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circuits dans lesquels il y a bobines et condensateurs 4 Pour ce ne permet pas de voir les défauts des composants réels (à moins qu'ils ne soient modélisés)

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Électrocinétique

Chapitre 3

Circuits en régime transitoire

PCSI1, Fabert (Metz)I - Phénoménologie

Circuits en régime transitoire

Dans ce chapitre nous allons voir et étudier deux nouveaux composants : la bobine et le condensa-

teur. Au delà de leurs nouveautés en terme de relation courant - tension, au delà même des nouvelles

possibilités que cela apportera dans les circuits, ce chapitre est fondamental pour deux raisons :

Ünous allons apprendre à utiliser de nouveaux outils mathématiques : les équations différentielles

Üles phénomènes physiques que nous verrons dans ce chapitre et qui s"appellent des évolutions

d"ordre 1 ou 2, se rencontreront très souvent dans tous les autres domaines de la physique, il sera donc primordial de les maîtriser

I - Phénoménologie

I·1 - Circuits avec bobines et condensateurs

I·1·i- comment " sonder » un circuit?

GNous allons commencer par quelques observations afin de mieux " voir » comment réagissent des circuits dans lesquels il y a bobines et condensateurs.

GPour ce faire, nous allons utiliser un logiciel de simulation : c"est un logiciel qui permet de simuler

(numériquement) ce qui se passe dans un circuit électrique. GLes avantages de tels logiciels sont énormes :

Ül"accès à toute sorte de composants

Üfacilité d"utilisation

Üil est possible de suivre en même temps toutes les tensions etintensités intéressantes GL"inconvénient principal reste que ce n"est pas de l"expérimental,ie.un tel logiciel : Üne permet pas de s"exercer au brochage des circuits

Üne permet pas de voir les défauts des composants réels (à moins qu"ils ne soient modélisés)

GMais tous ces inconvénients seront travaillés en TP. I·1·ii- observation de circuits du premier ordre

Lcircuit avec une bobine

GConsidérons le circuit ci-dessous dans lequel nous avonsE= 1,0 V;R=R?= 1,0 kΩetL= 0,2 H. i1(t) E R? u1(t) i2(t) R i3(t)

Lu2(t)

GFermons l"interrupteurKà l"instantt= 0et observons les intensitési1(t),i2(t)eti3(t)ainsi que les

tensionsu1(t)etu2(t).

©Matthieu Rigaut1 / 55Version du 10 oct. 2010

PCSI1, Fabert (Metz) I·1 - Circuits avec bobines et condensateurs

GIl apparaît sur ces graphiques que toutes les tensions et toutes les intensités ont des évolutions de

même allure :

Üévolution rapide au début

Üévolution plus lente à la fin pour finir sur une asymptote

Ütoutes les évolutions (tension et intensité) vont à la même vitesses (elles se finissent en même

temps) GTout cela est typique des évolutions de premier ordre.

Lcircuit avec un condensateur

GConsidérons le circuit ci-dessous dans lequel nous avonsE= 1,0 V;R1=R2=R3= 50 Ωet

C= 1,0 nF.

i1(t) E R1 u1(t) i2(t)

R2u2(t)

i3(t)

R3u3(t)

Cu4(t)

GFermons l"interrupteurKà l"instantt= 0et observons les intensitési1(t),i2(t)eti3(t)ainsi que les

tensionsu1(t)àu4(t).

©Matthieu Rigaut2 / 55Version du 10 oct. 2010

PCSI1, Fabert (Metz) I·1 - Circuits avec bobines et condensateurs GLes observations sont identiques à celles du circuit précédent :

Üévolution rapide au début

Üévolution plus lente à la fin pour finir sur une asymptote

Ütoutes les évolutions (tension et intensité) vont à la même vitesses (elles se finissent en même

temps) GTout cela est typique des évolutions de premier ordre. I·1·iii- observation de circuits du deuxième ordre

Lcircuit avec deux bobines

GConsidérons le circuit ci-dessous dans lequel nous avonsE= 1,0 V;R=R?= 100 ΩetL= 2L?=

0,2 H.

i1(t) E R u1(t) L u2(t) i2(t) R? i3(t)

L?u3(t)

GFermons l"interrupteurKà l"instantt= 0et observons les intensités et les tensions.

