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INTRODUCTION

INTRODUCTION Ce livre propose les ´enonc´es et les corrig´es des ´epreuves de math´ematiques g´en´erales de l’agr´egation externe de math´ematiques des dix derni`eres ann´ees

Agrégation 2016 : mathématiques générales

Dans tout le sujet, la matrice J = J n désignera la matrice 0 I n I n 0 de M 2n(R) On remarquera que Jest antisymétrique et orthogonale Objectif du sujet Dans un première partie, on présentera les propriétés générales d'un espace vectoriel symplectique Dans une seconde partie, on étudiera les propriétés du groupe symplectique et

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sujet) est le projecteur orthogonal sur F b) Montrer que, pour tout élément a de E, d2 F est différentiable ena et calculer son gradient c) En déduire que, pour tout élément a de EnF, dF est différentiable ena et calculer son gradient d) On fixe un vecteura de F L’objet de cette question est l’étude de la différentiabilité

AGRÉGATION INTERNE et CAERPA

3 1 2 Présentation du sujet L'épreuve a pour ambition d'amener les candidats à voir comment des méthodes algébriques du niveau de la licence, typiquement enseignées dans les cours d'algèbre linéaire, peuvent être employées pour obtenir des informations concrètes sur les graphes Aucune connaissance de théorie des graphes n'est

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*Démontrons maintenant que est non-dégénérée Eétant de dimension nie il est existe une base eorthonormale pour le produit scalaire hji Notons Mla matrice de udans cette base e

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pour l'algèbre Rendre le premier sujet d'analyse pour le 31 juillet, le suivant pour le 10 Septembre · Analyse o 2005 (c'est beaucoup plus dur à partir de la partie 4), o 1998 Après je suggère dans l'ordre les sujets suivants : 2004 (fonction exp)- 2009 (Wallis) -

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Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs, montres connectées et tous ap- pareils électroniques de communication ou de stockage, ainsi que les documents sont interdits. La qualité de la rédaction sera un facteur important d"appréciation des copies. On invite donc les candidats à produire des raisonnements clairs, complets et concis. Les candidats peuvent utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties

précédentes, en veillant dans ce cas à préciser la référence du résultat utilisé.Définitions et rappels

Soit Aun anneau commutatif unitaire intègre dont on note1Al"élément unité. On rap pellequ eu2Aestinversibles"il existeu02Atel queuu0= 1A. On noteAl"ensemble des inversibles deA, qui est un groupe multiplicatif. Un élémen txdeAest ditirréductiblesixn"est pas inversible et si pour tous;2A,x= implique2Aou2A. Deux élémen tsx;y2Asont ditsassociéss"il existeu2Atel quex=uy. On note alorsxy. Soit Iun idéal deA; on dit que deux éléments;2Asontcongrus moduloIsi2I.

On écrit alors=(modI).

P ourx2A, on notehxi=xAl"idéal engendré parx. Un tel idéal est ditprincipal. Soien tI;Jdeux idéaux deA. On dit queIdiviseJsiJI. Par ailleurs, on noteIJl"idéal produit deIetJ, qui est l"ensemble des sommes finiesP ixiyiavecxi2Ietyi2J. On rapp ellequ"un nom brecomplexe est ditalgébrique(surQ) s"il existe un polynôme non nul PdeQ[X]tel queP() = 0. Il existe alors un polynôme unitaire de plus petit degré annulant , que l"on appellepolynôme minimaldeet que l"on note. Les racines complexes de ce polynôme sont appelées lesconjuguésde. On app elleentier algébriquetout nombre complexe qui est racine d"un polynôme unitaire à coefficients dansZ. On rapp elleune v ersiondu lemme de Gauss, que l"on p ourrautiliser libremen t: soit P2Z[X] tel queP=P1P2avecP1etP2des polynômes deQ[X]. Alors il existe un rationnelr2Q, non-nul, tel querP12Z[X]et1r

P22Z[X].

