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EPFLENAC INTER TRANSP-ORProf. M. Bierlaire

RECHERCHE

OPÉRATIONNELLE

GC/SIE

Printemps 2012

Corrigé 5

Problème 1

a) Le domaine des solutions admissibles est :

012345

0 1 2 3 4 5

D optimum z= 62x+y= 8x+y= 5x-y=-2

Les sommets ou points extrêmes deDsont :

0 0? ,?02? 3 2 7 2? ,?32? ,?40? b) On détermine la solution optimale graphiquement, en représentant les lignes de niveau de z. L"optimum est atteint en(3,2)et a une valeur égale à -13. c) Le programme linéaire sous forme canonique s"écrit de la façon suivante : minz=-3x-2y x≥0 y≥0

Mettons-le sous forme standard :

minz=-3x-2y s.c.-x+y+a= 2

2x+y+b= 8

x+y+c= 5 x , y , a , b , c≥0 1

Problème 2

a) On introduit les variables d"écartx3etx4: minz=x1+x2 s.c.2x1+x2+x3= 8 x

1+ 2x2+x4= 4

x

1, x2, x3, x4≥0

b) 011 x1x2

2x1+x2=8x1+2x2=4

c) Base(x1,x4)

A=?2 1 1 01 2 0 1?

,b=?84? ,B=?2 01 1? ,B -1=?1/2 0 -1/2 1? ,?x1 x 4? =B-1b=?40?

Direction correspondant àx2:

d

B=-B-1A2=?-1/2

-3/2? ?d=((((-1/2 1 0 -3/2)))) ?-x1 d1= 8 x4 d4= 0? ?θ?= 0

Direction correspondant àx3:

d

B=-B-1A3=?-1/2

1/2? ?d=((((-1/2 0 1

1/2))))

?-x1 d1= 8 d

4≥0?

?θ?= 8 d) Base(x2,x3)

A=?2 1 1 01 2 0 1?

,b=?84? ,B=?1 12 0? ,B -1=?0 1/2

1-1/2?

,?x2 x 3? =B-1b=?26? 2

Direction correspondant àx1:

d

B=-B-1A1=?-1/2

-3/2? ?d=((((1 -1/2 -3/2 0)))) ?-x2 d2= 4 x3 d3= 4? ?θ?= 4

Direction correspondant àx4:

d

B=-B-1A4=?-1/2

1/2? ?d=((((0 -1/2 1/2 1)))) ?-x2 d2= 4 d

3≥0?

?θ?= 4 e) 011 x1x2

2x1+x2=8x1+2x2=4

direction correspondant à x2: on reste au même point mais on change de base direction correspondant à x3 3 f) 011 x1x2

2x1+x2=8x1+2x2=4direction

correspondant

à x4

direction correspondant à x1

Problème 3

a) La matrice du système est ?1 2 3 4 12 4 6 8 0? et toute base de cette matrice est formée d"une des quatre premières colonnes et de la cinquième. Les quatre bases et les solutions de basee associées sont donc

1.B1=?1 12 0?

(x1x2x3x4x5)T= ( 2 0 0 0-1 )T

2.B2=?2 14 0?

(x1x2x3x4x5)T= ( 0 1 0 0-1 )T

3.B3=?3 16 0?

(x1x2x3x4x5)T= ( 0 0 2/3 0-1 )T

4.B4=?4 18 0?

(x1x2x3x4x5)T= ( 0 0 0 1/2-1 )T Toutes ces solutions de base ne sont pas admissibles pour le système. b) Pour une matrice2×5, le nombre maximal de bases est?52?, c"est-à-dire 10.

March 6, 2012 - mbi/fsh

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