GCette fois, il apparaît :

Üque toutes les tensions et toutes les intensités n"ont la même allure (surtout les courbes C)

Üque toutes les évolutions finissent aussi à peu près en même temps

Lcircuit avec deux condensateurs

GConsidérons le circuit ci-dessous dans lequel nous avonsE= 1,0 V;R=R?= 50 ΩetC?= 5C=

5,0 nF.

i1(t) E R u1(t) i2(t)

Cu2(t)

R? u3(t) i3(t) C? u4(t)

©Matthieu Rigaut3 / 55Version du 10 oct. 2010

PCSI1, Fabert (Metz) I·1 - Circuits avec bobines et condensateurs GFermons l"interrupteurKà l"instantt= 0et observons les intensités et les tensions.

GCette fois, il apparaît :

Üque toutes les tensions et toutes les intensités n"ont la même allure (surtout les courbes C)

Üque toutes les évolutions finissent aussi à peu près en même temps Üqu"il semble exister deux phases dans le circuit (très visible sur les courbes A et C); c"est révélateur dedeuxtemps caractéristiques

Lcircuit avec une bobine et un condensateur

GConsidérons le circuit ci-dessous dans lequel nous avonsE= 1,0 V;R= 1,6 kΩ;C= 100 nFet

L= 0,1 H.

i1(t) E L u1(t) i2(t) R i3(t)

Cu2(t)

GFermons l"interrupteurKà l"instantt= 0et observons les intensités et les tensions.

GCette fois, il apparaît :

©Matthieu Rigaut4 / 55Version du 10 oct. 2010

PCSI1, Fabert (Metz)I·2 - Comportement d"un condensateur

Üque toutes les tensions et toutes les intensités ont à nouveau la même allure (des oscillations

d"amplitude décroissantes) Üque toutes les évolutions finissent aussi à peu près en même temps I·1·iv- régimes libre ou forcé, transitoire ou permanent

GLes phénomènes que nous avons observés sont complexes. Pouren parler, rien de tel qu"un vocabulaire

précis.

Ltransitoire ou permanent ?

Le régime est dittransitoirelorsqu"il est ni périodique ni continu.

GExemple sonore : une explosion, la voix.

Le régime est ditpermanentlorsque le régime transitoire est terminé.

GGlobalement, cela signifie qu"il n"y a pas d"évolution dans le dispositif : le régime peut être alors

continu ou permanent.

KRemarque: de manière tout à fait exceptionnelle, il peut y avoir des régimes permanents non pério-

diques. Exemple sonore : le bruit d"une cascade. Une évolution est soit en régime transitoire, soit en régimepermanent.

GSur chacun des exemples précédents, il est possible d"identifier le régime transitoire du régime per-

manent. Ceci dit, pour le régime permanent, il faudra se mettre d"accord car il n"est jamais vraiment

totalement atteint.

Llibre ou forcé?

Un dispositif est dit enrégime librelorsqu"aucune source ne lui apporte de l"énergie. Il est dit enrégime forcésinon. Un dispositif est soit en régime libre, soit en régime forcé.

GIci, pour tous les exemples :

Üle régime est libreavantla fermeture de l"interrupteur Üle régime est forcéaprèsla fermeture de l"interrupteur

I·2 - Comportement d"un condensateur

I·2·i- observation à l"oscilloscope

GLe but va être d"observer l"intensité traversant un condensateur tout en lui imposant une tension.

Pour cela réalisons le montage ci-dessous avecC= 100 nFetR= 1,0 kΩ.

