Cours 2 - Barycentres
Si G est le barycentre de ( A , a ) ( B , b ) ( C , c ) alors , p our tout réel k non nul , G est aussi le barycentre de ( A , k a ) ( B , k b ) ( C , k c ) On ne change donc pas le barycentre en multipliant ou en divisant les coefficients par un même nombre non nul Démonstration
BARYCENTRE - AlloSchool
Résumé de Cours BARYCENTRE PROF : ATMANI NAJIB 1BAC BIOF Le plan P et rapporté à un repère R O i j;; 1) Barycentre de deux points pondérés 1-1) Soit un point et un réel non nul ; le couple ( , )
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Cours BARYCENTRE avec exercices d’applications et de réflexions avec solutions PROF: ATMANI NAJIB 1BAC BIOF I) ACTIVITES Activité 1 : Sur une barre rigide de poids négligeable et de longueur 1???? on considère deux
Barycentres : Résumé de cours et méthodes 1 Barycentre de
Barycentres : Résumé de cours et méthodes On appelle point pondéré tout couple (A,a) où A est un point et a un réel 1 Barycentre de deux points DÉFINITION Si a+b6= 0, le barycentre des points pondérés (A,a)(B,b) est le point G tel que a
BARYCENTRE DEUX POINTS 1 ) BARYCENTRE DE DEUX POINTS PONDERES
Cours et exercices Barycentre de deux points : Hechmi Ahmed Télé : 26874183 Title: Devoirs Maths Author: www devoirat net Created Date: 20101108231258Z
2 S CALCULS VECTORIELS ET BARYCENTRE
Si G est le barycentre de (A, α), (B, β) et (C, γ) avec α+β+γ=0 alors, pour tout réel k non nul, G est aussilebarycentrede(A, kα),(B, kβ)et (C, kγ) Propriétés On appelle isobarycentre de trois points A, B et C, le barycentre de A, B et C affectés d’un même coefficient nonnul Définitions Isobarycentredetrois points
cours de mathématiques en première
cours de mathématiques en première barycentre G du système (A a (B b ) etc C: c )sont xg — a+b+c ayA cyc a+b+c 11 Barycentre de deux points
2)
Chapitre : Barycentre Prof Théorème et définition : Ayadi Mondher 2 ème sciences I Historique Le premier à avoir étudié le barycentre est le mathématicien et physicien Archimède au IIIème siècle avant Jésus-Christ Le barycentre est initialement le centre des poids tel que sur une tige ou on a accroché aux
Cours maths seconde barycentre pdf
Cours maths seconde barycentre pdf Continue A et B sont deux points du plan; Alpha et 'beta' sont deux reals tels que 'alpha’beta eq 0 Il y a un seul point G du plan tel que 'alpha 'overrightarrow', beta 'overrightarrow{0}
1ère S Cours barycentre de 3 points ou plus
- exprimer un point comme barycentre de points pondérés (voir exercices) 6°) Exemple de construction d’un barycentre à l’aide du barycentre partiel G : barycentre des points pondérés (A ; 1), (B ; 2) , (C ; 2) 1 2 0 On note H le barycentre des points pondérés (A ; 1) et (B 4; 2)
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Barycentres : Résumé de cours et méthodes On appelle point pondéré tout couple(A,a)oùAest un point etaun réel. 1Barycentre de deux points
DÉFINITIONSia+b?=0, le barycentre des points pondérés(A,a)(B,b)est le pointGtel quea-→GA+b-→GB=-→0 .PROPRIÉTÉ
Sia+b?=0,Gbarycentre de(A,a)(B,b)?-→AG=ba+b-→ABCette propriété est utilisée pour construire graphiquement le barycentre de deux points.
Exemples :AetBsont deux points distants de 3 cm.
