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Ensuite viennent les théorèmes qui conduisent aux méthodes pratiques permettant de résoudre mécaniquement ces problèmes Les chapitres finissent toujours par de nombreux exercices Beaucoup sont faciles et seront résolus dès qu’on aura trouvé le paragraphe auquel ils se rapportent, mais

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4 CONTENTS 4 6 Applications pratiques 44 5 Les cartes de contrˆole 47 5 1 Introduction 47 5 2 Carte I 49

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ENSIM 2A

Mecanique :

theorie des poutres (resistance des materiaux)

Jean-Michel Genevaux

avec les complicites de Samuel Deslandes, Stephane Durand, Francois Gautier, tous les collegues precedents qui ont fourni leurs documents. 1 erjuin 2011

Table des matieres

1 Objectifs et methode2

2 Cours de theorie des poutres6

2.1 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2 Les ceintures de theorie des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3 Les Outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3.1 De l'elasticite a la theorie des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3.2 Notion de poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.3.3 Liaisons - isostaticite - hyperstaticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3.4 Eorts interieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.3.5 Description de la section droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3.6 Annexe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.4 Lois de comportement de la poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.4.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.4.2 1ere cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.4.3 2nd cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.4.4 3ieme cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.4.5 Formules de Bresse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.4.6 exemple d'utilisation : sollicitation de traction . . . . . . . . . . . . . . . . .

44
2.4.7 exion simple autour de l'axeH~z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.5 Resolutions de problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.5.1 Resolution par superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.5.2 Methodes energetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.5.3 resolution de systemes hyperstatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.5.4 Systemes articule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.6 Une cinematique mieux adaptee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.6.1 Cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.6.2 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.7 Dimensionnement : cette partie n'est vue que lors des travaux pratiques . . . . . .

50

2.7.1 Cercle de Mohr des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.7.2 Criteres de limite d'elasticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.7.3 Methode de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.7.4 Exemple de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.8 Non linearites geometriques (grands deplacements) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.8.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.8.2 equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.8.3 methode incrementale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54
2.8.4 ambement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.9 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.9.1 Principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.9.2 Equation d'equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.9.3 Modele variationnel en deplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.9.4 Modele variationnel mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54
1

Chapitre 1

Objectifs et methode

Tous les documents (cours, td, tp , examens, corriges, qcm) relatifs a ce cours sont disponibles sous http ://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php?id=95

Ce polycopie est divise en plusieurs parties :

Pour verier de facon individuelle que vous avez acquis les competences necessaires, des petits exercices cibles, appeles brevets, sont disponibles dans le recueilbanque de brevets. Ils ont ete ecrit suites aux erreurs rencontrees les plus frequemment dans les copies d'examen. Cette Banque de brevet concerne l'ensemble des trois annees de formation a l'ENSIM. Un arbre des connaissances vous permet, en grisant les brevets dont vous ^etes detenteur-trice de savoir ou vous en ^etes dans la formation proposee. Pour vous entra^ner a manipuler les concepts et a prendre un peu de hauteur et vous ap- proprier la demarche globale, des sujets de travaux diriges et des sujets d'examens sont disponibles dans un polycopie specique. Les corriges des td et examens sont disponibles sur

UMTICE.

