[PDF] MATHS BCPST 1 - Dunod

- 1 - NIVEAU : 1 SM NOTIONS DE LOGIQUE PROPOSITION - FONCTION

Raisonnements et logique

2 2 Raisonnement par contraposition Soient P et Q deux assertions On appelle contraposée de l’implication P ùñQ, l’impli-cation : (␣Q) ùñ(␣P) Définition 17 Soient P et Q deux assertions On a la synonymie : P ùñQ ”(␣Q) ùñ(␣P) Théorème 18 - Raisonnement par contraposition Démonstration Il suffit de faire une

1 Logique – Raisonnement 30

La contraposée de "P =)Q" est "non(P) =)non(Q)" L’assertion "P =)Q" est équivalente à "non(P) ou non(Q)" Question 30 Je veux montrer que p 13 2=Q par un raisonnement par l’absurde Quel schéma de raison-nement est adapté? Je suppose que p 13 est rationnel et je cherche une contradiction Je suppose que p

Raisonnement - Marc Chevalier

4 Le raisonnement par contraposition Le raisonnement par contraposition permet de prouver une implication en prouvant que la négation de son but implique la négation de sa prémisse Ce raisonnement est formalisé par par la tautologie suivante : Théorème 3 – Contraposée La formule ((ϕ1 ⇒ ϕ2)⇔ ((¬ϕ2)⇒ (¬ϕ1)))est une tautologie

Définitions

Quel est le raisonnement employé par Vincent˜? 2 Faire à nouveau la rédaction de cette démonstration en utilisant un raisonnement par contraposée et la pro-priété suivante˜: «˜si les droites (RP) et (CB) sont paral-lèles, alors AP AR AB AC = ˜ D I

MATHS BCPST 1 - Dunod

— Raisonnement par contraposée — Raisonnement par l’absurde — Raisonnement par récurrence — Démonstration d’une inclusion, d’une égalité entreensembles — Règles decalcul pour les opérations sur les ensembles — Imagedirected’une partiepar une application — Injectivité, surjectivité oubijectivité d’une application

MATHÉMATIQUES LICENCE 1 - Dunod

thodes de raisonnement : raisonnement par l’absurde, par la contraposée et la récur-rence Base de la théorie des ensembles : élément, partie, complémentaire, intersection, réunion Lois de De Morgan Produit cartésien Application Injection Surjection Bi-jection Images directe et réciproque Raisonnement par récurrence Ensemble fini

Logique et raisonnements

2 1 LOGIQUE Dans une même proposition, il ne faut pas mélanger du texte et des quanti cateurs Par exemple, il ne faut pas écrire 8x 2R;f(x) est plus petit que 2

L E Ç O N 68 - Maurimath

3 Raisonnement par disjonction des cas (ou cas par cas) Raisonnement par disjonction des cas Si l’on souhaite vérifier une assertion P(x) pour tous les x dans un ensemble E, on montre l’assertion pour les x dans une partie A de E puis pour tous les x n’appartenant pas à A C’est la méthode de disjonction ou du cas par cas

Mathématiques Pour Etudiants de Première Année

Par contraposée, soit n2Z, nous allons montrer que nimpair )n2 impair On suppose que nest impair, alors n= 2k+ 1 et par suite n2 = (2k+ 1)2 = 4k2 + 4k+ 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 = 2k0+ 1 avec k0= 2k2 +2kpour k2Zdonc n2 = 2k0+1 et par conséquent n2 est impair En conclusion pour tout n2Z, n2 pair )npair Exercice 1 8

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MATHÉMATIQUES

LICENCE ?

