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Definition Deux entiers a et b sont dits congrus modulo N, o`u N ≥ 2 est un entier si leur différence est divisible par N, c `a-d qu'il existe un entier k tel que a
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Fiche 003 Niveau : 0Gris
Les opérations de base modulon
1 Les classes résiduelles
Soitnun entier>1. Sixetysont deux entiers, nous dirons que : x≡y(n), siy-xest divisible parn, c'est-à-dire s'il existe un entierktel que : y=x+kn.Exemples :
17≡47 (15),
-3≡11 (7). Théorème 1.1Pour tout entiery, il existe un unique entierxtel que : y≡x(n)Remarquons que dans le théorème précédent,xn'est rien d'autre que lereste de la division deypar
n. L'opération qui àyetnfait correspondrexsera notée : x=ymodn.Exemples :
47 mod 15 = 2,
-20 mod 7 = 1. Il ne faudra donc pas confondre les deux notions qu'on a introduites : •la relation "≡» : x≡y(n)??y=x+kn •l'opération "mod» : x=ymodn???x≡y(n) 12 Quelques manipulationsThéorème 2.1L'addition et la multiplication sont compatibles avec la relation "≡» :
?x1≡y1(n)
et x2≡y2(n)=????x
1+x2≡y1+y2(n)
et x1x2≡y1y2(n)
En particulier on peut écrire :
x≡y(n) =?xk≡yk(n).Remarquons aussi le résultat très simple suivant qui sert parfois : simest un diviseur denalors
x≡y(n) =?x≡y(m) (en effet, siy-xest multiple denil est aussi multiple dem).3 Un peu de formalisation
Soitnun entier>1. La relation "≡» dans l'ensembleZdes nombres entiers est une relation d'équi-
valence. L'ensemble des classes d'équivalence est notéZ/nZ.Chaque classe aun représentant et un seuldans l'intervalle d'entiers[0,n[, et évidemment chaque
entier de cet intervalle représente une classe. Autrement dit on peut représenterZ/nZcomme l'en-
semble{0,1,···,n-1}.Étant donné un entieryon trouve le représentant de sa classe contenu dans cet intervalle en prenant
x=ymodn, c'est-à-dire en prenant le reste de la division euclidienne deyparn.Comme les opération d'addition et de multiplication surZsont compatibles avec la relation d'équiva-
lence "≡», on peut les utiliser pour définir une addition et une multiplication dansZ/nZ: la somme
de deux classes représentées respectivement parxet paryest la classe représentée parx+y, leur
produit est la classe représentée parxy. La compatibilitédes opérations avec la relation d'équivalence
permet de montrer que les résultats obtenus sont indépendants des représentants choisis et donc de
prouver que les définitions données de la somme et du produit dansZ/nZsont cohérentes. L'ensembleZ/nZmuni de ces deux opérations est unanneau commutatif unitaire(Les opérationsdansZ/nZétant définies à partir des opérations deZ, elles retrouvent exactement leurs mêmes pro-
priétés).