L'examen nal classique de 1h15 sur une table n'aura pas lieu. Il est remplace par le passage de ceintures (de blanche a noire) qui valident chacune une etape de la formation. Une ceinture est acquise lorsque vous trouvez le(s) resultat(s), votre reponse ne presente pas d'erreur d'homogeneite, les ecritures sont completes (vecteurs, bases, points d'expression d'un torseur, unites pour un resultat chire). Vous pouvez tenter d'obtenir une ceinture lorsque vous vous sentez pr^et-e a le faire. Elles sont passees de facon individuelle, dans l'ordre des couleurs, lors des seances d'enseignement ou d'examen, ou entre 12h45 et 13h30, sur rendez-vous aupres de jmgenev@univ-lemans.fr, au 4ieme etage du LAUM, salle cafe. Attention, le nombre de places est limite car au maximum 2 etudiants peuvent tenter une ceinture par jour ou JM Genevaux est disponible. Les passages de ceinture, s'arr^etent une semaine avant le jury de n d'annee. Priorite est donnee aux premieres tentatives de passage d'une ceinture et aux premieres ceintures. Vous ne pouvez passer qu'une ceinture par seance avec comme seul document, un polycopie de cours vierge qui vous sera fourni. Vous pouvez passer une ceinture autant de fois que vous le souhaitez (dans la reserve des places diponibles) jusqu'a obtention de celle-ci. Le passage d'une ceinture necessite que vous signez la declaration suivante : "Je m'engage sur l'honneur a ne pas evoquer avec mes camarades le contenu du sujet de passage de ceinture.". Cela permet a vos camarades de faire une mesure "libre et non faussee" de leurs savoirs scientiques et non de leur competence de memorisation. L'interfacage avec les modalites de contr^ole des connaissances qui necessite une note sera fait par la formulen=c1 n c120, avecnla note,c le nombre de ceintures obtenues etncle nombre de ceintures disponibles. En n de module, il vous sera demande d'evaluer le module an de nous faire part de vos remarques. Nous vous souhaitons une bonne decouverte, une interessante confrontation des modeles que nous developperons lors de cette formation et utiliserons en td, a la realite des essais eectues en 2 travaux pratiques, et bien s^ur... une bonne collaboration entre vous. 3 Il peut vous ^etre utile de conna^tre les termes speciques a la mecanique en anglais. Voici donc une selection de termes. acere spiky appuye simplement simply supported coalescer to coalesce encastre clamped ^etre a divergence nulle to be divergence-less isotherme isothermal l'abaque the chart la bobine the coil la dispersion the scatter la frequence de pompage the pump frequency la frequence de sonde the imaging frequency la frequence superieure the overtone la fuite the leakage la ligne nodale the nodal line la manche, la pochette, l'alesage the sleeve la poutre the beam la pulsation the angular frequency la rainure the groove la rugosite the ruggedness la variable muette the dummy variable le ux entrant the inward ow le ux sortant the outward ow le jeu the clearance le module d'Young the modulus of elasticity le ventre de vibration the antinode les conditions aux limite the boundary conditions libre free edge se contracter to shrink serre tight tendu taut 4

Bibliographie

[1]

Axisa, Hermes, Paris

[2] Batoz,JL Dhatt,GModelisation des structures par elements nis : volume 2 : poutres et plaques

Hermes, Paris, 1990

[3] Batoz,JL Dhatt,GModelisation des structures par elements nis : volume 3 : coquesHermes,

Paris, 1992

[4] Chevalier,LMecanique des milieux continus deformables, Ellipse, 2004 [5] DumontetExercices de mecanique des milieux continus, Masson, Paris, 1994 [6] JM Genevaux, chiers disponible sur le reseau sousdistrib doc etu / 2a modelisation / model jmg [7] JM Genevaux, chiers disponible sur le reseau sousdistrib doc etu / 1a tdp / cinematiques [8] Lemaitre,J Chaboche,JLMecanique des materiaux solides.Dunod, Paris, (cote 620.1 LEM a la BU) [9] Germain,P Muller,PIntroduction a la mecanique des milieux continus.Masson, Paris, 1980 [10] Genevaux,JMA propos des tenseurs, cours Ensim 1A, 2005 [11] Zucchini,A Lourenco,PBA micro-mechanical model for the homogenisation of masonry, In- ternational Journal of Solids and Structures,39, Issue 12, June 2002, Pages 3233-3255. [12]

Albiges Resistance des materiaux

[13]

Courbon

[14]

Feodossiev

[15] Laroze Resistance des materiaux et structures (tome 2) ed. : Masson-Eyrolle [16]

Timoshenko

[17] Techniques de l'ingenieur, B5 I, 600,601, 5020, 5040 (concentrations de contraintes) [18] Chevalier Mecanique des systemes et des milieux deformables, ellipse, paris, 2004. [19] Dumontet, Duvaut, Lene, Muller, Turbe, Exercices de mecanique des milieux continus, Masson,

Paris 1994

[20]

Salencon,

[21] Salencon, Mecanique des milieux continus, tome 2, Thermoelasticite, Editions de l'Ecole Poly- technique, Palaiseau, 2001 [22] Salencon, Mecanique des milieux continus, tome 3, Milieux curvilignes, Editions de l'Ecole

Polytechnique, Palaiseau, 2001

[23] Axisa,FModelisation des systemes mecaniques : systemes continusHermes, Paris, 2001 [24] Batoz,JL Dhatt,GModelisation des structures par elements nis : volume 2 : poutres et plaques

Hermes, Paris, 1990

[25] Chevalier,LMecanique des systemes et des milieux deformablesEllipses, Paris, 1996 [26] JM Genevaux, chiers disponible sur le reseau sousdistrib doc etu / 2a modelisation / model jmg [27] JM Genevaux, chiers disponible sur le reseau sousdistrib doc etu / 1a tdp / cinematiques 5

Chapitre 2

Cours de theorie des poutres

2.1 Bibliographie

Voici ci-dessous, quelques auteurs et livres traitant de la theorie des poutres. Vous pouvez consulter ces ouvrages a la bibliotheque universitaire.