©Matthieu Rigaut5 / 55Version du 10 oct. 2010

PCSI1, Fabert (Metz)I·2 - Comportement d"un condensateur

GBFug(t)

CuC(t)

RuR(t)

GExpérimentalement parlant, il n"est pas si simple que cela de mesurer une intensité. C"est pourquoi

nous avons branché une résistance en série avec le condensateur de manière à accéder à l"intensité

par la relationuR(t)=Ri(t).

GToutefois pour que la tension délivrée par le générateur soit celle aux bornes du condensateur, il

faudra vérifier que|uR(t)| ? |ug(t)|.

GEn envoyant sucessivement une tension triangulaire puis une tension sinusoïdale, nous obtenons les

résultats ci-dessous.

GDans les deux cas, nous pouvons effectivement vérifier que la tension aux bornes du résistor (échelle

de droite) est très inférieure à la tension totale.

GNous pouvons alors observer une propriété fondamentale du condensateur : l"intensité qui le traverse

est proportionnelle à la dérivée de la tension à ses bornes.

I·2·ii- condensateur idéal

Lecondensateur idéalse représente de la façon ci-dessous et est tel qu"il y a

proportionnalité entre l"intensité qui le traverse et la dérivée temporelle de la tension

entre ses bornes. C Ci(t) u(t) Un condensateur est caractérisé uniquement par sa conductanceC >0en farad (F). Dans la convention représentée ci-dessus, la relation constitutive s"écriti(t)= +Cdu(t) dt. GÉvidemment, en convention générateur, cela donnera :i(t)=-Cdu(t)dt.

GLes capacité (en TP) vont du pF auμF.

©Matthieu Rigaut6 / 55Version du 10 oct. 2010

PCSI1, Fabert (Metz)I·2 - Comportement d"un condensateur

I·2·iii- comportement en régime continu

GImaginons un condensateur en régime continu. Alors la tension à ses bornes est constante dans le

temps et l"intensité qui le traverse aussi. Dans ces conditions, nous pouvons constater alors que l"intensité est nulle. En régime continu, un condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert. CRC I·2·iv- comportement en régime transitoire

GIl est bien sûr hors de question que l"intensité du courant qui traverse le condensateur soit infinie.

Pour cela il faut que la tension soit mathématiquement dérivable, ce qui implique : La tension aux bornes d"un condensateur est une fonction mathématiquement continue du temps. !il ne faut pas confondre les deux significations du mot " continu ».

GBien que cela ne soit pas précisé, il va de soi que l"intensitédu courant qui traverse un condensateur

peut être discontinue. Si, par hasard, elle se trouvait êtremathématiquement continue, cela serait,

justement, le fruit du hasard ou de coïncidence provenant dureste du circuit.

I·2·v- retour sur les exemples

GSans en savoir plus que les lois deKirchhoffet le comportement d"un condensateur, nous pouvons retrouver quelles courbes correspondent à quelles grandeurs. GÀ l"instant initial, les condensateur étaient déchargés.

GCircuitRC:

iAi1 iBi2 iCi3 et uAu2 uBu1 uCu4 uDu3

GCircuit d"ordre 2 :

iAi1 iBi3 iCi2 et uAu2 uBu4 uCu1 uDu3 I·2·vi- approche électrostatique du condensateur GComme nous le verrons dans un des derniers chapitre de l"année : Uncondensateurest constitué de deux plaques, appelées armatures, qui peuvent accumuler des charges. Un condensateur est toujours globalement neutre, ce qui permet d"écrire les charges sur les armatures+qet-q.

©Matthieu Rigaut7 / 55Version du 10 oct. 2010

PCSI1, Fabert (Metz)I·3 - Comportement d"une bobine GBien évidemment, rien n"interdit d"avoir+q <0... Il y a proportionnalité entre la charge portée par chaque armature et la tension entre les bornes du condensateur. C+q-q uC: iciq(t)= +C u(t) C+q-q uC: iciq(t)=-C u(t)

GLe signe entre la charge et la tension est le même que celui devant la charge pointée par la flèche de

la tension.!l"approche électrostatique estextrêmement piégeusepour l"établissement de l"évolution du circuit

car elle fait intervenir une nouvelle grandeurqélectrocinétiquement inutile et de nouvelles conventions

de signes. Cette approche est à éviter à moins d"y être contraint. Si, à un moment ou à un autre il

faut chercher des charges portées par des armatures, nous raisonnerons en terme de tension tout le

temps et passerons à la charge au dernier moment.

