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De fait l'addition de vecteurs nous permet de décrire une soustraction vectorielle ainsi : e − f = (xe− xf)i+ (ye− yf)j+ (ze− zf)k ( / ) Une soustraction vectorielle

Chapitre I : Rappel sur le calcul vectoriel I 1 Introduction I 2 Scalaire et vecteur I 3 Opérations sur les vecteurs I 3 1 Somme et multiplication par un scalaire

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Addition et soustraction de deux vecteurs L'addition de vecteurs s'appelle somme ou résultante et cela représente aussi un vecteur Afin de trouver la somme

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De fait l'addition de vecteurs nous permet de décrire une soustraction vectorielle ainsi : e − f = (xe− xf)i+ (ye− yf)j+ (ze− zf)k ( / ) Une soustraction vectorielle

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Pour tracer la résultante, clique sur Somme vectorielle et dessine le vecteur allant de l'origine libre à l'extrémité libre de l'ajustement illustré à la figure 1 Le

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Chaque façon de le nommer fournit une nouvelle égalité vectorielle; on a On peut définir une addition des vecteurs qui a des propriétés semblables à celles

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On appelle (force) résultante la force correspondant à la somme vectorielle de tous les Cas particulier : Addition de deux forces de directions perpendiculaires

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Le vecteur nul est ainsi colinéaire et orthogonal à tout vecteur puisquiil peut prendre toutes les directions 2 Addition vectorielle Pour '**/:/544+8 deux vecteurs u

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La somme de deux vecteurs libres et , notée , est un vecteur libre , obtenu par la "règle du parallélogramme" - Propriété L'addition vectorielle est une loi de

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Mémo de cours n°2

Somme vectorielle

v1.3 CC-by-saOlivier Cleynen -in troméca.ariadacapo.net 2.1

N otiond ev ecteur2.1.1N otationCertaines propriétés en physique (par exemple, la position dans l"espace, ou la vitesse)

être décrites à l"aide d"entités nomméesvecteurs. Un vecteur peut être représenté par un segment dont la longueur est proportionnelle à la grandeur qu"il représente, et dont la direction est la même que la ligne d"action de la propriété. Plusieurs conventions peuvent être adoptées pour représenter un vecteur, parmi les- quelles : Deux lettres capitales surmontées d"une ?èche :?→AB(Areprésentant alors le point de départ etBcelui d"arrivée); Une lettre surmontée d"une ?èche :⃗c(on peut alors interpréter cette lettre comme

étant le " nom » du vecteur);

L"utilisation du soulignage (AB,c) ou du graissage (AB,c) (une utilisation fréquente dans la littérature anglophone mais que nous n"utiliserons pas ici);

L"utilisation de vecteurs unitaires :x⃗i+y⃗j, où⃗iet⃗jdé?nissent deux directions

di?érentes su?santes pour décrire le vecteur;

U neco lonnede m atrice:

?x y?oùxetysont les coordonnées du vecteur. Ces notations équivalentes entre elles doivent être di?érenciées de la simple notation "AB» ou "c» qui représente lanorme(encore appeléemoduleoulongueur) du vecteur. 2.1.2

C omposantesd "unv ecteur

L"origineOde tout vecteur?→OAdans un espace à trois dimensions peut être utilisé comme origine d"un système d"axes orthogonaux. Si le pointAa pour coordonnées 1

(xA,yA,zA)alors les vecteursxA⃗i,yA⃗jetzA⃗ksont lesvecteurs composantsdu vecteur?→OA.

Les longueursxA,yAetzAsont appelées lescomposantes deAselon les trois axes choisis. Lemodulede?→OA, parfois appelée norme, est la longueurOA, et notée??→OA?:

OA≡??→OA?(2/2)

Par application du théorème de Pythagore, on peut quanti?er la norme d"un vecteur si l"on connaît ses coordonnées : OA=?x

2A+y2A+z2A(2/3)

AB=?(xB-xA)2+(yB-yA)2+(zB-zA)2(2/4)

2.2

S ommev ectorielle2.2.1S ommed ed euxv ecteurs

Lorsque l"on additionne deux vecteurs, la somme (parfois appeléerésultante) obtenue a des coordonnées chacune égale à la somme des coordonnées des composantes.

