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2019-2020 Exercices d’entra^ nement : Approche non asymptotique (1) Exercice 1 Distance entre la m ediane et la moyenne Soit Xune variable al eatoire r eelle de carr e int egrable Soit mune m ediane de X 1 En utilisant l’in egalit e de Bienaym e-Chebychev, montrer que jEX mj p 2VarX

Exercices entra nement sur les nombres complexes

Exercices d’entraînement sur les nombres complexes Exercice 1 : 3ème degré, losange, N Calédonie 2002 1 On considère le polynôme P de la variable complexe z, défini par : P z z i z i z i( ) 1 2 74 2 74 2= + − + − −3 2( ) ( ) a Déterminer le nombre réel y tel que iy soit solution de l’équation P(z) = 0 b

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Exercice / Entraînement en endurance Activité qui sollicite de grands groupes musculaires de façon répétitive et aérobie (la marche, le vélo, l'aviron, par exemple) Exercice / Entra înement en résistance (Entranement en force) Travail qui accroît la force, la puissance et l'endurance musculaire du corps

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Exercices d’entra^ nement 2 - 01/10 CM Phon etique Document sur la phon etique articula-toire Exercices d’entra^ nement 3 - 08/10 CM Phonologie Exercices d’entra^ nement 4 - 15/10 CM Phonologie 5 - 22/10 CM Phonologie - 29/10 CM VACANCES 6 - 05/11 CM Devoir sur table (2h) 7 - 12/11 CM Morphologie 8 - 19/11 CM Morphologie 9 - 26/11 CM Syntaxe

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Exercice n°4 : Brevet Juin 2005: Groupe Nord – Exercice n°3 Sur la figure ci-contre, on a un cône de révolution tel que SA = 12 cm Un plan parallèle à la base coupe ce cône tel que SA’ = 3 cm ( la figure ci-contre n’est pas à l’échelle ) 1 Le rayon du disque de base du grand cône est de 7 cm

Kh^agne B/L Exercices Chapitre 12 - Variables al eatoires a

cours d’un entra^ nement, on constante que : {10 des javelots atteignent plus de 75 m etres {25 des javelots parcourent moins de 50 m etres A l’aide des tables de la fonction de r epartition de la loi N(0;1), calcu-ler la longueur moyenne parcourue par un javelot ainsi que l’ ecart-type de cette longueur 2011-2012 Lyc ee du Parc 2/2

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2019-2020. Exercices d'entra^nement : Approche non

asymptotique (1) Exercice 1 Distance entre la mediane et la moyenne SoitXune variable aleatoire reelle de carre integrable. Soitmune mediane deX. 1. En utilisan tl'in egalited eBiena yme-Chebychev,mon trerque jEXmj p2VarX. 2. Dans cette question, on v ad emontrerl'in egaliteplus pr ecise: jEXmj pVarX. a)

Mon trerque jEXmj EjXmj.

b)

Mon trerque EjXEXj pVarX.

c) Conclure, en utilisan tle fait que mminimiseEjXtj;t2IR.

Exercice 2 Inegalite de Chebychev-Cantelli

SoitXune variable aleatoire reelle de carre integrable ett >0. 1.

Mon trerqu ep ourtout 0,

P[XEXt]VarX+2(t+)2:

2.

En d eduireque

P[XEXt]VarXVarX+t2:

3. Quel est l'a vantagede cette in egalitepar-rapp ort al'in egalitede Biena yme-Chebychev 4. A l'aide de l'in egalitede C hebychev-Cantellid emontreeplus haut, retrouv erle resultat de l'exercice precedent. Exercice 3 Un ranement de l'inegalite de Hoeding: une inegalite de Bernstein (exercice donne lors de l'examen 2019) 1. Soit X1;:::;Xndes variables aleatoires iid de loi de Bernoulli de parametrep2 ]0;1[. a) R eecrirel'in egalitede Ho edingp ources v ariablesde Bernoulli. 1 b)En d eduireun in tervallede conance de niv eaunon asymptotique 2]0;1[ pourp. c) Cet in tervallede conance v ouspara ^t-ilraisonn ablelorsque pest tres proche de 0 ou de 1 ? Expliquez votre reponse. 2. Dans cette question, on d emontreune in egaliteplus ne que l'in egalitede Ho eding lorsque les variablesXiont une tres petite variance. SoitX1;:::;Xndes variables aleatoires iid bornees: il existe des reelsabtels queaX1bpresque s^urement. On notel'esperance deX1,Vsa variance (supposee non nulle) et on denitYi=Xipour touti= 1;:::;n. a) T rouveru nnom brec >0 tel quejY1j cpresque s^urement. b) Soit ( ) = lnE[eY1], pour tout0. Pourquoi la fonction est-elle bien denie? c)

Mon trerque p ourtout 0,

()E[eY11Y1]: d)

Mon trerque la fonction u7!eu1uu

2est bien denie sur IR, et qu'elle est

croissante. e)

En d eduireque

()(ec1c)Vc 2: f) A l'aide de la b ornede Cherno, conclure que p ourtout t >0, P nX i=1(Xi)t# exp nVc

2hctnV

ouh(u) = (1 +u)ln(1 +u)u,8u0. g)

On admet que p ourtout u2IR,

h(u)u22(1 +u=3):(1)

En deduire que, pour toutt >0,

P nX i=1(Xi)t# exp t22(nV+ct=3) h)

Conclure que, p ourtout t >0,

P n X i=1(Xi) t# 2exp t22(nV+ct=3) 2 i)Supp osonsque les Xisont des variables de Bernoulli, de parametrep2]0;1[. Deduire de la question precedente un nouvel intervalle de conance pourpde niveau non asymptotique, ou2]0;1[. Lorsquepest tres proche de 0 ou de 1, expliquez pourquoi ce nouvel intervalle de conance ameliore celui de la premiere question. 3quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18