Raisonnement à base de cas textuels – état de l’art et
Par la suite, nous décrivons les principaux travaux du CBR textuel et nous établissons un tableau comparatif de ces approches Finalement, nous proposons quelques problèmes et voies de recherche pour des travaux futurs 2 Principes généraux du raisonnement à base de cas Le raisonnement à base de cas (CBR) est une approche de résolution de
Raisonnement 1 Différents types de raisonnements
1 1 Par disjonction des cas Pour démontrer une propriété, il est parfois nécessaire d’étudier cas par cas On peut par exemple étudier 2 cas : x = 0 et x 6= 0 Ce raisonnement est appelé "disjonction des cas" Pour démontrer P =⇒ Q, on décompose en n sous-cas et on démontreP 1 =⇒ Q, P 2 =⇒ Q, , P n =⇒ Q
raisonnement disjonction cas - pagesperso-orangefr
Raisonnement par disjonction des cas Soit P et Q deux propositions Pour montrer que « P ⇒ Q» , on sépare l’hypothèse P de départ en différents cas possibles et on montre que l’implication est vraie dans chacun des cas Exemple 1 On montre, par disjonction des cas, la proposition : «Pour tout entier n, n(n +1) 2 est un entier »
Approche originale utilisant le Raisonnement à Partir de Cas
académique dans la section 4 Enfin, cet article se termine par des conclusions et perspectives autour de ce travail 2 Les concepts de base 2 1 Un aperçu sur le raisonnement à partir de cas Le raisonnement à partir de cas (RàPC) est une méthodologie de résolution de problèmes et d’apprentissage
Pour tous ces exercices , faire l’effort d’appliquer le
2) Reprendre la démonstration précédente mais en utilisant un raisonnement par l’absurde Exercice 5 Montrer par disjonction des cas que pour tout n , 3 divise Exercice 6 Montrer par les trois raisonnements que si a² + 9 = alors a est impair _____ Corrigé Exercice 1
Evolution d’un Système de Raisonnement à Partir de Cas Dédié
Le raisonnement à partir de cas (RàPC) est une approche analogique pour la résolution de problème à partir de l’expérience [1] Approche que l’on a déployée pour élaborer un système
Atelier « Raisonnement et démonstrations
des raisonnements conduits (raisonnement par disjonction des cas, recours à la contraposée, raisonnement par l’absurde) ainsi que les quantificateurs à l’œuvre, en langage naturel et sans formalisme II Le raisonnement au lycée Vers la formalisation
Logique et raisonnements
2 1 LOGIQUE Dans une même proposition, il ne faut pas mélanger du texte et des quanti cateurs Par exemple, il ne faut pas écrire 8x 2R;f(x) est plus petit que 2
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- 1 - page - 1 -NIVEAU : 1 SM NOTIONS DE LOGIQUE
PROPOSITION - FONCTION PROPOSITIONNELLE LES QUANTIFICATEURS : A. PROPOSITION : a. Définition : On appelle une proposition un énoncé mathématique ( texte mathématique ) qui a un sens pouvant être vrai ou faux ( mais pas les deux en même temps ). Et , on note souvent une proposition par les lettres P , Q ou R ..etc. . b. : vraie ou bien fausse présente la valeur de vérité de la proposition Si la proposition est vraie on note V ou 1 . Si la proposition est fausse on note F ou 0 . Tableau une proposition est ci-contre c. Exemples : P " 2 est un nombre pair » proposition est vraie . Q " 2+3 =6 » proposition est fausse . R " ABCD est un parallélogramme alors les diagonales se coupe on leur milieux » . proposition est vraie B. FONCTION PROPOSITIONNELLE a. Définition : On appelle une fonction propositionnelle, tout énoncé contenant une variable xou plusieurs variables x,y,z,... et qui appartiennent à des ensembles déterminé . on note Px ou P x,y;z,.... b. Remarque : si on remplace les variables par un élément de ces ensembles , la fonction propositionnelle devient une proposition . c. Exemple :
2A x : pour tout x de on a x" »x
est une fonction propositionnelle . si x2on obtient une proposition vraie . si x3on obtient une proposition fausse .
