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Polynôme caractéristique d'une matrice Alg`ebre linéaire MP/MP* Lycée Henri IV On se place sur Mn(K) avec K = R ou C et on note χA(X) = det(A − XIn)

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25 oct 2005 · 4A est inversible car son déterminant Upolynôme en les X- UnTest pas le polynôme nul, dToù det $XI/ 4A 4B φ det $XI/ 4B 

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important, qui affirme que le polynôme caractéristique d'une matrice annule cette matrice 1 Polynôme de matrice, polynôme d'endomorphisme On note Mn() 

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Exercice 7 Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie n et u un endomorphisme nilpotent de E 1 Sans utiliser le polynôme minimal, montrer 

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Diagonalisation - Polynôme caractéristique et minimal 1 Diagonalisation et polynôme caractéristique Exercice 1 Soit E un K-espace vectoriel de dimension  

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Ce vecteur est vecteur propre de f de valeur propre λ Définition ( Polynôme caractéristique d'une matrice ) Soit A une matrice carrée n × n avec coefficients dans 

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Des coefficients du polynôme caractéristique Lemme : soient n où Rn est un polynôme de degré au plus n − 2 (éventuellement nul ) En particulier detAn (t)  

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Polynôme caractéristique Il s'agit d'étudier un polynôme d'endomorphisme particulier dans le cas de la dimension finie Nous travaillerons donc avec des 

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x2En f0g????f(x) =x?

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??2k??x2Enf0g? ????? ???? ?? ???? ????? ?? ???? ?????? ??? ?????? ?????? ?? ??????? ?????? ???P(f) +Q(f) = (P+Q)(f)? ???P(f)Q(f) =Q(f)P(f) = (PQ)(f)? ?????? ???????P=a0+a1X++Xd??Q=b0+b1X++beXe? ?? ? ? P(f)+Q(f) =a0Id+a1f++fd+b0Id+b1f++bede= (a0+b0)Id+(a1+b1)f+= (P+Q)(f)

P(f)Q(f) =

dX i=0a ifi eX j=0b jfj =dX i=0a i f i eX j=0b jfj ifi; dX i=0a ie X j=0b max(d;e)X l=0 X i+j=la ibj f k= (PQ)(f): ?????(PQ)(f) = (QP)(f)? ?? ??????? ????? ?? ????? ???? ???? ???? ?? ???? ???? ??????? ???ker(P(f)) ?????P(f)(f(x)) =f(P(f)(x)) =f(0) = 0????kerP(f)??? ??????? ?? ??x=P(f)(y)? ?????f(x) = f(P(f)(y)) =P(f)(f(y))????imP(f)??? ??????? ???? ?? ?????? ?? ?????? ?? ???? ???????P(f)Q(f)?? ???? ??P(f)Q(f)? imP(f)? ?? ?ker(P(f)) = ker(P1(f)) ker(Ps(f))? kerP(f) = kerP1(f)kerP2(f)? ?????? ??????? ???kerPi(f)kerP(f)????i= 1;2??????? ?? U

1(f)P1(f) +U2(f)P2(f) = Id:???

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XIdA=XIdA11A12

0XIdA22

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BBB@0a0

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1am11 C CCCA: ((f))(x) =P(f)(0(f)(x)) =P(f)(0) = 0; ????B??? ???? ??E??A?? ??????? ??f???? ????? ????? ?????? ???? ?? ???? ??? ?? ??????? ??f???? ??? ????B0???P1AP? ??P??? ?? ??????? ?? ??????? ??B?B0? ???? ???f???A? ??? (X) = det0 B @XId0 B @a 11 0ann1 C A1 C

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