DS - 10 du 22 05 2019 - MPSI-3
Les cinq énoncés proposés (problème 1, intermède, problème 2, pause, épilogue) sont mutuellement indépen-dants – Probleme` 1 : Endomorphismes Nilpotents – On considère dans tout le problème un Kespace vectoriel E de dimension finie n > 2: Un endomorphisme u 2L(E) est dit nilpotent s’il existe k 2N?tel que uk = 0:L’entier : r
Epreuve de Mathématiques 3 MP durée : 4 heures
Partie II Commutant d’un endomorphisme nilpotent d’indice 2 On suppose dans cette partie que u est nilpotent d’indice 2 et que n 3 2 On note T le rang de u On pose s = 72 - 2~- 1 Montrer que Im,u c ker 71 En déduire que I‘ < F 2
Devoir surveillé n (4 heures)
PROBLEME I : Endomorphisme nilpotent d'ordre n Soit nun entier supérieur ou égal à 2 Si fest un endomorphisme de Rn, pour k2N, on dé nit fk par récurrence : f0 = Id Rn et 8k2N;fk+1 = f fk On s'intéresse aux endomorphismes de Rn véri ant fn 1 6= 0 et fn = 0 (1) 1 Etude d'un exemple On dé nit l'endomorphisme fde R3 par : 8(a;b;c) 2R3;f
A2017 – MATH II PSI ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO
On dit que u est de carré nul lorsque u2 est l’endomorphisme nul de E On dit que u est nilpotent lorsqu’il existe un entier naturel n Ø 1 tel que un =0 Une matrice A œ M n(C) est dite de carré nul lorsque A2 =0 n L’objectif du problème est d’établir, pour un endomorphisme u d’un C-espace
1 Applications linéaires, Morphismes, Endomorphismes
Lorsque E= F, un morphisme de Edans lui même s'appelle un endomorphisme Exemples 1) Soient Eet F deux espaces vectoriels alors l' application nulle , qui à tout x2Efait correspondre 0 F le zéro de F, est une application linéaire (véri cation laissée au lecteur)
DIDIER ARNAL MABROUK BENAMMAR MOHAMED SELMI Normalisationd
Le problème algébrique de classification à équivalence près des représen- gonalisable S1 et un endomorphisme nilpotent NI, commutant entre eux Alors, dans :
MacrosPbsE3A
Title: MacrosPbsE3A dvi Created Date: 4/16/2008 9:36:57 AM
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Dans tout le problème on désigne par A et B deux anneaux commutatifs, I;J et K trois idéaux de A et f : B A un morphisme d’anneaux Soit a 2A On dit que a est nilpotent s’il existe n 2N tel que an= 0 On convient que 8a 2A;a0 = 1 Le corps K désigne le corps des réels R ou celui des complexes C
ANNEAUX DE VALUATION DISCRETE COMPLETS NON COMMUTATIFS
nilpotent et l'anneau A est intègre Il s'ensuit que A est un domaine d'intégrité principal à droite et à gauche, donc c'est un anneau de Ore à droite et à gauche et il admet un corps des fractions à droite et à gauche; voir [P M C1 et 2] La fonction d'ordre o est la valuation associée
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