D"une façon générale le point de référence pour e?ectuer la somme peut être di?érent

deO. Si l"on a⃗e(xe,ye,ze)=?→ABet⃗f(xf,yf,zf)=?→CD, alors Il en va de même pourye,ze, et les composantes de⃗f. Une somme vectorielle en deux dimensions est représentée en ?gure 2.1 2

Figure2.1 - Le vecteur⃗ctel que⃗a+⃗b=⃗cInsistons immédiatement sur le fait que la longueur?⃗e+⃗f?n"est pas égale à?⃗e?+?⃗f?

(excepté le cas particulier où les deux vecteurs sont colinéaires et de même sens).

On a ainsi :

2.2.2

V ecteuro pposée ts oustractiond ev ecteurs

Le vecteur⃗aest l"opposédu vecteur⃗bsi leur somme est égale au vecteur nul (⃗0de

coordonnées(0,0,0)). On écrit alors⃗a=-⃗b. De fait l"addition de vecteurs nous permet de décrire une soustraction vectorielle ainsi : Une soustraction vectorielle en deux dimensions est représentée en ?gure 2.2 3

Figure2.2 - Le vecteur⃗ctel que⃗a-⃗b=⃗cPrenons encore une fois la peine d"insister sur le fait qu"en général la longueur?⃗e-⃗f?

n"est pas égale à?⃗e?-?⃗f?. 2.3 U tilisationd esv ecteurse np hysique2.3.1C omparaisond esv itesses L"application la plus visuelle des vecteurs en physique est probablement l"addition des vitesses. Les vitesses de plusieurs corps peuvent en e?et être comparées les unes aux la vitesse d"un corpsApar rapport à un corpsB, on peut écrire :

VArB=??→VArC+??→VCrB(2/9)

Autrement dit, en termes de vecteurs, la vitesse deApar rapport àBest égale à la vitesse deApar rapport àCadditionnée à la vitesse deCpar rapport àB. En termes de valeurs

absolues (c"est à dire de vitesses mesurées en pratique) cette relation est très di?cile à

articuler pour un cas général à cause des angles relatifs. L"utilisation de vecteurs la rend

générale quelques soient les directions en jeu. On peut utiliser autant de points que l"on le souhaite, ainsi : 4

2.3.2A utresu tilisationsD"une façon générale la notion de vecteur est utile pour décrire toute grandeur qui a

plusieurs composantes indépendantes. On peut s"en servir pour décrire, comparer et additionner :

L esf orces;

L esp ositions,les v itesseset les accé lérations;

L est orseurs.

Nous verrons que l"on peut dériver ou multiplier les vecteurs, ce qui en fait des outils

très puissants. Il est laissé à l"étudiant/e le loisir de découvrir les nombreuses autres

applications non citées ici. 5

Bureau d"études n°2

v1.3 CC-by-saOlivier Cleynen -in troméca.ariadacapo.net 2.1

V itessed "évolutiond "uneb argeUn ensemble de 12 barges de masse1500tchacune, est tracté par un remorqueur ca-

pable d"évoluer à une vitesse de5ms-1sur un ?euve de largeur500met de vitesse d"écoulement2ms-1(que nous supposons uniforme). L"ensemble quitte le rivage et

1.Quel angle le convoi doit-il adopter par rapport à la rivière pour la traverser

perpendiculairement? L"exploitant du remorqueur souhaite transférer les barges vers un port situé2kmen amont, sur la rive opposée du ?euve. 2. Quelle doit être la vitesse minimale du remorqueur par rapport à l"eau pour permettre le transfert en moins de 10 min Figure2.3 - Un exemple de barge conçue pour être pilotée e?cacement par un remor-queur.

Source inconnue

2.2G uidaged "una viona urad arVous êtes commandant/e à bord d"un important navire militaire. L"équipage d"un avion

en détresse vous contacte en demandant la position de l"aéroport le plus proche. à3kmZénith,12kmSud, et3kmEst, et sa vitesse relative à200km/hNord. Le navire se déplace plein Est avec une vitesse de 10 km/h Vous mesurez également la position relative d"une balise radio placée sur la côte : elle se situe à 1,2 km d "altitude,30 km a un ord,et 0 ,5 km

à l "estd un avire.