A x,y : pour tout x et y de on a : x y" »= x + yest une fonction propositionnelle . si x2 et y5on obtient une proposition vraie . si x2 et y5on obtient une proposition fausse . C. les quantificateurs : a. Quantificateur universel : pour tout x de E la proposition Qx est vraie » . On la note : " x E , Q x » . Le symbole universel et il se lit : pour tout .. ou quel que soit .. Exemples : 2x : x" »x
. " »x , y : x y x + yb. Quantificateur existentiel: il existe un x de E la proposition Qx est vraie » . On la note : " x E , Q x » . Le symbole existentiel et il se lit : il existe .. . Exemples :x : x 3" »4
. 3 3 2 , b ", c : a b c a »( a 1;b 2,c 3 ) c. Le symbole ! : il existe un unique x de E la proposition Qx est vraie » . On la note : " !x E , Q x » . Exemple : x : x" !4»3
p 1 0 - 2 - page - 2 -NIVEAU : 1 SM NOTIONS DE LOGIQUE d. Remarques : identiques ( universel ou bien existentiel ) ne change pas le sens de la fonction propositionnelle. universel et existentiel ) change le sens de la fonction propositionnelle. La négation du quantificateur : est le quantificateur . La négation du quantificateur : est le quantificateur . Les écritures suivantes sont équivalentes x E, y E ou x,y E ou x,y E E . Les écritures suivantes sont équivalentes x E, y E ou x,y E ou x,y E E .OPERATIONS SUR LES PROPOSITIONS : 01. : a. Définition : La PP ou P tel que les valeurs de vérité de P et P sont opposées . b. Exemple : P " 2 est un nombre pair » sa négation est P " 2 est un nombre impair » c. : d. Propriété : ppou encore p . 02. La conjonction de deux propositions - La disjonction de deux propositions . A. La conjonction de deux propositions : a. Définition : La conjonction de deux propositions PetQ est la proposition notée PQ ou bien PetQ ; PQ est vraie seulement dans le cas où P et Q sont toutes les deux vraie . b. Tableau de vérité de PQ est : c. Exemple : 2 est un nombre pair 2 3 6 est une proposition fausse. 2 est un nombre pair 2 3 6 ou encore 2 est un nombre pair et 2 3 6 B. La disjonction de deux propositions : a. Définition : La disjonction de deux propositions PetQ est la proposition notée PQ ou bien PouQ ; PQest fausse seulement dans le cas où P et Q sont toutes les deux fausses . b. Tableau de vérité de PQ est : c. Exemple : 2 est un nombre pair 2 3 6 ou encore 2 est un nombre pair ou 2 3 6 2 est un nombre pair 2 3 6 est une proposition vraie . d. Propriétés : La conjonction et la disjonction sont commutatives : P Q Q P pp p 0 1 1 0 PQ q p PQ q p 1 1
- 3 - page - 3 -NIVEAU : 1 SM NOTIONS DE LOGIQUEP Q Q P . La conjonction et la disjonction sont associatives : P Q R P Q R ; P Q R P Q R . La négation de la conjonction et la disjonction : PQPQ ou bien P Q P Q PQPQ ou bien P Q P Q La conjonction est distributive sur la disjonction - La disjonction est distributive sur la conjonction P Q R P Q P R de même Q R P Q P R P . P Q R P Q P R de même Q R P Q P R P . e. Remarque : P P P de même P P P. 03. : a. Définition : de deux propositions P puis Qest la proposition PQ ; PQon lit Pimplique Q . PQ est fausse seulement dans le cas P est vraie et Q est fausse . b. Tableau de vérité de PQ est : c. Remarque : La proposition P La proposition Q PQ est fausse seulement dans le cas Pest vraie et Qest fausse . QP PQ( vis versa ) QPPQ. Si PQ on a pas forcément QP. d. Exemple :
