COURS DE PHYSIQUE Mécanique MÉCANIQUE DU POINT COURS DE
d’ordre mathématique La mécanique est une science qui exige de la rigueur et les concepts acquis lors de l’apprentissage dans le secondaire sont ici repris de façon plus formelle et rigoureuse Nous présentons donc, en annexe 1, les outils mathématiques qui nous semblent nécessaires à la bonne compréhension du cours de physique
Cours de Mécanique du Solide - UCD
MÉCANIQUE DU SOLIDE Par I Mrani Année 2018-2019 Plan du cours Géométrie vectorielle Cinétique du solide Principe fondamentale de la dynamique
La Mécanique du cœur
123265EHD - Flammarion - La Mécanique du coeur - Page 15 — Z23265$$$1 — Rev 18 02 La Me´canique du cœur Dehors, il neige de plus en plus fort Le lierre argente´ grimpe sous les toits Les roses translucides s’in-clinent aux feneˆtres, enluminant les avenues Les chats se changent en gargouilles, leurs griffes plante´es dans la
Cours de mécanique du point - LPSC
La mécanique présentée ici concerne exclusivement la mécanique du point Pratiquement elle concerne les objets matériels dont l’extension spatiale est très faible: leurs déformations et l’énergie liée à leur mouvement propre de rotation peuvent ainsi être négligées devant les énergies mises en jeu
Mécanique du point - Dunod
Relativité du mouvement : nécessité d’un référentiel 1 2 Repère de temps et d’espace 1 3 Vecteur vitesse d’un point mobile 1 4 Vecteur accélération d’un point mobile 1 5 Exemples de mouvement 1 6 Récapitulatif OBJECTIFS L’objet de la cinématique du point est l’étude du mouvement d’un point
CORRIGÉ- LA MÉCANIQUE DU CŒUR - Le Baobab Bleu
Malzieu, La mécanique du cœur En 2010 il est apparu dans le film Gainsbourg, vie héroïque de Joann Sfar En 2011 il a publié son troisième roman, Métamorphose en bord de ciel En octobre 2012 il est sorti en salles le film d’animation inspiré par le livre homonyme de Mathias Malzieu et par l'album de Dionysos La mécanique du cœur
Examens corrigés Mécanique du Point Matériel
le module du vecteur vitesse v(M /ℜ) 4) En déduire τ r le vecteur unitaire tangent à la trajectoire dans la base ρ ϕ(e ,e ) r r 5) Exprimer da la base ρ ϕ(e ,e ) r r, les accélérations tangentielle, γt r, et normale, γn r, de M 6) En déduire le rayon de courbure Rc de la trajectoire ainsi que le vecteur unitaire normal n v
PCSI MECANIQUE 1 CINEMATIQUE DU SOLIDE INDEFORMABLE
La mécanique newtonienne, basée sur la relativité galiléenne selon laquelle le temps ne dépend pas du référentiel, permet de considérer qu’un changement de référentiel se limite à un changement d’espace On se propose de définir les coordonnées du vecteur Oi A =+ +xx yy zzAi A i Ai′′′ uuuur r r r dans le repère R i,
La Me Âcanique du cúur
La mécanique du cœur Docteur Madeleine est la premie `re vision que j’ai eue Ses doigts ont saisi mon cra ˆne en forme d’olive – ballon de rugby miniature –, puis on s’est pelotonnás, tranquilles Ma me`re pre´fe`re de´tourner le regard De toute fac ¸on ses paupie`res ne veulent plus fonctionner « Ouvre les yeux
[PDF] spectre discontinu définition
[PDF] spectre gaz froid absorbant
[PDF] mathematique web
[PDF] spectre de raies definition simple
[PDF] spectre d'un gaz froid absorbant
[PDF] vuibert maths pdf
[PDF] spectre de bandes d'absorption
[PDF] spectre lampe ? vapeur de sodium
[PDF] bateau moteur grande autonomie
[PDF] effet de serre exposé
[PDF] quelle conversion réalise une centrale électrique
[PDF] quel élément la turbine permet-elle de faire tourner
[PDF] la lampe est elle un convertisseur d'énergie
[PDF] pourquoi une source d'energie primaire est elle indispensable a une centrale electrique
MECANIQUE 1
___CINEMATIQUE DU
SOLIDE
INDEFORMABLE
___ PCSICinématique du solide indéformable
2Objet de la cinématique
La cinématique est la partie de la mécanique qui permet de décrire et d'étudier les mouvements
des solides indépendamment des causes qui les provoquent.1. Définition d'un solide indéformable
1.1 Relation de base
On appelle solide indéformable S, tout ensemble de points matériels dont la distance est invariable dans le temps, ce qui se traduit par : Soient 2 points quelconque A et B d'un solide indéformable (S). On a² constanteAB