GLe seul intérêt de cette approche est de permettre la compréhension du vocabulaire " charge »,

" déchargé » que nous utiliserons pour le condensateur. Quand un condensateur est ditdéchargé, les charges portées par chacune de ses armature sont nulles et, donc, la tension entre ses bornes aussi.

I·3 - Comportement d"une bobine

I·3·i- observation à l"oscilloscope

GLe but va être d"observer l"intensité traversant une bobinetout en lui imposant une tension. Pour

cela réalisons le montage ci-dessous avecL= 0,1 HetR= 100 Ω.

GBFug(t)

LuL(t)

RuR(t)

GDe même que pour le condensateur, il faudra vérifier que|uR(t)| ? |ug(t)|.

GEn envoyant sucessivement une tension rectangulaire puis une tension sinusoïdale, nous obtenons les

résultats ci-dessous.

©Matthieu Rigaut8 / 55Version du 10 oct. 2010

PCSI1, Fabert (Metz)I·3 - Comportement d"une bobine

GDans les deux cas, nous pouvons effectivement vérifier que la tension aux bornes du résistor (échelle

de droite) est très inférieure à la tension totale.

GNous pouvons alors observer une propriété fondamentale de la bobine : la tension à ses bornes est

proportionnelle à dérivée de l"intensité qui la traverse.

I·3·ii- bobine idéale

Unebobine idéalese représente de la façon ci-dessous et est telle qu"il y a

proportionnalité entre la tension à ses bornes et la dérivéetemportelle de l"intensité qui

la traverse. ??L ??Li(t) u(t) Une bobine idéale est caractérisée uniquement par son inductanceL >0en henry (H). Dans la convention représentée ci-dessus, la relation constitutive s"écritu(t)= +Ldi(t) dt. GÉvidemment, en convention générateur, cela donnera :u(t)=-Ldi(t)dt.

GLes inductances (en TP) vont du mH au H.

I·3·iii- comportement en régime continu

GImaginons une bobine en régime continu. Alors la tension à ses bornes est constante dans le temps

et l"intensité qui le traverse aussi. Dans ces conditions, nous pouvons constater alors que la tension

est nulle. En régime continu, un condensateur se comporte comme un interrupteur fermé. ??LRCRC I·3·iv- comportement en régime transitoire

GIl est bien sûr hors de question que la tension aux bornes de labobine soit infinie. Pour cela il faut

que l"intensité qui la traverse soit mathématiquement dérivable, ce qui implique :

©Matthieu Rigaut9 / 55Version du 10 oct. 2010

PCSI1, Fabert (Metz) I·4 - Étudier un circuit en régime transitoire L"intensité du courant qui traverse une bobine est une fonction mathématiquement continue du temps.

GDe manière analogue au condensateur, il va de soi que la tension aux bornes de la bobine peut être

discontinue.

I·3·v- retour sur les exemples

GNous pouvons maintenant finir de retrouver " qui est qui » dansles circuits comportant des bobines.

GÀ l"instant initial, les condensateur étaient déchargés etles bobines n"étaient pas traversés par des

courants.

GCircuitRL:

iAi1 iBi3 iCi2 etuAu1 uBu2

GCircuit du second ordreRL:

iAi1 iBi3 iCi2 et uAu1 uBu2 uCu3

GCircuit du second ordreRLC:

iAi2 iBi1 iCi3 etuAu2 uBu1 I·4 - Étudier un circuit en régime transitoire I·4·i- comment déterminera priorile régime?

