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Théorie de la Modélisation et de la Simulation Fondements formels et opérationnels de Record/VLE Raphaël Duboz - Fréderick Garcia - Gauthier Quesnel - Éric Ramat INRA(Institut National de la Recherche Agronomique)

LIL(Laboratoire d"Informatique du Littoral)

(LIL, INRA)Modélisation et simulation1 / 113 Plan

1Modélisation et Simulation

Définitions

Paradigme et simulateur

Classes de modèles

2Formalismes de modélisation

3P-DEVS

4Multi-formalisme et problématique du couplage

Modélisation multiple

Intégration opérationelle

Intégration formelle

(LIL, INRA)Modélisation et simulation2 / 113 Plan

1Modélisation et Simulation

Définitions

Paradigme et simulateur

Classes de modèles

2Formalismes de modélisation

3P-DEVS

4Multi-formalisme et problématique du couplage

Modélisation multiple

Intégration opérationelle

Intégration formelle

(LIL, INRA)Modélisation et simulation3 / 113

Théorie M&S

Introduction

Les termes et concepts à développer :Systèmes

Expérimentation

Modéles et modélisation

Paradigmes

Simulation

Spécification formelle

(LIL, INRA)Modélisation et simulation4 / 113

Théorie M&S

Définitions - SystèmeDéfinition 1

Un système est caractérisé par le fait que l"on sait distinguer ce qui lui appartient de ce qui ne lui appartient pas.Définition 2 Le système est supposé contrôlable et/ou observable. Des variables, générées par l"environnement, agissent sur le comportement du système qui, à son tour, réagit sur cet environnement. (LIL, INRA)Modélisation et simulation5 / 113

Théorie M&S

Définitions - SystèmeDéfinition 3

Un système réel est une combinaison de un ou plusieurs éléments structurels inter-reliés tels que les états d"un élément sont influencés par ses propres états et ceux des autres éléments.Définition 4 Mise en avant de l"aspect d"inter-influence des composantes du système réel dont le comportement observé est, en partie, le résultat de ces influences. (LIL, INRA)Modélisation et simulation6 / 113

Théorie M&S

Définitions - Schéma d"expérimentationDéfinition 1 Une expérimentation est un processus par lequel on récolte des données sur un système en agissant sur ses entrées [F. Cellier]Définition 2 Un schéma d"expérimentation définit un ensemble limité de circonstances sous lesquelles est conduite l"expérimentation:variables observées, séquencements des entrées, conditions initiales, conditions d"arrêt, collecte et codage des données. (LIL, INRA)Modélisation et simulation7 / 113

Théorie M&S

Définitions - ModèleDéfinition 1

Un modèle M d"un système S pour une expérimentation E est toute chose à laquelle on peut appliquer E pour répondre à des questions concernant

S [M. Minsky]

(LIL, INRA)Modélisation et simulation8 / 113

Théorie M&S

Définitions - ModèleDéfinition 2

Construire une représentation simplifiée et observable du comportement et/ou de la structure d"un système réel afin de résoudre un problème d"analyse ou de conception.Définition 3 modèle prédictif : on cherche à prédire une situation/un état du système;modèle descriptif : on capitalise la connaissance au sein d"un modèle. (LIL, INRA)Modélisation et simulation9 / 113

Théorie M&S

Définitions - ModélisationDéfinition 1

La modélisation est un processus par lequel on organise les connaissances portant sur un système donné [B. Zeigler]Définition 2 Modéliser c"est abstraire de la réalité une description d"un système dynamique [P. A. Fishwick] (LIL, INRA)Modélisation et simulation10 / 113

Théorie M&S

Définitions - ParadigmeDéfinition

Un paradigme est un ensemble de concepts, de lois et de moyens visant à définir une collection de modèles.Exemple

équations différentielles;

file d"attentes; automates à états finis; automates cellulaires; (LIL, INRA)Modélisation et simulation11 / 113

Théorie M&S

Définitions - Système/Modèle/Paradigme/Expérimentation (LIL, INRA)Modélisation et simulation12 / 113

Théorie M&S

Introduction

(LIL, INRA)Modélisation et simulation13 / 113

Théorie M&S

Définitions - SimulationDéfinition 1

La simulation est la reproduction du comportement dynamique d"un système réel s"appuyant sur un modèleDéfinition 2 La simulation a pour objet d"observer le comportement en fonction du temps d"un modèle d"un système (LIL, INRA)Modélisation et simulation14 / 113