faussevraie2 est un nombre pair 2 3 6
est une proposition fausse. vraiefausse2 3 6 2 est un nombre pair
est une proposition vraie . e. Propriétés : : (P Q) Q R P R . La négation : P Q P Q P Q . La contraposée : P Q Q P 04. : a. Définition : de deux propositions PetQ est la proposition P Q Q P PQon lit Pest équivalente à Q ou bien Psi et seulement si Q. PQest vraie seulement si PetQont même valeur de vérité . PQ q p 0 1 1
- 4 - page - 4 -NIVEAU : 1 SM NOTIONS DE LOGIQUE b. Tableau de vérité de PQ est : c. Exemple : 22x , y : x y x y ou x yd. Propriètés : (P Q) (Q P) ; (P Q) (P Q) . P Q Q P(P Q) P Q Q P : (P Q) Q R P R 05. Lois logiques : a. Définition : Une loi logique est une proposition qui est vraie quel que soit la vérité des propositions qui la constitue . b. Exemple : Lois de Morgan : P Q P Q ; P Q P Q . P Q P. Preuve :P Q P P Q P
vraie est toujours vraie P Q P P P QDonc P P Q P Q Pest une loi logique .
TYPES DE RAISONNEMENTS : 01. Raisonnement par contre exemple : a. Définition : Pour prouver que la propriétés suivante est fausse :x E , P x il suffit de prouver que x E , P x est vraie ( c.à.d. de trouver un élément x de E qui ne vérifie pas Px un contre exemple ) . . b. Exemple : est ce que la somme de deux nombres irrationnelle est un nombre irrationnelle ? 2 et 2 sont deux nombres irrationnelle mais leur somme 2 2 0 irrationnelle . 02. Raisonnement par des équivalences successives : a. Définition : PQest vrai , on démontrer que : 1PQ et 12QQet 23QQ et nQQ. des équivalences successives . b. Exemple : montrer que 22a,b : a b 2ab a b
. On a : 2 2 2 2a b 2ab a b 2ab 02 a b 0
a b 0 a bPQ q p 0 0 1
- 5 - page - 5 -NIVEAU : 1 SM NOTIONS DE LOGIQUEConclusion : 22a,b : a b 2ab a b
03. Raisonnement déductif : a. Définition : PQest vraie et on a dans un exercice comme donnée la proposition P donc on déduit que la proposition Q est vraie . Ce mode de raisonnement par déduction . b. Exemple : 1. :aba,b 0 , ab2
. 2. On déduit que : x 0 , 2 x 1 x ère question on pose a1 et bx1x1x2donc 2 x 1 x Conclusion : x 0 , 2 x 1 x 04. Raisonnement par la contraposée : a. Définition : PQQP . . b. Exemple : montrer que 22x,y 2, , x y x 4x y 4y . On utilise un raisonnement par contraposée pour cela on démontre :22x,y 2, , x 4x y 4y x y . Soient xet y de 2, tel que 22x 4x y 4y . 2 2 2 2x 4x y 4y x 4x 4 y 4y 4
22x 2 y 2 x 2 y 2 et x 2 y 2 xy et x y 4 0 xy x y 4 0 est impossible car x2 et y2 x y 4 ou encore x y 4 0 . Donc 22x 4x y 4y x y Conclusion : 22x,y 2, , x y x 4x y 4y 05. Raisonnement par disjonction des cas : a. Définition : par disjonction des cas . b. Exemple : x : x 1 2x 0
. x , 1 1, : x 1 2x 01er cas x , 1 x 1 2x 0 x 1 2x 0
- 6 - page - 6 -NIVEAU : 1 SM NOTIONS DE LOGIQUE x 1 0 x 1 , 1 : 1S . 2ième cas x 1, . x 1 2x 0 x 1 2x 03x 1 0
1 x 1,3
Donc : 21S3