GPour " libre » ou " forcé », c"est simple, il suffit de regarder lecircuit : s"il y a un générateur, c"est

un régime forcé, s"il n"y en a pas (ou s"il est déconnecté suite à la manipulation d"un interrupteur)

c"est un régime libre.

GPour " permanent » ou " transitoire », il faut regarder quelles sont les conditions expérimentales :

les régimes sont forcés après une durée " longue » ou, au moins, " suffisamment longue ». Ainsi

quand il est précisé qu"" on attend longtemps avant de fermerl"interrupteur », cela signifie qu"avant

la fermeture de l"interrupteur, le régime est permanent. Demême, lorsqu"il est demandé de préciser

ce qui se passe après la fermeture de l"interrupteur, cela sous-entend qu"il faut déterminer la partie

transitoire du régime.

GDans quelques chapitre, il y aura un régime forcé qui nous intéressera tout particulièrement : le

régime sinusoïdal forcé. I·4·ii- comment déterminera prioril"ordre d"évolution?

GSauf montages un peu particuliers, s"il y a une seule bobine ou un seul condensateur, le circuit sera

d"ordre 1 et toutes les grandeurs auront le même type d"évolution. GQuand il y a deux composants (bobine et condensateur), le circuit est d"ordre 2.

GAvec plus de composants, il est possible de faire des circuitd"ordre 3, mais nous n"en rencontrerons

pas trop.

I·4·iii- approche nodale ou maillère

GLe fait que les circuits vont comporter bobines et condensateurs ne va pas changer fondamentalement

les approches nodale et maillère. Il faudra juste faire un peu plus attention à l"écriture des lois.

©Matthieu Rigaut10 / 55Version du 10 oct. 2010

PCSI1, Fabert (Metz) I·4 - Étudier un circuit en régime transitoire

Lloi des mailles en terme de courant

GLorsqu"une bobine est dans la maille, pas de problème, nous pouvons écrire directement la tension à

ses bornes en terme de courant :uL(t)=±LdiL(t) dtsuivant la convention.

GPour le condensateur, c"est plus délicat. Pour trouver la relation, nous allons devoirintégrerla

relation courant tension. Cela donne : t 0 i

C(t?)dt?=?

t 0

CduC(t?)

dt?dt?=C[uC(t?)]t0=C u(t)-C u(0)

GEt ainsi nous obtenons :

La tension en terme de courant s"écrit pour un condensateur : u(t)=u(0)±1 C? t 0 i

C(t?)dt?

GIl y a deux choses importantes dans cette loi :

Üla présence du termeu(0), indispensable en tant que " condition initiale »

Üquand nous allons dériver le membre de droite (le seul écrit dans la loi des mailles en terme

de courant), nous obtenons±iC(t)

Csuivant la convention.

GDans la mesure du possible, nous éviterons d"écrire cette loi. En d"autre terme, tant que nous n"aurons

pas d"outils plus efficaces (c"est-à-dire pas avant quelqueschapitres), nous ferons très attention pour

écrire de telles lois.

Lloi des noeuds en terme de potentiel

GCette fois c"est le contraire : pour le condensateur, cela sepassera bien, mais pas pour la bobine. GPour le condensateurs, nous écrirons tout simplementiC(t)=±Cd(V1(t)-V2(t)) dtoù les points1et

2sont les bornes du condensateur.

GPour la bobine, un raisonnement identique au précédent conduit à : Le courant en terme de potentiel traversant une bobine s"écrit : i(t)=i(0)±1 L? t 0 u

L(t?)dt?

GComme précédemment, nous ferons très attention pour écriredes lois de noeuds en terme de potentiel

avec des bobines. I·4·iv- association de bobines ou de condensateurs

GLorsque deux (ou plusieurs) bobines ou condensateurs sont en série ou en parallèle, il est possible de

les associer,ie.de les remplacer par un seul composant électrocinétiquement équivalent.