EXERCICES ET MÉTHODES

Myriam Maumy-Bertrand

Maître de conférences à l"université de Strasbourg

Frédéric Bertrand

Maître de conférences à l"université de Strasbourg

Daniel Fredon

Maître de conférences en mathématiques appliquées Illustration de couverture :©delabo - Fotolia.com

©Dunod, 2016

11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff

www.dunod.com

ISBN 978-2-10-075418-2

Table des matières

RemerciementsV

1 Structures fondamentales 1

Fiche1 Logiqueetraisonnement ........................................ 2 Fiche2 Langagedesensembles ......................................... 4 Fiche3 Applications..................................................... 6 Fiche4 Entiersnaturels.................................................. 8 Fiche5 Groupes......................................................... 9 Fiche6 Anneauxetcorps................................................ 11 Fiche 7 Arithmétique dansZ............................................. 12 Fiche8 Nombrescomplexes............................................. 14 Fiche9 Polynômesetfractionsrationnelles.............................. 17 QCM........................................................................ 21 Vraioufaux?............................................................... 33 Exercices................................................................... 35

2 Algèbre linéaire 52

Fiche1 Espacesvectoriels............................................... 53 Fiche2 Espacesvectorielsdedimension“nie............................ 55 Fiche3 Applicationslinéaires............................................ 58 Fiche4 Applicationslinéairesparticulières............................... 62 Fiche5 Calculmatriciel.................................................. 63 Fiche6 Matricesetapplicationslinéaires ................................ 65 Fiche7 Systèmeslinéaires............................................... 68 Fiche8 Déterminants.................................................... 70 QCM........................................................................ 73 Vraioufaux?............................................................... 86 Exercices................................................................... 89

3 Bases fondamentales de lanalyse 113

Fiche1 Nombresréels................................................... 114 Fiche2 Généralitéssurlesfonctionsnumériques........................ 116 Fiche3 Limitedunefonction............................................ 119 Fiche4 Fonctionscontinues............................................. 122 Fiche5 Fonctionsdérivables............................................. 123

Fiche 6 Compléments sur les fonctions

dérivables....................................................... 125

Fiche 7 Fonctions logarithme népérien,

exponentielle,puissances ....................................... 127

Fiche 8 Fonctions trigonométriques

etleursréciproques............................................. 130

Fiche 9 Fonctions hyperboliques

etleursréciproques............................................. 134 Fiche10 Développementslimités......................................... 136 Fiche 11 Courbes planes dé“nies pary=f(x)............................. 140 QCM........................................................................ 144 Vraioufaux?............................................................... 157 Exercices................................................................... 159 ©Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. iii

4 Analyse 183

Fiche1 Suitesnumériques............................................... 184 Fiche2 Suitesparticulières.............................................. 186 Fiche3 Sériesnumériques............................................... 188 Fiche4 Intégralesdé“nies............................................... 190 Fiche5 Calculdesprimitives ............................................ 192

Fiche 6 Équations di?érentielles du premier

ordre............................................................ 195 QCM........................................................................ 197 Vraioufaux?............................................................... 211 Exercices................................................................... 213

5 Analyse combinatoire et probabilités 239

Fiche1 Analysecombinatoire............................................ 240 Fiche2 Fonctionsgénératrices .......................................... 243 Fiche3 Complémentssurlesséries ..................................... 245 Fiche 4 Introduction aux probabilités .................................... 247 Fiche 5 Espaces probabilisés............................................ 249 Fiche 6 Probabilité conditionnelle et indépendance en probabilité........ 251 Fiche7 Variablesaléatoiresréellesetdiscrètes.......................... 254 Fiche8 Momentsetfonctionsgénératricesdunev.a.discrète ........... 256 Fiche9 Couplesdev.a.d.Indépendance ................................. 259 Fiche10 Loisdiscrètesusuelles1......................................... 262 Fiche11 Loisdiscrètesusuelles2......................................... 267 QCM........................................................................ 270 Vraioufaux?............................................................... 285 Exercices................................................................... 289

Index307

iv

Remerciements

Nous souhaitons ici remercier Claire Chion pour sa relecture attentive.

Que chacun y trouve son bonheur!

©Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. v VI Des rappels de cours sous forme de fiches5 chapitres et leurs mots-clés

Comment utiliser

Retrouvez des exercices

supplémentaires sur la page associée à louvrage sur dunod.com VII

Des exercices pour s"entraîner

Des questions Vrai/Faux

cet ouvrage ?

