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Dernière mise à jour Systèmes régis par une équa. diff. du 1° et 2° ordre
Denis DEFAUCHY
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A.III. Fonctions de transfert et schéma blocs
A.III.1 ǯ
A.III.1.a Détermination de la fonction de transfertA.III.1.a.i Principe
Le système représenté par le modèle introduit précédemment :Se représente ainsi :
Supposons que toutes les conditions initiales sont nulles. Cette condition est appelée " condition de
Heaviside ».
Appliquons la transformation de Laplace à son modèle : On introduit dont la fonction de transfert FT (ou transmittance) ܪ La relation entrée/sortie du système dans le domaine de Laplace se met sous la forme : rationnelle en . Dernière mise à jour Systèmes régis par une équa. diff. du 1° et 2° ordreDenis DEFAUCHY
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on peut écrire ܪ - ݖ sont les zéros de la fonction de transfert (réels ou complexes) - sont les pôles de la fonction de transfert (réels ou complexes) - Le degré de ܦ complexes. A.III.1.a.ii Forme générale à connaître précédent, on montre que toute fonction de transfert se met sous la forme suivante : - Le facteur constant ܭ ௦షഀ, soitRemarques :
système. Dernière mise à jour Systèmes régis par une équa. diff. du 1° et 2° ordreDenis DEFAUCHY
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A.III.1.a.iii Représentation pas schéma blocChaîne directe
en chaîne directe :préciser le nom du bloc concerné et les unités des variables, dans le système international USI
Chaîne de retour
inversé, ce qui conduit à lire les blocs en sens inverse : Dernière mise à jour Systèmes régis par une équa. diff. du 1° et 2° ordreDenis DEFAUCHY
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A.III.1.b Fonctions de transfert des composants
Traitons deux exemples :
A.III.1.b.i Résistance
Dans le domaine de Laplace, on a :
On représente la fonction de transfert du système ci-dessous selon le choix de ce qui est en entrée et
en sortie : aussi de gain pur.A.III.1.b.ii Bobine
Dans le domaine de Laplace avec des conditions initiales nulles : Dernière mise à jour Systèmes régis par une équa. diff. du 1° et 2° ordreDenis DEFAUCHY
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A.III.1.b.iii Fonctions de transfert usuelles
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A.III.1.b.iv ǯ
de ses grandeurs puis que cette relation devienne plus complexe. Prenons par exemple un capteur capteur peut être assimilée à un gain ܭOn a alors :
Attention à exprimer le gain dans les unités du système international : Dernière mise à jour Systèmes régis par une équa. diff. du 1° et 2° ordreDenis DEFAUCHY
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A.III.1.b.v Intégrateur et dérivateur
à sa dérivée (dérivateur) ou de la fonction à sa primitive (intégrateur). Attention, ces deux blocs sont
pour une vitesse de rotation ߗ et la position angulaire associée ߠRemarques :
- Multiplier par p est homogène à une division par des secondes (dérivation temporelle) - Diviser par p est homogène à une multiplication par des secondes (intégration temporelle)A.III.1.c Fonction de transfert ǯé
A.III.1.c.i Représentation
Soit un système en boucle fermée (avec retour) représenté par le schéma bloc suivant :
La fonction de transfert associée à ce système est : sortie. Dernière mise à jour Systèmes régis par une équa. diff. du 1° et 2° ordreDenis DEFAUCHY
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A.III.1.c.ii FTBF
Ouverte et de la chaîne directe.
également
Remarque : Si plusieurs blocs sont en série dans la chaîne directe, on doit tous les prendre en compte.
Finalement :
pôles de la fonction de transfert.Chaîne directe
Retour
Formule de Black
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A.III.1.c.iii Forme à obtenir
Exemple :
Ne pas garder la fonction de transfert sous cette forme, mais plutôt : Voire mieux, regrouper les termes selon les puissances de : Dernière mise à jour Systèmes régis par une équa. diff. du 1° et 2° ordreDenis DEFAUCHY
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A.III.1.d Propriétés des schémas blocs
blocs. La représentation obtenue est alors une représentation correspondant au système physique
étudié.
Dans ce paragraphe, nous allons voir différents outils permettant de modifier la forme des schémas
blocs. Il faut bien avoir en tête que ces modifications ne sont que des outils permettant de décrire les
mêmes relations entre entrée et sortie, mais conduisent à une représentation non physique du
système.A.III.1.d.i Association de blocs en série
Considérons le système constitué de deux sous-systèmes en série de fonction de transfert respectif
Démonstration :
A.III.1.d.ii Série de blocs avec partie boucléeSoit le schéma bloc suivant :
Ce système peut se représenter ainsi :
Avec :
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bouclée du système. A.III.1.d.iii Association de blocs en parallèle Dernière mise à jour Systèmes régis par une équa. diff. du 1° et 2° ordreDenis DEFAUCHY
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A.III.1.d.iv Retour unitaire
Un système est à retour unitaire si la fonction de transfert de la chaîne retour est égale à 1. Le schéma
bloc est alors de la forme :représenter de manière équivalente avec un retour unitaire. En utilisant la formule de Black sur les
équivalents.
Cette transformation a deux avantages :
associés aux boucles à retours unitaires unitaire Dernière mise à jour Systèmes régis par une équa. diff. du 1° et 2° ordreDenis DEFAUCHY
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A.III.1.d.v Changements de signes
On peut effectuer des changements de signes sur les variables, les comparateurs ou les fonctions de transfert sans aucuns soucis. Tous ces schémas sont équivalents :Remarque :
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A.III.1.d.vi Théorème de superposition
Soit un système avec deux entrées :
perturbation qui vient " gêner » le processus. On voit ici que le système soumis à deux entrées répond par deux sorties ajoutées. Dernière mise à jour Systèmes régis par une équa. diff. du 1° et 2° ordreDenis DEFAUCHY
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Etudions le système lorsque ܧ
Faisons de même en supposant que ܧ
superposition en annulant tour à tour toutes les entrées sauf une et en déterminant la fonction de
transfert associée. Dernière mise à jour Systèmes régis par une équa. diff. du 1° et 2° ordreDenis DEFAUCHY
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A retenir :
Pour un système mis sous la forme suivante :
On pourra alors proposer un nouveau modèle du système : Dernière mise à jour Systèmes régis par une équa. diff. du 1° et 2° ordreDenis DEFAUCHY
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A.III.1.d.vii Déplacement de points de jonction et des sommateursPrincipe
Les schémas blocs peuvent subir des modifications en vue de les simplifier. La figure ci-dessous montre
perdre le lien entre les entrées/sorties du schéma et les grandeurs physiques du système étudié.