. Conclusion : 121S S S3. 06. Raisonnement par absurde : a. Définition : Q(conclusion ou résultat) et on a parmi les données la proposition P On suppose que Q ( la négation du conclusion ) est vraie et au cour de la démonstration on obtient que P P et P sont vraies ce qui est impossible . Donc notre supposition Q est vraie est absurde absurde . b. Exemple : soient rest un nombre rationnelle et iest nombre irrationnelle et s r i. Montrer que : s est un nombre irrationnelle . O suppose que s est un nombre rationnelle . On a s r i i s r srest un nombre rationnelle 1 car la somme de rationnelles est un nombre rationnelle . i s ret i est nombre irrationnelle 2 . 1 et 2 Conclusion : ret un nombre irrationnelle i est un nombre irrationnelle . 07. Raisonnement par récurrence : a. Définition : Soient 0n
et Pn une relation portant sur les entiers naturels ntel que 0nn. Pour démontrer que la relation Pn est vraie pour tout 0nn. On utilise les étapes suivantes : On vérifie que : Pn est vraie pour 0nn ( c.à.d. 0Pn est vraie ) . On suppose que : Pn est vraie pour n avec 0nn.récurrence On démontre que : la relation Pn est vraie pour n1 ( c.à.d. P n 1 est vraie ) raisonnement par récurrence
- 7 - page - 7 -NIVEAU : 1 SM NOTIONS DE LOGIQUE b. Exemple : montrer que : pour tout n de on a 3 divise 3nn ( c.à.d. 33 n n| 1) Remarque : 333 n n k /n n 3k| On vérifie que la relation 1 est vraie pour n0 . Pour n0 on a 33n n 0 0 0 3 0 donc 33 0 0| la relation 1 est vraie pour n0 On suppose que : la relation 1 est vraie pour n ( et n de
) c.à.d. 33 n n| , ( ou 3k /n n 3k) . hypothèse de récurrence On démontre que : la relation 1 est vraie pour n1 ( c.à.d.
33 n 1 n 1 | est vraie ) On a :
33232
2 2 n 1 n 1 n 3n 3n 1 n 1 n n 3n 3n
3k 3 n n
hypothèse 3 k n de n récurrence2 3K K k n n
Donc :
3n 1 n 1 3K par suite
33 n 1 n 1 | 1 est vraie pour n1. Conclusion 3n : 3 n n
| 08. Symboles et et les lettres grecque : a. Symbole : La somme suivante : 1 2 3 na a a a on la note par in i i1a ( on utilise i ou j ou k sont des variables muettes ) Exemple 1 : in i12 4 6 2n 2i ( cet une somme qui est constitué par n1termes ) . Exemple 2 : in i01 3 5 2n 1 2i 1 ( cet une somme qui est constitué par ntermes ) . Propriétés : j n j n j nk n k n j j j j k k j 0 j 0 j 0 k 0 k 0a b a b a b j n j n jj j 1 j 1a c a nc ( car la somme contient n termes et chaque terme est iac ) . b. Symbole : - 8 - page - 8 -NIVEAU : 1 SM NOTIONS DE LOGIQUELe produit suivant : 1 2 3 na a a a
on la note par jn j j1a ( on utilise i ou j ou k sont des variables muettes ) Exemple 1 : j n j n j nk n k n j j j j k k j 0 j 0 j 0 k 0 k 0a b a b a b ( cet un produit qui est constitué par n1termes ) . Exemple 2 : j n j n n jj j 1 j 1ca c a( cet un produit qui est constitué par ntermes et chaque terme est ica ) . c. Exercices : Montrer que : 1. in
i1 n n 1n :1 2 3 n i2 . 2. in * 2 2 2 2 2 i1 n n 1 2n 1n :1 2 3 n i6 . 3. 2in * 3 3 3 3 3 i1 n n 1n :1 2 3 n i2. d. Les lettres grecque : alpha nu beta xi gamma ou omicron delta ou pi ou epsilon rho zêta sigma ou êta tau thêta ou upsilon iota phi ou kappa chi lambda ou psi ou mu oméga ou
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