Des QCM

pour s"auto-évaluer

Toutes les réponses commentées

MOTS-CLÉS

Méthodologie mathématique : connecteurs logiquesQuanti“cateursQuelques mé- thodes de raisonnement : raisonnement par labsurde, par la contraposée et la récur- rence Base de la théorie des ensembles : élément, partie, complémentaire, intersection, réunion Lois de De MorganProduit cartésienApplicationInjectionSurjectionBi- jection Images directe et réciproqueRaisonnement par récurrenceEnsemble “ni Entiers relatifsDivision euclidiennePGCDPPCMAlgorithme dEuclideNombres premiers ThéorèmedeBézoutThéorème de GaussCongruences dansZNombres complexes Formes algébrique et trigonométriqueExponentielle complexeRacines n-ièmes d"un nombre complexe Polynômes à une indéterminéeRacines dun polynôme Théorème de dAlembert-GaussDécomposition dun polynômeFractions rationnelles

Décomposition en éléments simples

Structures

fondamentales 1 Ce premier chapitre pose les bases principales pour aborder les chapitres suivantes de cet ouvrage. Il y a un grand intérêt à introduire immédiatement les quantificateurs, les notions de langage ensembliste et les principales méthodes de raisonnement comme le raisonnement par l"absurde, par la contraposée ou le raisonnement par récurrence. En effet, à l"occasion des démonstrations que vous devrez faire, vous aurez besoin de les manipuler et de les maîtriser. Ensuite ce chapitre rappelle les propriétés des nombres

complexes déjà rencontrés et définis en classe de terminale. Il est important de les maî-

triser et de s"en servir autant que possible. Beaucoup de problèmes de géométrie plane peuvent se résoudre grâce à l"utilisation de ces nombres. De plus, ces nombres sont très utiles dans d"autres sciences comme en électronique par exemple. Enfin ce chapitre se termine par les polynômes et les fractions rationnelles. Ces dernières seront utilisées dans le calcul d"intégrales qui est présenté dans cet ouvrage. By Original design and concept : Tom Ruen; SVG creation : Júlio Reis - Kepler poinsot solids.gif by Tom Ruen used as a model to draw this file. CC BY-SA 3.0 ©Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. 1

Fiche 1

Logique et raisonnement

Logique binaire

Proposition logique

C"est un assemblage de lettres et de signes qui a une syntaxe correcte (le lecteur sait le lire), une sémantique correcte (le lecteur comprend ce qu"il lit) et qui a une seule valeur de vérité : vrai (V)oufaux(F). Deux propositions seront considérées comme égales si elles ont toujours la même valeur de vérité.

Connecteurs logiques

À partir de propositionsp,q,...on peut former de nouvelles propositions définies par des tableaux de vérité. ?Négation : nonp(noté aussi¬p) pnonp VF FV ?Conjonction :petq(noté aussip?q) ?Disjonction :pouq(noté aussip?q) ?Implication :p=?q ?Équivalence :p??q pqpetqpouqp=?qp??q

VVVVVV

VFFVFF

FVFVVF

FFFFVV

Le " ou » a un sens inclusif, à ne pas confondre avec le sens exclusif qui figure dans " fromage ou dessert », c"est-à-dire du fromage ou bien du dessert mais pas les deux.

Propriétés des connecteurs

non ( nonp)=p non (pouq)=( nonp) et ( nonq) non (petq)=( nonp) ou ( nonq) (p=?q)=?( nonp)ouq? non (p=?q)=?pet ( nonq)? La négation d"une implication n"est donc pas une implication. (p=?q)=?( nonq)=?( nonp)? Cette seconde implication est la contraposée de la première. Faites attention à l"ordre des propositions. (p??q)=?(p=?q)et(q=?p)? 2

Vrai ou faux ?

QCM

Fiches

Exercices

1.Structures fondamentales

Pour démontrer une équivalence, on démontre souvent une implication et sa réciproque.

QuantiÝcateurs

Notation

Les quantificateurs servent à indiquer la quantité d"éléments qui interviennent dans une proposition. On utilise : ?le quantificateur universel? ?xsignifie : pour toutx; ?le quantificateur existentiel? ?xsignifie : il existe au moins unx. Ordre Si l"on utilise deux fois le même quantificateur, l"ordre n"a pas d"importance. On peut permuter les quantificateurs dans des écritures du type : ?x?E?y?Ep(x,y) ?x?E?y?Ep(x,y). Mais si les quantificateurs sont différents, leur ordre est important.