Albiges Resistance des materiaux

Courbon

Feodossiev

Laroze Resistance des materiaux et structures (tome 2) ed. : Masson-Eyrolle Germain Introduction a la mecanique des milieux continus ed. : Masson

Timoshenko

Techniques de l'ingenieur, B5 I, 600,601, 5020, 5040 (concentrations de contraintes)

2.2 Les ceintures de theorie des poutres

1. blanche : ^etre venue une fois en cours de theorie des poutres pour recuperer le polycopie. 2. jaune : savoir determiner si un systeme est isostatique, hypostatique ou hyperstatique de degren. 3. orange : savoir determiner les composantes d'un torseur d'eorts interieurs. 4. verte : savoir determiner le torseur de deplacement d'un point. 5. bleue : savoir determiner le chargement maximal admissible d'une structure. 6. marron : savoir resoudre un probleme hyperstatique exterieurement. 7. noire : savoir resoudre un probleme hyperstatique interieurement.

2.3 Les Outils

2.3.1 De l'elasticite a la theorie des poutres

Le synopsis de la demarche associe a la theorie des poutres est presente gure 2.1. Nous travaillons ici dans un repere local a un point. Nous noterons les vecteurs de ce repere local~x;~y;~z:. La theorie des poutres est une simplication de la theorie de l'elasticite. Elle peut ^etre envisagee lorsque le corps solide deformable possede une dimension bien plus grande que les deux autes. Un

solide de ce type sera appelepoutre. Si l'on fait une section dans le plan des petites dimensions, le

barycentre de cette section sera noteH. Si vous lisez d'autres livres de theorie des poutres, ce point

6 Figure2.1 { Les dierents concepts necessaires a la theorie des poutres. est generalement appeleG. Pour eviter que vous ne le confondiez avec le centre de gravite de la poutre complete (erreur devenue classique ces dernieres annees, mais extr^emement enervante pour l'enseignant), nous choisirons de l'appeler par la lettreH. L'ensemble des barycentres de la poutre deni laligne moyenne. Si la section est permendiculaire a la ligne moyenne, elle sera appellee section droite. La position sur cette ligne moyenne est reperee par une abscisses. Cette ligne moyenne peut ^etre continue, discontinue, ^atre continuement derivable par rapport a la variables ou non. La theorie des poutres fournie des solutions en deplacement et contraintes qui ne sont pas necessairement valables en tout point. Mais loin des points d'application des chargements, des

liaisons (blocages cinematiques) et des variations brusques de section, elle est tout a fait susante.

Ces conditions sont presentes en de nombreux points de ce type de structures. Nous rapellons les grandeurs et relations utiles en elasticite tridimensionnelle : (voir tableau 2.1) Le m^eme jeu de relations est present dans le cas de la theorie des poutres, seules les grandeurs

utilisees sont decrites a l'aide d'objets que l'on appelle torseur. Ce sont les m^emes^etres mathematiques

que ceux que vous avez utilise en mecanique des solides indeformables pour decrire leur mouvement.

Ils seront ici simplement associes aux deplacement et rotation d'une section droite, aux deformations

d'une section droite et aux eorts generalises (resultante et moment) sur cette section. a l'echelle macroscopique locale 3D Nous ne rapellerons que quelques denitions de l'elasticite lineaire isotrope. Les dierentes possibilites de deformations d'un volume elementaire (dx dy dz). On denit les 3 deformation d'allongement (ou de contraction)xx,yy,zz, ainsi que les 6 deformations de cisaillementxy,yz,zx,yx,zy,xz. Tenseur des deformations. Ces 9 composantes peuvent ^etre ordonnees dans une matrice as- sociee au tenseur des deformations . Ce tenseur est symetrique de part sa construction. Il y a donc 6 composantes independantes. Tenseur des contraintes. Il est associe aux contraintes agissant sur chaque facette d'un cube. La facette de normale~xsubit les contraintesxx,yx,zx. Nous appelleronsEle module de Young du materiau (en Pa). Nous appelleronsle coecient de Poisson du materiau (sans unite). Nous appelleronsG=E

2(1+)le module de Coulomb du materiau (en Pa). Le loi de

comportement permettant de passer du tenseur des deformations au tenseur des contraintes est, =1 + E E trace()Id;(2.1) 7 deplacements deformations contraintes ~u condition aux limites ~u=~udsur u en deplacement passage + eq. compatibilitequotesdbs_dbs21.pdfusesText_27