On dit qu"un group eab élienGest detype finis"il existe une famille génératrice finie deG,

c"est-à-dire un entierret une famille(a1;:::;ar)d"éléments deGtels que tout élément deG

s"écrit comme une combinaison linéaire à coefficients entiers desa1;:::;ar.

Notations

P ourun ann eauAcommutatif et un entier naturel non nuln, on noteMn(A)l"algèbre des matrices carréesnnà coefficients dansA; la matrice unité est notéeIn. SiMest une matrice deMn(A), on noteMson polynôme caractéristique, qui est le polynôme 1 unitaire défini parM= det(XInM)et on noteMson polynôme minimal.

P ourun nom brepremier p, on noteFple corpsZ=pZ.

P ourt outen tieralgébrique , on noteZ[]l"anneau des éléments de la formeP()oùP parcourtZ[X].

Dans le problème, les textes placés entre les symboles?...?précisent des notations et définitions

qui sont utilisées dans la suite de l"énoncé.

I Exercices préliminaires

1. Soit B2Z[X]un polynôme unitaire etA2Z[X]. Montrer qu"il existeQ;R2Z[X]tels que

A=BQ+RavecdegR Indication : On pourra faire une preuve par récurrence sur le degré deA.

2.L"anneau Z[j]. On notej=e2i3

(a) Démon trerqu ejest un élément algébrique surQet préciser son polynôme minimal. (b)

Démon trerqu eZ[j] =fa+bj;(a;b)2Z2g.

Pour tout nombre complexez, on poseN(z) =zz=jzj2.

(c) Démon trerque p ourtout z2Z[j], on aN(z)2N. En déduire que siz2Z[j]est inversible, alorsN(z) = 1, puis queZ[j]possède6éléments que l"on précisera. (d) Soien tx2Z[j]ety2Z[j]n f0g. Déterminer un élémentq2Z[j]tel queN€xy qŠ<1.

En déduire que l"anneauZ[j]est euclidien.

3.Polynômes cyclotomiques. Soitnun entier naturel non nul. On notenlen-ième polynôme

cyclotomique. On rappelle que sindésigne l"ensemble des racines primitivesn-ièmes de l"unité

dansC, ce polynôme est défini par n(X) =Y

2n(X):

(a)

Démon trerqu eXn1 =Q

djnd(X). (b)

En déduire que n(X)2Z[X].

(c) Soit pun nombre premier. On note:Z!Fpla surjection canonique. Le morphisme d"anneauxs"étend, coefficient par coefficient, en un morphisme d"anneaux deZ[X]sur F p[X], notéb(on ne demande pas de justifier ce point). Sipdésigne lep-ième polynôme cyclotomique, on rappelle quep=p1P k=0Xk. i.

Démon trerque

b(Xp1) = (X1Fp)p. ii. Soien tPetQdeux polynômes unitaires et non constants dansZ[X]tels queXp1 =PQ. Démontrer queP(1)etQ(1)sont des entiers multiples dep. iii. Retrouv erai nsique pest un polynôme irréductible deQ[X]. ?De manière générale,nest irréductible pour toutn2Nn f0g, résultat que l"on admet ici et que l"on pourra utiliser librement dans la suite.? iv.

Soit =e2ip

. Déterminer le polynôme minimal desurQet en déduire le degré de l"extension de corpsQ()=Q. 2

4.Matrices compagnons. Soitnun entier naturel non nul. SoitP=Xn+an1Xn1++a0

un polynôme unitaire deC[X]. On lui associe samatrice compagnonCPdéfinie dansMn(C) par C P=0 B

BBBBBB@0 00a0

1 00a1

0 1.........

.........0an2

00 1an11

C

CCCCCCA:

On noteE= (e1;:::;en)la base canonique deCn.

(a) P ourk2 f1;:::;n1g, exprimer CkPe1dans la baseE. En déduire que pour tout polynôme Q2C[X]non nul et de degré inférieur ou égal àn1, la matriceQ(CP)est non nulle. En déduire le degré du polynôme minimal de C P. (b)

Exprimer C

nPe1dans la baseE. En déduire quePest le polynôme minimal de CP. (c)

En déduire le p olynômeCP.