Dans l"écriture?x?E?y?Ep(x,y)ydépend dex.

Dans l"écriture?y?E?x?Ep(x,y)yest indépendant dex.

Négation

La négation de "?x?Exvérifiep» est "?x?Etel quexne vérifie pasp».

La négation de "?x?Exvérifiep

» est "?x?Exne vérifie pasp».

Quelques méthodes de démonstration

Déduction

Sipest vraie et si l"on démontre (p=?q) , alors on peut conclure queqest vraie. Si la démonstration d"une implication vous résiste, pensez à examiner la contraposée. Elle a le même sens, mais il est possible que sa démonstration soit plus facile.

Raisonnement par labsurde

Pour démontrer quepest vraie, on peut supposer quepest fausse et en déduire une contradiction. Comme vous partez de " nonp», ne vous trompez pas dans la négation, en particulier en ce qui concerne les quantificateurs.

Disjonction des cas

Elle est basée sur le fait que :

?(p=?q) et ( nonp=?q)?=?q. ©Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. 3

Exemples et contre-exemples

Beaucoup de propositions mathématiques sont de type universel. Dans ce cas : -un exemple est une illustration, mais ne démontre rien; -un contre-exemple démontre que la proposition est fausse.

Raisonnement par récurrence

Voir Fiche 4.

Fiche 2

Langage des ensembles

Ensemble

Notion d"ensemble

La notion d"ensembleest considérée comme primitive. Retenons que la caractérisation d"un ensembleEdoit être nette, c"est-à-dire que, pour tout élémentx, on doit pouvoir affirmer : ou bien qu"il est dansE(x?E), ou bien qu"il n"y est pas (x?E). On note∅l"ensemble vide, c"est-à-dire l"ensemble qui ne contient aucun élément. EetFétant des ensembles, on dit queEest inclus dansFsi, et seulement si, tous les éléments deEappartiennent aussi àF. On noteE?F. On dit aussi queEest unepartiedeF, ou queFcontientE. L"ensemble des parties deEse noteP(E). Dire queA?P(E) signifie queA?E.

Opérations dansP(E)

SoitEun ensemble.AetBétant des parties de l"ensembleE,ondéfinit: ?l"intersection de deux partiesAetB:A∩B={x?E;x?Aetx?B}; SiA∩B=Ø, c"est-à-dire s"il n"existe aucun élément commun àAetB, on dit que les partiesAetBsont disjointes ; ?laréunion de deux partiesAetB:A?B={x?E;x?Aoux?B}. Ce " ou » a un sens inclusif c"est-à-dire queA?Best l"ensemble des élémentsxdeE qui appartiennent à l"une au moins des partiesAetB. ?ladifférence symétrique:AΔB={x?E;x?(AouB)}et{x?E;x?(AetB)}.

Par conséquent on a l"égalité suivante :

AΔB=(A?B)\(A∩B)=(A∩

B)?(A∩B).

AΔBest l"ensemble des éléments qui appartiennent à une, et une seule, des partiesA etB.

Recouvrement, partition

?Unrecouvrementd"une partieAdeEest une famille de parties deEdont la réunion contientA. 4

Vrai ou faux ?

QCM

Fiches

Exercices

1.Structures fondamentales

?Unepartitiond"un ensembleEest une famille de parties non vides deE,deux à deux disjointes, et dont la réunion estE. Ce qui peut s"écrire mathématiquement de la façon suivante : une famille (A i i?I de parties d"un ensembleEest une partition deEsi : i?I A i =E ?(i,j)?I 2 ,(i?j?A i ∩A j

Propriétés des opérations dansP(E)

Pour toutes partiesA,BetCdeE, on a les propriétés qui suivent.

Complémentaire

E=∅;∅=E;A=A;siA?BalorsB?A.

Lois de De Morgan

A∩B=A?B;A?B=A∩B.

Réunion

A?B=B?A;A?(B?C)=(A?B)?C;

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