Théorie M&S

Définitions - Simulation informatiqueDéfinition 1 Traduction en programmes informatiques (algorithmes) du comportement dynamique des modèles. Exécution en temps fini. (LIL, INRA)Modélisation et simulation15 / 113

Théorie M&S

Paradigme et simulateuril y a une distinction claire entre modèle et simulateur; les deux peuvent s"écrire comme des systèmes; il est possible d"établir des relations d"équivalence entre eux. La notion d"erreur introduite par le simulateur n"est pas toujours simple à formuler. sauf dans le cas d"un intégrateur où elle est peut souvent l"être (analyse numérique) (LIL, INRA)Modélisation et simulation16 / 113

Théorie M&S

Paradigme et simulateurLa séquences0;s1;:::snest appelée trajectoire d"état;La séquencex0;x1;:::xnest appelée trajectoire d"entrée;La séquencey0;y1;:::ynest appelée trajectoire de sortie;Modèle à temps discret

(LIL, INRA)Modélisation et simulation17 / 113

Théorie M&S

Paradigme et simulateurSimulateur

t=t0 s=s0 tant quet<=tffaire y(t) =(s(t);x(t)) s(t+ t) =(s(t);x(t);t) fin tant que (LIL, INRA)Modélisation et simulation18 / 113

Théorie M&S

Paradigme et simulateur

(LIL, INRA)Modélisation et simulation19 / 113

Théorie M&S

Paradigme et simulateursi possible, l"équation différentielle est résolue de façon analytique :

I impossible dans la grande majorité des modèles; Isinon on intégre l"équation par résolution numérique.Simulateur L"idée sous jacente pour un intégrateur parfait : ds(t)dt =limt!0s(t+ t)s(t)t

Donc, pour un intervalle de temps très petit :

s(t+ t)tds(t)t+s(t) s(t+ t)t[f(x(t);s(t))] +s(t)(LIL, INRA)Modélisation et simulation20 / 113

Théorie M&S

Définitions - Classes de modèlestemps :

I modèle à temps continu, le temps est spécifié comme évoluant de manière continue, le temps est un nombre réel; Imodèle à temps discret, le temps avance par sauts d"une valeur entière à une autre, le temps est un entier.variable d"états : I modèle à états discrets, les variables prennent leurs valeurs dans un ensemble discret;

Imodèle continu, les variables descriptives sont des nombres réels.(LIL, INRA)Modélisation et simulation21 / 113

Théorie M&S

Définitions - Classes de modèles

(LIL, INRA)Modélisation et simulation22 / 113

Théorie M&S

DéfinitionsHiérarchie de spécification

niveau nom que savons nous à ce niveau?

0 cadre d"observation quelles variables mesurer et com-

ment les observer sur une base de temps

1 relation d"entrée sor-

tiedonnées indexées sur le temps. Pairs d"entrée - sortie

2 fonction d"entrée -

sortieconnaissance de l"état initial (un en- trée!une sortie)

3 transition d"états comment les entrées affectent les

états et comment les états affectent

les sorties

4 composants couplés comment les composants de niveaux

inférieurs sont couplés (LIL, INRA)Modélisation et simulation23 / 113

Théorie M&S

DéfinitionsNiveau 0

Un cadre d"observation O est une structureO=oùT est la base de temps;

X ensemble des valeurs d"entrée;

Y ensemble des valeurs de sortie.

Description

T est un ensemble d"entiers ou de réels selon la représentation du temps (discret ou continu);le système est vu comme étant soumis aux éléments de X; Y est un ensemble représentant l"interface au travers de laquelle le

système influe sur son environnement;X et Y sont des sous-ensembles quelconques d"entiers, de réels ou

de symboles. (LIL, INRA)Modélisation et simulation24 / 113

Théorie M&S

DéfinitionsNiveau 1

Une relation d"entrée-sortie IOR est une structure :

IOR= ;Y;R> où est l"ensemble des segments d"entrée;R= (!i;i)Description iest une trajectoire d"entrée : variation d"une entrée entretiettj!

ietisont observés sur le même intervalle;spécification ambiguë car pour le même!i, on peut observer deux

trajectoires de sortie différentes. (LIL, INRA)Modélisation et simulation25 / 113

Théorie M&S

DéfinitionsHiérarchie de spécification

(LIL, INRA)Modélisation et simulation26 / 113

Théorie M&S

DéfinitionsNiveau 2

Une fonction d"entrée-sortie IOF est une structure :

IOR= ;Y;F> oùFest un ensemble de fonctions d"entrée-sortie.Description chaquefidéfinit un segment de sortie unique pour un segment d"entrée;un état initial est définit. (LIL, INRA)Modélisation et simulation27 / 113