©Matthieu Rigaut11 / 55Version du 10 oct. 2010

PCSI1, Fabert (Metz)II - Évolution du premier ordre Une association série de bobines est équivalente à une bobine unique. I ??L1??L2??Ln U ??L

éqI

U L"inductance de la bobine équivalente vautLéq=L1+L2+···+Ln. Une association parallèle de bobines est équivalente à un bobine unique. L1 L2 Ln I U I U

Léq

L"inductance de la bobine équivalente vaut

1

Léq=1L1+1L2+···+1Ln.

Une association série de condensateurs est équivalente à uncondensateur unique.

IC1C2Cn

U

CéqI

U La conductance du condensateur équivalent vaut1

Céq=1C1+1C2+···+1Cn.

Une association parallèle de condensateurss est équivalente à un condensateur unique.

C1C2Cn

I U I U

Céq

La conductance du condensateur équivalent vautCéq=C1+C2+···+Cn.

II - Évolution du premier ordre

II·1 - CircuitR,Lsoumis à un échelon de tension

II·1·i- présentation et analyse

GConsidérons le circuit ci-dessous.

©Matthieu Rigaut12 / 55Version du 10 oct. 2010

PCSI1, Fabert (Metz) II·1 - CircuitR,Lsoumis à un échelon de tension i(t) E R K

LuL(t)

GÀ un instant,Kest fermé. Cherchons l"évolution ultérieure.

GAnalyse physique :

Üles grandeurs connues sontE,RetL

Ünous allons donc chercheri(t)etuL(t)

Üil s"agit d"un circuit en régime forcé et transitoire

GAnalyse technique :

Üune seule maille→loi des mailles en terme de courant Ünous utiliserons la relation courant tension de la bobine pour obteniruL(t).

II·1·ii- traduction des lois physiques

GLa loi des mailles en terme de courant s"écrit,une fois que l"interrupteur est fermé:

E-Ri(t)-Ldi(t)

dt= 0?????Ldi(t)dt+Ri(t)=E II·1·iii- interlude mathématique - équation différentielle d"ordre1 GOu plus précisément : équation différentielle d"ordre 1 à coefficients constants.

GComment résoudre l"équationdα(t)

dt+1τα(t)=qqch(t)?

Lapproche physique

GIntéressons-nous tout d"abors à la dimension de la constanteτ. Écrivons pour cela que les deux

termes du membre de gauche sont de même dimension : dα(t) dt?

α(t)τ?

[dα][dt]=[α][τ]

GEt comme la notation différentielle ne représente qu"une différence, nous avons[dα] = [α]et[dt] = [t]

d"où? ???[τ] = (s) =T. La constanteτa la même dimension qu"un temps : elle est appeléeconstante de temps.

GÉtant donné que la constanteτapparaît dans l"équation, il est normal qu"elle apparaissent dans la

solution. La constanteτreprésente l"échelle de temps sur laquelle va se faire l"évolution.

GDe plus la partie " à droite » de l"équation représente les contraintes extérieures (ici le générateur),

c"est donc ce qui va être à l"origine du régime forcé.

©Matthieu Rigaut13 / 55Version du 10 oct. 2010

PCSI1, Fabert (Metz) II·1 - CircuitR,Lsoumis à un échelon de tension

Lapproche technique

GIl y a trois étapes à faire etdans l"ordre: Üécrire toutes les solutions possibles (mode automatique) Üchercher une solution qui marche mathématiquement parlant(mode automatique ou raison- nement physique) ÜchercherLAsolution du problème posé (raisonnement physique obligatoire)

Ytoutes les solutions possibles

Pour l"équation différentielledα(t)dt+1τα(t)=qqch(t),toutesles solutions possibles s"écrivent :

α(t)=λe-t/τ+αp(t)

oùλest une constante à déterminer etαp(t)une solutionparticulière. GNous pouvons constater queα(t)t→+∞------→αp(t),ie.: La solution particulièreαp(t)n"est autre que la solution en régimepermanent.

Yune solution qui marche

GIl faut maintenant chercher une solution qui marche,ie.qui vérifie l"équation différentielle complète.

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