SoitM2 Mn(C)de polynôme caractéristiqueM. Soient1;:::;nles racines complexes de Mcomptées avec leur multiplicité. SoitQun polynôme deC[X]. (d) Démon trerqu ele p olynômecaractéristique de la matrice Q(M)est

Q(M)=nY

k=1(XQ(k)): Indication : On pourra commencer par traiter le cas oùMest triangulaire. (e) Soit Aun sous-anneau deC. On suppose que le polynômeQest dansA[X]. SoitP2A[X] un polynôme unitaire dont on note1;:::;nles racines complexes comptées avec leur multiplicité.

Démontrer que

nQ k=1(XQ(k))est un polynôme deA[X].

II Nombres algébriques

1. ( a) On dé signep ar'l"indicatrice d"Euler, qui à tout entiern2Nn f0gassocie le nombre d"entiers non nuls inférieurs ànet premiers avecn. Justifier que pour tout entierd>1, l"ensemble des entiersntels que'(n)6dest fini. (b) En déduire que si K=Qest une extension finie deQ, oùKest un sous-corps deC, alorsK contient un nombre fini de racines de l"unité. 2. Soit 2Cun nombre algébrique dont on rappelle que l"on a notéson polynôme minimal. On noteK=Q()le plus petit corps contenantetQ, etd= [K:Q], le degré de l"extension de corpsQ()=Q. (a) Mon trerque est un polynôme irréductible deQ[X]et que son degré est égal àd. (b) Mon trerque si est un morphisme deQ-algèbre deKdansC,()est une racine de, c"est-à-dire un conjugué de. En déduire qu"il y a exactementdtels morphismes deQ-algèbre, que l"on noterak:K!C, k2 f1;:::;dg. 3. Soit 2Cun nombre algébrique et soit2K=Q(). Comme dans la question précédente, leskaveck2 f1;:::;dgdésignent les morphismes deQ-algèbre deQ(). (a)

Justifier que est un nombre algébrique.

3

On pose

P =dY k=1(Xk())2C[X]: (b)

Mon trerque P2Q[X].

(c) Justifier que diviseP, puis montrer quePest une puissance de. 4. Mon trerqu"un nom brealgébrique est un entier algébrique si et seulement si son polynôme minimal est à coefficients entiers. 5.

Soit un nombre complexe.

(a) Mon trerque si est un entier algébrique, alors le groupe additifGengendré par la partie fn; n2Ngest de type fini. (b) Récipro quement,mon trerque si Gest de type fini alorsest un entier algébrique. Indication : En notant(g1;:::;gn)une famille génératrice finie deG, on pourra considé- rer le déterminant du système obtenu en écrivant les élémentsgi,i2 f1;:::;ngcomme combinaison linéaire desgj. 6. En déduire que l"ensem bleOCdes entiers algébriques deCest un sous-anneau deC. Indication : On pourra utiliser sans démonstration qu"un sous-groupe d"un groupe abélien de type fini est de type fini. 7.

Mon trerque OC\Q=Z.

?Dans la suite, on considère le corpsK=Q()où=e2ip avecppremier impair, et on noteOK l"ensemble des entiers algébriques deK. On pose= 1. On définit lanormeet latracede tout élément2K=Q()par

N() =p1Y

k=1 k()etTr() =p1X k=1 k(); où lesksont les morphismes deQ-algèbre deQ()définis dans la question 2 de cette partie.?

III Le corpsQ()et son anneau d"entiers

1. ( a) Mon trerque les morphismes de Q-algèbre deQ()sont lesktels quek() =k, avec k2 f1;:::;p1g. (b) i.

Mon trerque N() = 1etTr() =1.

ii.

Mon trerque N(1) =petN(1 +) = 1.

2.

Mon trerl"i nclusionZ[]OK.

3.

Soit z2Z[].

(a)

Mon trerque z2Z[]si et seulement siN(z)2 f1;+1g.