[1]Remarque : cette hypothèse ne s'appliquera qu'après une étude de sa compatibilité avec les
conditions réelles en rapport avec ce solide : matériaux, géométrie, surface, actions mécaniques,
type d'étude.1.2 Référentiel : espace, temps - Repère attaché à un référentiel
Référentiel
Le référentiel est un système de coordonnées permettant de situer un événement dans l'espace et dans le temps. Le référentiel est l'emplacement de l'observateur et il est constitué idéalement d'un repère d'espace et d'un repère de temps.Repère d'espace
Les solides étudiés évoluent dans un espace physique qui peut êtremodélisé par un espace caractérisé par un repère de coordonnée orthonormé direct
(,,,)ROxyz (fig. 1). Équivalence entre référentiel et solide indéformableUn solide étant indéformable, étudier le mouvement d'un solide par rapport à un autre revient donc
à étudier le mouvement relatif des référentiels liés à ces solides. Dans chaque référentiel, on
positionne un repère bien choisi suivant la géométrie du solide.Solide de référence
L'étude de tout mouvement implique au moins 2 solides en présence : - Le solide S 2 dont on étudie le mouvement - Le solide S 1 par rapport auquel on définit le mouvement et qui est appelé Solide de référence. On attache un repère de coordonnées à un référentiel de façon à réaliser le positionnement des points du solide.1.3 Position et paramétrage du solide
Pour paramétrer un solide, il faut fixer la position de 3 points liés au solide, c'est-à-dire 9
paramètres. De plus, les 3 points ont une distance constante traduite par 3 équations de liaison
des paramètres. La position d'un solide dépend de 6 paramètres indépendants.Cela caractérise les 6 degrés de liberté du solide (3 translations + 3 rotations) par rapport à un
référentiel : X, Y, Z, x y z (fig. 2).Fig 2: Degrés de liberté
Cinématique du solide indéformable
32. Repérage du solide indéformable
2.1 Coordonnées cartésiennes
Les coordonnées s'expriment suivant les axes ,,xyz sous forme de scalaire : x, y, z. (Fig. 2)2.2 Coordonnées cylindriques
Les coordonnées cylindriques sont définies par les paramètres (,,)z. ..OM u z zProjection dans le repère cartésien :
2.3 Coordonnées sphériques
Les coordonnées sphériques sont définies par les paramètres OM uProjection dans le repère cartésien :
2.4 Position d'un référentiel par rapport à un autre - Angles d'Euler
Changement de référentiels, repères d'espaceEn mécanique, il est fréquent de changer de référentiel pour exprimer, sous une autre forme, la
position, la vitesse ou l'accélération d'un point ou toute autre grandeur vectorielle. La mécanique
newtonienne, basée sur la relativité galiléenne selon laquelle le temps ne dépend pas duréférentiel, permet de considérer qu'un changement de référentiel se limite à un changement
d'espace. On se propose de définir les coordonnées du vecteur i OAi Ai Ai
Axx yy zz
dans le repère R i c'est-à-dire de réaliser un changement de repère de R j vers R i . Un cas élémentaire fréquemment rencontré correspond à une simple rotation des deux repères autour d'un axe. Le cas pluscomplexe d'une rotation autour d'un point peut alors être considéré comme la succession de trois
rotations autour d'axes distincts. Changement de repère d'un vecteur dans le cas d'une rotation autour d'un axeConsidérons que le repère R
j a pivoté d'un angle autour de l'axe i x par rapport au repère Ri (fig. 5).Dans ces conditions, les vecteurs unitaires de R
i peuvent s'exprimer dans le repère Rj de la façon suivante : cos . sin . sin . cos . ij ijj ijj xx yyz zyz TTFig 3 : Coordonnées cylindriques
Fig 4 : Coordonnées sphériques
Cinématique du solide indéformable
4Angles d'Euler
Une base orthonormée se déduit d'une autre base orthonormée par une rotation de l'espace définie
par 3 paramètres. On utilise fréquemment les angles d'Euler dont la définition est donnée ci-après.
Soit 123(, ,)xxx et 123
(, ,)yyy deux bases orthonormées. Soit u un vecteur appartenant à l'intersection des plans 12 (, )xx et 12 (, )yy. Les 3 angles d'Euler permettent de paramétrer une base par rapport à une autre.