G1barycentre de(A,1)(B,2)?--→AG1=21+2-→AB=23
-→AB. G2barycentre de(A,4)(B,-1)?--→AG2=-14+(-1)-→AB=-13
-→AB.AB G G12Remarque :SiA?=B, les pointsA,BetGsont alignés.PROPRIÉTÉSia+b?=0, le barycentre du système(A,ka)(B,kb)(aveck?=0) est le même que celui du système(A,a)(B,b).Exemple :le barycentre de(A,4)(B,-2)est le barycentre de(A,2)(B,-1).
PROPRIÉTÉSia+b?=0, les coordonnées du barycentre de(A,a)(B,b)dans un repère sont telles que :
xG=axA+bxBa+betyG=ayA+byBa+bDÉFINITION
On appelleisobarycentrede deux pointsAetB, le barycentre de ces deux points pondérés par un même coefficient. Il s"agit en
fait dumilieudu segment[AB].Exemple :on peut affirmer sans calculs que le barycentre du système(A,-3)(B,-3)est le milieu de[AB].
2Barycentre de trois points
DÉFINITIONSia+b+c?=0, le barycentre des points pondérés(A,a)(B,b)(C,c)est le pointGtel quea-→GA+b-→GB+c-→GC=-→0 .PROPRIÉTÉ
Sia+b+c?=0, le barycentre du système(A,ka)(B,kb)(C,kc)(aveck?=0) est le même que celui du système(A,a)(B,b)(C,c).Exemple :le barycentre de(A,-3)(B,-6)(C,-12)est le barycentre de(A,1)(B,2)(C,4).
PROPRIÉTÉSia+b+c?=0, les coordonnées du barycentre de(A,a)(B,b)(C,c)dans un repère sont telles que :
x G=axA+bxB+cxCa+b+cetyG=ayA+byB+cyCa+b+c1S - Barycentres c?P.Brachet -www.xm1math.net1DÉFINITION
On appelleisobarycentrede trois pointsA,BetC, le barycentre de ces trois points pondérés par un même coefficient. Il s"agit en
fait ducentre de gravitédu triangleABC(si les trois points sont distincts).3Théorème du barycentre partiel - construction du barycentre de trois points
PROPRIÉTÉEtant donné trois pointsA,B,Cet trois réelsa,betctels quea+b+c?=0 etb+c?=0.Si on noteG1, le barycentre de(B,b)(C,c)alors le barycentreGde(A,a)(B,b)(C,c)est aussi le barycentre de(A,a)(G1,b+c).
G=barycentre(A,a) (B,b)(C,c)????
G=barycentre(A,a)(G1,b+c)
On peut donc "remplacer» deux points pondérés d"un système par leur barycentre (dit "partiel») affecté de la somme de leurs
coefficientsApplication à la construction du barycentre de trois points : D"après le principe ci-dessus, cela revient à construire deux barycentres de deux points. Exemple :On cherche à construireG, le barycentre de(A,1)(B,2)(C,4)sur la figure ci-dessous :BACfigure de base1) On construitG1, le barycentre partiel de(B,2)(C,4). D"après la formule de construction du barycentre de deux points, on a
--→BG1=44+2-→BC=23 -→BC.BAC barycentre partiel construction duEtape 1 : G12) D"après la propriété du barycentre partiel, on peut "remplacer» dans le système(B,2)(C,4)par(G1,2+4). Donc,Gest en fait
le barycentre de(A,1)(G1,6). D"après la formule de construction du barycentre de deux points, on a-→AG=61+6--→AG1=67
--→AG1.BAC G1Etape 2 :
construction du barycentre du système initial GRemarque :ce principe s"applique aussi aux barycentres de quatre points pondérés.Exemple : pour construireG, le barycentre de(A,1)(B,2)(C,-1)(D,4), on peut commencer par déterminerG1, le barycentre
partiel de(A,1)(B,2)etG2, le barycentre partiel de(C,-1)(D,4).On a donc
--→AG1=23 -→ABet--→CG2=43 -→CD.En "remplacant» dans le système(A,1)(B,2)par(G1,1+2)et(C,-1)(D,4)par(G2,-1+4), on en déduit queGest aussi le
barycentre de(G1,3)(G2,3)(c"est à dire le milieu de[G1G2].2 c?P.Brachet -www.xm1math.net1S - Barycentres AB C DG 1 G2G4Réduction de sommes vectorielles à l"aide de barycentres
Un des principaux intérêts des barycentres est de les utiliser pour réduire des sommes de vecteurs grâce à la propriété suivante :
PROPRIÉTÉ•Sia+b?=0 alors pour tout pointM,a-→MA+b-→MB= (a+b)--→MGoùGest le barycentre de(A,a)(B,b).•Sia+b+c?=0 alors pour tout pointM,a-→MA+b-→MB+c-→MC= (a+b+c)--→MGoùGest le barycentre de(A,a)(B,b)(C,c).Exemple :
Si on veut réduire la somme 2-→MA-3-→MB+6-→MC, on introduitGle barycentre de(A,2)(B,-3)(C,6).