Votre documentation vous indique que la balise est située à15kmau nord et3kmà l"ouest de l"aéroport le plus proche, qui est au niveau de la mer. 1. Quelle est la position relative de l"avion par rapport à l"aéroport, et la distance qui les sépare? 2. Q uelc apdo nnez-vousà l "avionp ourq u"ilr ejoignel "aéroporta up lusv ite? 2.3

H élitreuillageen m er

Vous êtes pilote d"hélicoptère et vous préparez une mission d"hélitreuillage au dessus

d"un navire. Le cap du navire est de20°; il évolue à une vitesse (mesurée par rapport à l"eau) de 22
en direction Est, et que le vent vient du Sud avec une vitesse de 15 ms -1. Vous approchez le navire avec votre AS365 et son équipage. Quel cap et quelle vitesse air devez-vous adopter pour vous maintenir immobile au dessus du pont du navire? 7

Capacity 11pax

Length 13,7

Rotor diameter 11,9

Height 4,1

OWE 2411

MTOW 4300

Powerplant 2 ×TurbomécaArriel 2C

(single turbosha?, 838 shp (625 kW ) each)

Maximum speed 306

kmh -1

Maximum rate of climb 8,9

ms -1

Service ceiling 19200

?Table2.1 - Caractéristiques de l"AS365 Dauphin.Figure2.4 - Eurocopter AS365 Dauphin, hélicoptère de taille moyenne produit en800

exemplaires environ. Jadis le fer de lance d"Aérospatiale, il succède à l"Alouette III. Plan d omainep ublicN ASA 8

2.4P alesd "hélicoptèreUn hélicoptère dont les caractéristiques sont détaillées plus bas est en vol à la vitesse de

150
km/h. Le rotor bi-pale tourne à la vitesse de250tours/min, dans le sens anti-horaire.

1.Représentez graphiquement et calculez la vitesse relative à l"air de deux segments

de pales de rotor, l"un à 1 m d ucen tred ur otoret l "autreà l "extrémitéde p ale, L orsquel ap alees ta udes susde l aq ueuede l "appareil(p osition6 h L orsquel ap alees tà l adr oitede l "appareil(p osition3 h L orsquel ap alees tà ga uchede l "appareil(p osition9 h 2. Quelles sont les conséquences sur la portance que peut générer une pale au fur et à mesure qu"elle tourne autour du rotor? Quel(s) mécanisme(s) est/sont utilisé(s) pour maîtriser cela? Figure2.5 - Bell 212Twin Huey, produit en plus de1000exemplaires entre 1968 et 1998 sous di?érentes désignations. Plan

C C-byparl "utilisateur?rice Commons Jetijones

Length 17,4m

Rotor diameter 14,6

Height 3,83

OWE 2960

MTOW 5080

Engine 1 ×Pratt & Whitney CanadaPT6T-3

(double turbosha?) 1800 shp (1 342 kW )Table2.2 - Caractéristiques du Bell 212. 2.5

V itessesd "una vionVous êtes aux commandes d"un Beechcra? B200, en croisière au niveau 250, et vous

faites route en direction de l"aéroport de Nice. Le vent à votre altitude est négligeable; votre cap est de 110 La contrôleuse à l"aéroport de Nice mesure votre position à8kmau sud, et32kmà l"ouest de l"aéroport. Pour cela elle utilise un radar positionné à Caussols (4kmau nord et 22 km

à l "ouest),à un ea ltitudede 1 335

m 1. Q uelledi stanceexac tementv ouss épared urad ar? En e?ectuant plusieurs mesures la contrôleuse détermine qu"un autre appareil au nord- est de votre position se déplace avec un vecteur vitesse de125ms-1ouest,12ms-1nord, et 2 ms-1vertical. 2. Q uellees tl av itessede l "autrea ppareilp arra pportà v ous-même?

Pendant la ?n de la croisière, vous préparez la phase d"approche ?nale. Le bulletin météo

annonce un vent orienté vers315°pour27ktsau sol et vous prévoyez un atterrissage en piste 04L. Le plan d"approche prévu est de3,5°par rapport à l"horizontale. Les vitesses d"approches sont recensées dans le manuel de vol et présentées en ?gure 2.6 3. Q uelles erav otrev itessep arra pporta us olen co urte?n ale? 4.

Q uelc apado pterez-vousen co urte?n ale?

5. S iv ousn em odi?ezp asle c apde l "avionà l "arrondi,q uelles eral av itessel atérale (en dérapage) des roues lors du toucher? 10 Figure2.6 - Vitesse d"approche du B-200 en fonction de sa masse (extrait du manuel de vol). 11 Figure2.7 - Beechcra? B200 King Air, en production depuis 1972 (3500exemplaires vendus) Plan d omainep ublicN ASACrew 1-2

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