bcsont égaux si etseulement si deux des trois nombresjaj,jbjoujcjsont égaux. On conclut dans ce cas que l"expression deP
précédemment trouvée reste valable par continuité par rapport àa,bouc. P= (X+a+b+c)(X+a+bc)(X+ab+c)(Xa+b+c).Correction del"exer cice3 N41.Pour n>2, posonsDn=
0 1 2:::n1
1 0 1n2
2 1 0 .........1 n1n2:::1 0 . Tout d"abord, on fait apparaître beaucoup de 1. Pour cela, on effectue les transformationsC1 C1C2puisC2 C2C3puis ...puisCn1= C n1Cn. On obtient D n=det(C1C2;C2C3;:::;Cn1Cn;Cn) =11:::1n1
11...n2
1 11......
......1 11 1:::1 0
On fait alors apparaître un déterminant triangulaire en constatant que det(L1;L2;:::;Ln) =det(L1;L2+
L