Ils sont définis par :
1 (,)xu , angle de précession orienté par 3 x (,), angle de nutation orienté par u ; (,), angle de rotation propre orienté par 3 yLa base
3 (,, )uvxest appelée première base intermédiaire ;La base
3 (, , )uwyest appelée deuxième base intermédiaire.La droite dirigée par
uu s'appelle la droite des noeuds. On a 3333
xyu xy Angles de Cardan ou angles RTL (roulis, tangage et lacet)
Cinématique du solide indéformable
52.5 Dérivée temporelle d'un vecteur par rapport à un référentiel (Formule de la base
mobile)Soit la base orthonormée directe
1111(,,)Bxyz de l'espace vectoriel E3. Soit la base orthonormée directe 2222
(,,)Bxyzde l'espace vectoriel E3 dépendant du paramètre t par rapport à la première base.
Cinématique du solide indéformable
6On en déduit la relation fondamentale de la dérivée d'un vecteur dans deux bases différentes dont
l'une dépendant d'un paramètre par rapport à l'autre : 2112 /BB BB dU dUUdt dt [10]
Exemple :
2.6 Vecteur vitesse de rotation de deux référentiels en mouvement l'un par rapport à
l'autreDans la relation [10], le vecteur
représente le vecteur de vitesse de rotation du vecteurUpar rapport au repère R
0 x y , et z sont les composantes du vecteur sur les axes x , y et z ; et représentent les rotations successives du vecteur U autour des axes x , y et zEn mécanique, les solides sont souvent assimilés à leur repère de coordonnées. Le vecteur rotation
du repère R 1 par rapport au repère R 0 sera donc écrit de la façon suivante : 1 o RRCinématique du solide indéformable
72.7 Composition des vecteurs vitesse de rotation
3. Trajectoire, vitesse et accélération d'un point par rapport à un référentiel
Cinématique du solide indéformable
8Composition des vecteurs vitesses
Cinématique du solide indéformable
9Généralisation
Soient n repère R
i dont on connaît les mouvements relatifs par rapport aux repères R i-1 . Soit le solide S en mouvement connu par rapport au repère R 0 et un point M de S. L'application successive de la relation [18] entre S et R i en faisant intervenir le repère intermédiaire R i+1 donne : 11 nnnnMSR MSR MR R
VVV 2112nnnn
MSR MSR MR R
VVV 110o
MSR MSR MR R
VVVSoit, en effectuant la somme membre à membre
1 1 on ii nMSR MSR MRR
i VV VEn appliquant la relation [18] entre S, R
0 et R n , on obtient 0 onnMSR MSR MR R
VVVSoit :
1 1 no ii nMR R MR R
i VV [20]4. Cinématique du solide
4.1 Torseur distributeur des vitesses. Équiprojectivité
Champ des vitesses d'un solide
Le paramètre temps t étant fixé, on appelle champ des vitesses d'un solide S à l'instant t le champ
qui, à tout point M du solide associe le vecteur vitesse o MSR V Torseur cinématique ou torseur distributeur des vitesses En appliquant la relation [10] au vecteur du solide S en mouvement par rapport au repère R o , le temps t étant le paramètre de dérivation, on obtient : 0 o RSR dABABdt , soit 0 ooBSR ASR SR
VV AB ou encore 0 ooBSR ASR SR
VV AB [21]C'est la relation de changement de point pour le transfert d'un torseur d'un point A à un point B.
Or, o BS R Vest le champ des moments d'un torseur, ce torseur a donc 0 /SR comme résultante. On l'appelle " torseur cinématique » et on le note, au point A : o o o SR SR AS R A V V [22]REMARQUES
- Le torseur cinématique définit le mouvement du solide à chaque instant.- Il n'est pas nécessaire que le point A soit physiquement sur le solide S. Il suffit qu'il soit fixe
dans tout repère lié à S. - Toutes les opérations sur les torseurs sont applicables au torseur cinématique.Cinématique du solide indéformable
10Équiprojectivité
Si l'on repart de la relation fondamentale
²AB constante
que l'on écrit sous la forme ()²OB OA constante, on obtient, en dérivant par rapport au temps, dans le repère R o ()²0dOB OAdt, soit ().()0 ooBS R AS R
VVOBOA
, ou encore ().0 ooBS R AS R
VVABOn obtient la relation :
ooBS R AS R
VABVAB
[23]Le champ des vitesses d'un solide indéformable est équiprojectif. (Propriété du champ des
moments d'un torseur.)