On a alors, 2-→MA-3-→MB+6-→MC= (2-3+6)--→MG=5--→MG.Remarque :Si la somme des coefficients est nulle, on ne peut plus utiliser un barycentre. Mais en utilisant la relation de Chasles,
on peut montrer que la somme de vecteurs est en fait indépendante du pointM. Exemple : 3-→MA-5-→MB+2-→MC=3-→MA-5?-→MA+-→AB? +2?-→MA+-→AC? =-5-→AB+2-→AC5Recherche de lieux géométriques
En utilisant les réductions de sommes vectorielles vues au paragraphe précédent, on peut facilement en déduire la nature de cer-
tains lieux géométriques. Exemple :ABCest un triangle dans le plan muni d"un repère orthonormé d"unité 1 cm. a)Déterminons l"ensembleE1des pointsMtels que?-→MB+2-→MC?=6cm.Pour réduire la somme vectorielle, on pense à utiliserG1, le barycentre de(B,1)(C,2)(que l"on construit avec--→BG1=22+1-→BC=
23-→BC). Alors, pour tout pointM,-→MB+2-→MC= (1+2)--→MG1=3--→MG1. E
1est donc l"ensemble des pointsMtels que?3--→MG1?=6cm? ?--→MG1?=2cm.
On en déduit queE1est le cercle de centreG1et de rayon 2 cm. BCA G 1E1b)Avec le même triangle, déterminons maintenant l"ensembleE2des pointsMtels que?3-→MA+-→MB?=2?-→MA+-→MC?.1S - Barycentres
c?P.Brachet -www.xm1math.net3Si on noteG2le barycentre de(A,3)(B,1)alors pour tout pointM, 3-→MA+-→MB= (3+1)--→MG2=4--→MG2.
(G2est construit avec--→AG2=13+1-→AB=14 -→AB)Si on noteG3le barycentre de(A,1)(C,1)alors pour tout pointM,-→MA+-→MC= (1+1)--→MG3=2--→MG3.
(G3est l"isobarycentre deAetC, c"est à dire le milieu de[AC]) E2est donc l"ensemble des pointsMtels que?4--→MG2?=2?2--→MG3? ? ?--→MG2?=?--→MG3?.
On en déduit queE2est la médiatrice de[G2G3].BCA G 2 G 3E26Comment montrer que trois points sont alignés à l"aide de barycentres?Principe général :pour prouver que trois points sont alignés il suffit de montrer que l"un peut s"exprimer comme un barycentre
des deux autres (en utilisant la propriété du barycentre partiel dans tous les sens).Les exercices basés sur cette méthode demandent une bonne maîtrise des barycentres partiels et une bonne observation de
l"énoncé. Exemple :SoitABCun triangle,Ile milieu de[AB],Kle barycentre de(A,1)(C,2)etJle milieu de[IC]. Il va s"agir de montrer que les pointsB,KetJsont alignés.1) Recherche empirique du point dont on va montrer que c"est un barycentre des deux autres :
Bétant un point de la figure de base, il sera a priori plus difficile de l"exprimer comme barycentre des pointsKetJqui ont été
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