1 2 CCP 23 RMS Soient Eun C-espace vectoriel de dimension nie n>1 et u2L(E) un endomorphisme ayant naleursv propres distinctes a) Que peut-on dire de u? b) Montrer que si g2L(E) est solution de l'équation (E) : g2 = u alors tout vecteur propre de uest aussi vecteur propre de g c) Combien l'équation (E) admet-elle de solutions ?
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????A=0 B BB@a 1a1a1 a a nanan1 C
CCA2 Mn(R)? ??? ??????
?? ???? ??? ?? ???? ?? ?? ???????A? B BB@a 1 a 2??? a n1 CCCA? ??? ??? ??? ????? ???????A̸= 0? ?????A=0
C C C 1 A ??(A) = 1 ?? ?? ??????=a1+a2++an;A2=0 B BB@a1 a1a1
a2 a2a2
a n anan1 C CCA=A ()= 1 ??det(2A??(A)In=2a12a12a1
2an2an2an
(L1 L1+L2++Ln)2an2an2an
1 112an2an2an
0 B BB@C1 C1Cn
C2 C2Cn???
C n1 Cn1Cn1 C CCA=0 00 1
0 0 2an1
2an n det(2A??(A)In=(1)n+1 00 0 0 n1=2 0 0 n2 det(2A??(A)In= (1)n1n= (1)n1??(A)n ?? ??? ??????? ???? ??u? ????? ??????? ?????? ??g? ?????gou=gog2=g3=g2og=uog? ????x?? ??????? ?????? ??u? ?? ??????i2C??? ???u(x) =ix?i????? ??? ?????? ?????? ??????? ?? ???? ??????Eu(i)??? ?? ?????? ????(x)? g g(x)2Eu(i) =????(x)? ???? ?? ??????2C??? ???g(x) =x? ?? ??? ?????? ??? x??? ?? ??????? ?????? ??g ?? ??????? ??u???? ????? ???? ???∆ =0 B BB@ 100020 0 0n1 C CCA? B BB@ 100
020 0 0n1 C CCA? g
2=u()D2= ∆() 8i;2i=i
i=1 i ????D=0 BBB@100
0200 0 n1
C ?????1= 0????? ??? ????? ?????? ?????? ????C? ? ??????1= 0? ?? ??? ??????i??? ???? ??????? ??????? ????D=0 BBB@0 00
0200 0 n1
C < A;B >=??(tA:B)? ?? ????M=0 @0 1 2 2 0 1 11 01 A ??8M2Sn(R);8N2An(R); < W;N >=??(tM:N) =??(M:N) =??(t(M:N)) =??(tN:M) =??(N:M) =??(M:N) =< M;N > ????< M;N >= 0? ?? ??? ?????? ???Sn(R)?An(R)? ???? ?????? ???An(R)(Sn(R))? ?? ?????dim(Sn(R)) =n(n+1) 2 ??dim(An(R)) =n(n1) 2 ?? ????dim(An(R)) =n2dim(Sn(R)) = A n(R) = (Sn(R))? ???? ??????F? 2 {z2Sn(R)+
MtM 2 {z ??????Sn(R)???p(M) =M+tM 2 ? ????d(M;Sn(R)) =∥Mp(M)∥= MtM 2 ???????M=0 @0 1 2 2 0 1 11 01 A ;Mp(M) =1 2 0 @0 @0 1 2 2 0 1 11 01 A 0 @0 21 1 012 1 01
A1 A =1 2 0 @01 3 1 0 2 32 01A d(M;Sn(R))2= MtM 2 2 =1 4 (0 + 1 + 9 + 1 + 0 + 4 + 9 + 4 + 0) = 7? ???? d(M;Sn(R)) =p 7 H ?=????(In)
M=??(M)
n In| {z2V ect(In)+M??(M)
n In| {z 2H ????p(M) =M??(M) n In? ???? ?? ??? ???? ?????? ?? ????? ?? ?????? ???q(M) =??(M) n In ??(M) n In 2 =(??(M) n 2 ∥In∥2 {z =1+1+:::+1=n=(??(M))2 n @1 1 1 1 1 11 1 11
A 9 3 =p 3U= maxfX;Yg?V= minfX;Yg?
