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4Etude qualitative de fonctions - Les maths avec Mme Edet

IV Tableau de variations Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant apparaître les intervalles où elle est monotone Exemple : La fonction A est croissante sur l’intervalle [0 ; 2,5] et décroissante sur l’intervalle [2,5 ; 5] A(0) = 0 A(2,5) = 6,25 A(5) = 0



Chapitre 5 ETUDE DE FONCTIONS Term Complément s sur la

Remarque L’étude de la convexité appo te des indications su la façon de coîte ou de décoîte d’une fonction Ainsi, une fonction croissante convexe « croît de plus en plus », comme la fonction carré sur Au contraire, une fonction croissante concave croît « de moins en moins », comme la fonction racine carrée sur



TD1 - Etude de Fonctions

Fonction tangente : tanx = sinx cosx, 1 3 (tanx)3 −tanx+x, sinx cos2 x (8) Vous pouvez calculer la derni`ere d´eriv´ee de deux facons Fonction cotangente : cotx = cosx sinx = 1 tanx, 1 x ³ tan x 2 +cot x 2 ´ (9) Vous pouvez calculer la d´eriv´ee de cot de deux facons On recommande d’utiliser les formules de trigonom´etrie sur la



MTS1 A 2017 Etude de fonctions 1 Rappels

Une fonction est périodique de période T ssi pour tout réel x, f( x + T ) = f ( x ) La périodicité permet de réduire l'étude des variations d'une fonction à un intervalle de longueur égale à la période Exemples : Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2 π La fonction tangente est périodique de période π



Étude globale d’une fonction d’une variable TPC1 - 2017-2018

l’ensemble d’étude d’une fonction fon3 2 Déterminer les variations et les limites d’une fonction fon3 3 Déterminer les extremums éventuels d’une fonction fon3 4 Tracer le graphe d’une fonction fon3 5 Obtenir des inégalités grâce à une étude de fonction



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L’étude du signe d’une fon tion homographique se fait au as par as, en faisant un ta leau de signe La représentation graphique d’une fonction homographique est une hyperbole Exemple :



Lycée militaire de Saint-Cyr Exercices sur l’étude Term de

b) Dresser le tableau de variations de ) Déterminer l’équation de la tangente à (????) au point d’asisse 4 3 Etudier la convexité de la fonction Préciser les points d’inflexion éventuels de (????) 4 On considère la fonction définie sur ℝ+ par (????)= − (????) Dresser le tableau de variations de 5



1 LA FONCTION GAMMA : DEFINITION ET Γ(1)

Solution 1 1 La fonction t 7e ttx 1 est continue sur ]0;+1[, donc lo-calement int´egrable sur ]0;+1[ Reste `a ´etudier l’int´egrabilit´e en 0 et en l’infini En 0, e ttx 1 ˘ tx 1, et comme x 1 > 1 et que tx 1 est de signe constant au voisinage de 0, l’int´egrabilit´e en 0 d´ecoule du crit`ere



Exercice 1 : Taux d’accroissement

Dresser le tableau de signes de ces dérivées et de variations des fonctions f, g, h et k correspondantes x 1 +1 signe de f′(x) variations de f Exercice 7 : Étude de fonctions, Extremums, Équation de tangente Soit f la fonction définie surR par f(x) = 1 3 x3 1 2 x2 +2x 1 1 Calculer f′(x) Étudier le signe de f′(x) 2



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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 1

Note liminaire

Programme selon les sections :

- fonctions de références, représentations graphiques, dérivées, tableau de variations : toutes

sections - opérations sur les limites, asymptotes : STI2D, STL, S

Prérequis

Notion de fonction - Signe et ǀariations d'une fonction

Plan du cours

1. Fonctions de référence

2. Fonctions dérivées

3. Tableau de variation

4. Limites et asymptotes

1. Fonctions de référence

Les fonctions de référence sont les fonctions qui permettent de construire par combinaison toutes les

autres fonctions.

Fonctions affines :

définie sur R ( et Une fonction linéaire est une fonction affine avec f est croissante si , décroissante si Si f est négative sur et positive sur Si f est positive sur et négative sur

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 2 La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.

Exemples :

et

Droite représentative de f

Droite représentative de g

Fonction carrée :

définie sur R f est décroissante sur et croissante sur f est positive sur R.

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 3 La représentation graphique de la fonction carrée est une parabole.

Fonction cube :

définie sur R f est croissante sur R. f est négative sur et positive sur

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 4

Représentation graphique :

Fonctions trinômes (ou polynômes du second degré) : définie sur R ( et réels) discriminant : La fonction carrée est une fonction trinôme avec et Si f est décroissante sur et croissante sur Si f est croissante sur et décroissante sur Si (deux racines) : - Si

f est positiǀe ă l'edžtĠrieur des racines et nĠgatiǀe ă l'intĠrieur des racines.

- Si

f est nĠgatiǀe ă l'edžtĠrieur des racines et positiǀe ă l'intĠrieur des racines.

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 5 Si (racine double) : - Si f est positive sur R et - Si f est négative sur R et Si (pas de racine) : - Si f est strictement positive sur R. - Si f est strictement négative sur R.

Exemple :

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 6

Fonction inverse :

définie sur R* f est décroissante sur et sur f est négative sur et positive sur La représentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole.

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 7

Fonctions homographiques :

définie sur (a, b, c et d réels) La fonction inverse est une fonction homographique avec et Si alors f est croissante sur et sur Si alors f est décroissante sur et sur

Exemple :

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 8

Fonction racine carrée :

définie sur f est croissante sur f est positive sur

Remarque :

et On dit que la fonction racine est la fonction réciproque de la fonction carrée.

Représentation graphique :

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 9

2. Fonctions dérivées

Récapitulatif des dérivées des fonctions de référence : f domaine de définition f' domaine de dérivabilité k (k réel constant) R 0 R R 1 R R R R R R R R* R* ) R ou R*

R ou R*

R\ R\

Dérivées de fonctions composées :

Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. f f' (k réel)

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 10

Tangentes :

Soit f une fonction définie et dérivable sur I, et Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction f au point d'abscisse a est le

3. Tableau de variation

Signe de la dérivée et sens de variation :

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Si sur I alors f est croissante sur I. Si sur I alors f est décroissante sur I. Si est un extremum de la fonction (minimum ou maximum), alors

Contre-exemple :

et pourtant n'est pas un edžtremum de la fonction f.

Pour dresser le tableau de variation d'une fonction, il est donc nĠcessaire, le plus souǀent, de passer

Edžemple d'Ġtude de fonction :

définie sur R*.

1) Calcul de la dérivée

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2) Etude du signe de la dérivée

On a donc :

sur et sur sur et sur

3) Tableau de variation

sur et sur donc f est croissante sur et sur sur et sur donc f est décroissante sur et sur

Calcul des extrema :

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4) Représentation graphique de f

Tracer la courbe sur la calculatrice ou par le biais d'un logiciel permet de ǀĠrifier ses rĠsultats.

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4. Limites et asymptotes

Les définitions exactes des limites d'une fonction ne sont pas strictement au programme. Les voici

néanmoins :

Définitions :

- Limite finie enquotesdbs_dbs5.pdfusesText_9