(b) Mon trerque si N(z)est un nombre premier, alorszest irréductible. 4. Le but de cette question est de mon trerq uel"ensem bleGdes racines de l"unité contenues dans Kest formé exactement des éléments de la formek,k2 f0;:::;p1g. (a) Justifier que Gest un groupe fini cyclique, dont on noteranle cardinal. (b) Soit !un générateur deG. Justifier que2pjnet queQ() =Q(!). (c)

En déduire que n= 2pet conclure.

4

5.On note hi=Z[], l"idéal deZ[]engendré par.

(a)

Mon trerque hi \Z=pZ.

(b) Mon trerque p ourtout k2 f1;:::;p1g, on a11k2Z[]et en déduire que p1Z[] =pZ[]: (c) Soit le morphisme d"anneaux deZ[X]dansZ[]=hi, qui àP2Z[X]associeP() (modhi). Déterminer l"image de et montrer queker est l"ensemble des polynômes

P2Z[X]tels queP(1) = 0 (modpZ).

(d)

En déduire que Z[]=hiest isomorphe àFp.

(e)

Que p eut-onen déduir ep ourl"idéal hi?

6. On détermine ici la structure de Z[]. Le but est de démontrer que les éléments deZ[]sont lesr", oùr2Zet"est un réel inversible deZ[].

Soitu2Z[].

(a)

Soit P=dP

k=0akXk2Z[X]un polynôme unitaire de degréd, dont on note1;:::;dles racines complexes comptées avec leur multiplicité. On suppose que pour toutk2 f1;:::;dg, kest de module1. i.

Mon trerque p ourtout k2 f0;:::;dg, on ajakj6d

k. En déduire qu"il n"existe qu"un nombre fini d"entiers algébriques de degréddont tous les conjugués sont de module1. ii. En déduire égaleme ntque les racines de Psont des racines de l"unité. Indication : On pourra considérer les polynômesPn=dQ k=1(Xnk),n2N, dont on montrera qu"ils sont dansZ[X]. (b) Soit P2Z[X]tel queu=P(). Montrer que, pour toutk2 f1;:::;p1g,uk=P(k)est un conjugué deu, et que c"est un élément deZ[]. (c)

Justifier que

u1u p1est un entier algébrique dont tous les conjugués sont de module1. (d)

En déduire qu"il existe m2Ztel queu1u

p1=m: (e) i. Soit 2Z[]. Justifier qu"il existe un entiera2Ztel que=a(modhi). En déduire que deux éléments conjugués deZ[]sont égaux modulohi. ii.

Démon trerque

u1u p1=m. (f) Justifier l"e xistencede r2Ztel que2r=m(modpZ):On pose"=ru. Montrer que "2Ret conclure. 7.

Le but de ce qui suit est de mon trerque OK=Z[].

(a)

Mon trerque p ourtout 2OK, on aN()2ZetTr()2Z.

(b) Soit 2K=Q()un entier algébrique. Il existe des rationnelsa0;:::;ap2tels que =p2X k=0a kk: i. P ourk2 f0;:::;p2g, calculerbk= Tr(k)et justifier quebk2Z. 5 ii.Mon trerqu"il existe des en tiersc0;c1;:::;cp2, que l"on exprimera en fonction desbk, tels quep=p2P k=0ckk. Justifier ensuite que pour toutk2 f0;:::;p2g b k=p2X `=k(1)`‚` kŒ c iii. Mon trerqu"i lexiste 2Z[]tel quep=p1. En déduire quepjc0, puis que pour toutk2 f0;:::;p2g, on apjck. Conclure.