????U(Ω) =N? 8k2N;(U=k) = [(X=k)\(Y= 1)][[(X=k)\(Y= 2)][ [[(X=k)\(Y=k1)] [[(X=k)\(Y=k)][[(X= 1)\(Y=k)][[(X= 2)\(Y=k)][[[(X=k1)\(Y=k)] k∪ h=1[(X=k)\(Y=h)][k1∪ l=1[(X=l)\(Y=k)]P(U=k) =k∑
h=1P[(X=k)\(Y=h)] +k1∑ l=1P[(X=l)\(Y=k)] h=1P(X=k)P(Y=h) +k1∑ l=1P(X=l)P(Y=k) =k∑ h=1pq k1pqh1+k1∑ l=1pq l1pqk1 =p2qk1k∑ h=1q h1+p2qk1k1∑ l=1q l1=p2qk11qk1q+p2qk11qk1
1q =pqk1(1qk+ 1qk1)? ???1q=p?8k2N; P(U=k) =pqk1(2qkqk1)
8k2N;(V=k) =1∪ h=k[(X=k)\(Y=h)]1∪ l=k+1[(X=l)\(Y=k)]P(V=k) =1∑
h=kP[(X=k)\(Y=h)] +1∑ l=k+1P[(X=l)\(Y=k)]P(V=k) =1∑
h=kP(X=k)P(Y=h) +1∑ l=k+1P(X=l)P(Y=k)1∑
h=kpq k1pqh1+1∑ l=k+1pq l1pqk1 =p2qk11∑ h=kq h1+p2qk11∑ l=k+1q l1=p2qk1(qk1 1q+qk 1q) =pqk1(qk1+qk)8k2N; P(V=k) =pqk1(qk+qk1)
P[(U;V) = (k;k)] =P(X=k)P(Y=k) =p2q2k2
P[(U;V) = (k;h)] =P(X=k)P(Y=h) +P(X=h)P(Y=k) =p2qk+h2+p2qh+k2= 2p2qh+k28(k;h)2N2;P[(U;V) = (k;h)] =8
:0si k < h p2q2k2si k=h
2p2qh+k2si k > h
8k>2;(U+V=k) = (X+Y=k)
= (X= 1;Y=k1)[(X= 2;Y=k2)[ [(X=k1;Y= 1) k1∪P(U+V=k) =k1∑
h=1P(X=h)P(Y=kh) =k1∑ h=1pq h1pqkh1=p2k1∑ h=1q k28k>2;P(U+V=k) =p2(k1)qk2
??E(U+V) =1∑ k=2kP(U+V=k) =p21∑ k=2k(k1)qk2 ?? ???? ??? ?8x2]1;1[;1∑ k=0x k=1 k=0kx k1=1 (1x)2??1∑ k=0k(k1)xk2=2 (1x)3 ???? ?E(U+V) =p21∑ k=2k(k1)qk2=2p2 (1q)3=2 pE(U+V) =2
p ???A=0 @1 11 1 33 2 221 A?? ??????? ???E= ker(f2)ker(f2IdE)??? ?????? ?? ??????? ??ker(f2)ker(f)??? ??????? ????? ?????? ??? ????B′??E????? ???MatB′(f) =0
@0 1 0 0 0 00 0 21
A ?? ????g2L(E)??? ???g2=f? ??????? ???ker(f2)??? ?????? ???g? ??? ??????? ?? ??????? ? ker(f2)\ker(f2IdE) =f0g? A 2=0 @2 22 2 220 0 01
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̸= 0? ????x2kerf2????x =2kerf?x2ker(f2)ker(f)
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A :f(u) = 0 f(v) =u f(w) = 2w ??????? ????v2ker(f2)ker(f)? ??? ???????v=x?? ??????? ???????V=X=0 @1 0 11 A B? ??????f2(v) = 0????f(v)̸= 0? ??????? ?????u=f(v)? ?? ????? ???f(u) =f2(v) = 0? u? ???? ??????? ???????U=A:V=0 @0 4 41A ??????? ???? ????w?? ??????? ??? ??? ??ker(f2IdE)? ??? ??????(A2I3):W= 0? 0quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50