Théorie M&S

DéfinitionsHiérarchie de spécification

(LIL, INRA)Modélisation et simulation28 / 113

Théorie M&S

DéfinitionsNiveau 3

Un système dynamique est une structureS=oùQest l"ensemble des états du système;:Q !Qest la fonction de transition globale;:Q!Yest la fonction de sortie.Description la fonction de transition globale du système définit l"état final obtenu après l"application d"un segment d"entrée;pas de définition des états intermédiaires; spécification du comportement à reproduire et non comment le reproduire. (LIL, INRA)Modélisation et simulation29 / 113

Théorie M&S

DéfinitionsHiérarchie de spécification

(LIL, INRA)Modélisation et simulation30 / 113

Théorie M&S

DéfinitionsNiveau 4

Un système dynamique est une structure :

CS=

oùCest l"ensemble des modèles composants le modèle global;EICest l"ensemble des couplages entre les entrées du modèle et

entrées des sous-modèles;EOCest l"ensemble des couplages entre les sorties du modèle et

sorties des sous-modèles;ICest l"ensemble des couplages entre les sous-modèles.(LIL, INRA)Modélisation et simulation31 / 113

Théorie M&S

DéfinitionsHiérarchie de spécification

(LIL, INRA)Modélisation et simulation32 / 113 Plan

1Modélisation et Simulation

Définitions

Paradigme et simulateur

Classes de modèles

2Formalismes de modélisation

3P-DEVS

4Multi-formalisme et problématique du couplage

Modélisation multiple

Intégration opérationelle

Intégration formelle

(LIL, INRA)Modélisation et simulation33 / 113

Formalismes de modélisation

IntroductionAvertissement

Le choix d"un formalisme reste un hypothèse forte dans le processus de modélisation. Il est important de tenir compte des propriétés du système dans ce choix!

Déterministe ou stochastique

L"aspect déterministe ou stochastique est aussi à intégrer. (LIL, INRA)Modélisation et simulation34 / 113

Formalismes de modélisation

Equations différentielles ordinairesClasse

Etat continu, temps continu et pas d"espace

E.D.O d"ordren:F(x;x0;:::;x(n);t) =0 oùFest une fonction continue.Le pendule simple 1 2 ml2mglcos=mglcos0 oùm : la masse g : l"accéleration (9:81ms2)l : longueur (t): angle du pendule ent

0: angle max ou angle àt=0

(LIL, INRA)Modélisation et simulation35 / 113

Formalismes de modélisation

Equations différentielles ordinairesRésolution

Résoudre une E.D.O :

Trouver une fonctionx(t)vérifiantF(x(t);x0(t);:::;x(n)(t);t) =0 sur le domaine det.(LIL, INRA)Modélisation et simulation36 / 113

Formalismes de modélisation

Equations différentielles ordinaires d"ordre 1

E.D.O du 1er ordre :F(x;x0;t) =0Fpeut être vectoriel : systèmes d"équations différentielles couplées

x (n)=f(x;x0;:::;x(n1);t) (1)

équivalent ày0=g(y;t);avecy=2

66666666666664x

x 0 x (n1)3

77777777777775Exemple : le pendule simple

0=! 0=2gl (coscos0)(LIL, INRA)Modélisation et simulation37 / 113

Formalismes de modélisation

Equations différentielles ordinaires d"ordre 1

Pour une E.D.O du 1er ordre avec conditions initiales x

0=f(x(t);t);x(0) =x0Simulation - Euler

Dév. de Taylor :x(t+h) =x(t) +hx0(t) +h22

x00(t) +h33!x(3)(t) +au premier ordre : méthode d"Euler avec pas fixeh=(tft0)N .Simulation - Runge-kutta Evaluation itérative def()en plusieurs points sur l"intervalle[tn;tn+1]

Exemple : Runge-Kutta ordre 2

x n+1=xn+hn4" f(xn;tn) +3f x n+23 hnf(xn;tn);tn+23 hn!# (LIL, INRA)Modélisation et simulation38 / 113

Formalismes de modélisation

Equations différentielles ordinairesAutres méthodes Pas adaptatifs : contrôler la précision dedtpour assurer que l"erreur ne soit pas trop grandeRK4/RK5 adaptatif; méthode de Gear;

Adams-Bashfort-Moulton;

Equations différentielles stochastiques

Mouvement brownien - Équation de Langevin :

m d~v(t)dt =k~v(t) +~(t)où~(t)est un terme stochastiqueajout de délais stochastiques : dN(t)dtquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39