IV Le théorème de Fermat pourp= 3

On cherche à démontrer dans cette partie que l"équation x

3+y3+z3= 0(1)

n"a pas de solution entières non triviales,i.e., telles quexyz6= 0. Soientx;yetztrois entiers relatifs tels quex3+y3+z3= 0. 1. On supp oseque 3-xyz. Montrer quex3vaut+1ou1 (mod 9)et conclure à une impossibilité. ?On traite à présent le cas3jxyz. Dans la suite de cette partie, on note= 1javec toujours j=e2i3 et on suppose que les entiersx;yetzsont premiers entre eux dansZ[j](et pas seulement dansZ), cas auquel on peut se ramener en divisant par leurpgcddansZ[j].? 2. Mon trerque 3et2sont associés dansZ[j], ce que l"on a noté32. 3. Soit s2Z[j]tel ques6= 0 (modhi). Montrer qu"il existe"2 f1;+1gtel ques3=" (modh4i). Indication : On pourra remarquer que tout éléments2Z[j]est congru à1;0ou1 (modhi). ?Par symétrie des rôles dex;yetz, on peut supposer que3jz(et donc3-x,3-ypuisqu"ils sont premiers entre eux). En particulier, on ajz,-xet-ydansZ[j]. On notenla valuation endez; il existe donc2Z[j]premier avectel quez=n, et par hypothèsen>1. On a doncx3+y3+33n= 0.

La propriété suivante (qui pourra être utilisée sans plus de justification) est donc vérifiée :

(Pn) :il existe;;2Z[j]et!2Z[j]tels que8 etpremiers entre eux;

3+3+!3n3= 0:

Nous allons montrer que si(Pn)est vérifiée, alorsn>2et(Pn1)est également vérifiée.? 4. Supp osons(Pn)vérifiée pour un quadruplet(;;;!). En considérant les valeurs de3;3et

3n3(modh4)i, montrer quen>2.

5. Supp osons(Pn)vérifiée pour un quadruplet(;;;!). On montre dans cette question que (Pn1)est également vérifiée. (a)

Mon trerque

!3n3= (+)(+j)(+j2): 6 (b)En déduire que divise chacun des facteurs+,+jet+j2. (c) Démon trerque est unpgcdde+et+j. En déduire que2divise exactement l"un des éléments+,+jou+j2. Quitte à remplacerparjouj2, on peut supposer que2divise+. Il existe donc des

éléments1;2et3deZ[j]tels que-123et

8>< :+=3n21; +j=2; +j2=3: (d) Mon trerq ue!3=123et en déduire qu"il existe des éléments 1; 2et

3deZ[j]tels

que pour tout`2 f1;2;3g,` 3`. (e) Démon trerqu "ilexiste deux in versibleset0deZ[j]tels que 32+

33+03(n1)

31= 0:

(f)

Mon trerque si =1, alors(Pn1)est vérifiée.

(g)

Mon trerque =1 (modh3i), puis que =2 fj;j;j2;j2g.

6. Conclure que l"éq uation(1) n"a pas de solut ion(x;y;z)dans le cas3jxyz. V Le théorème de Fermat pourprégulier etp-xyz

?On admet dans la suite que pour tout corpsKde degré fini surQ, son anneau des entiersOKvérifie

la propriété suivante : tout idéal non nul deOKs"écrit comme produit d"idéaux premiers, de manière

unique à l"ordre près des facteurs.

Dans ce contexte, on dit que deux idéauxIetJsontpremiers entre euxs"ils n"ont pas d"idéal premier

en commun dans leur décomposition en produit d"idéaux premiers.

L"anneauZ[]qui est, d"après les résultats de la PartieIII, l"anneau des entiers deK=Q()vérifie

donc cette propriété de factorisation de ses idéaux. On suppose dans cette partie quep >3est un nombre premierrégulier, ce qui signifie que siIest

un idéal deZ[]tel queIpest principal, alorsIest lui même principal. On rappelle que l"on a noté

= 1et que certaines propriétés de l"idéalhiont été étudiées en PartieIII, question 5.

On démontre dans cette partie que l"équation x p+yp+zp= 0(2) n"admet pas de solutions entières non triviales dans le cas oùp-xyz. Par l"absurde, on se donne trois entiersx;y;z2Zdeux à deux premiers entre eux dansZ, tels que p-xyzet qui vérifient l"équation (2).? 1.quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18