Chap1 : OUTILS MATHEMATIQUES GLISSEURS & TORSEURS

4) Exercice : caractérisation des vecteurs orthogonaux Soit deux vecteurs⃗AB et⃗AC de directions perpendiculaires (on dit alors que ces vecteurs sont orthogonaux), de coordonnées respectives (x ; y) et (x' ; y') a) Exprimer le vecteur⃗BC en fonction de⃗AB et de⃗AC b) Calculer les coordonnées de⃗BC

Fiche sur le produit scalaire dans le plan

III Vecteurs orthogonaux 1°) Définition On dit que deux vecteurs u et v de V sont orthogonaux (on note u v ) pour exprimer que : soit u et v sont non nuls et ; 2 u v soit u 0 ou v 0 2°) Propriété u v si et seulement si u v 0 3°) Lieux d’orthogonalité de référence dans le plan

Chapitre 5 Calcul Vectoriel

V – Norme d’un vecteur – Vecteurs orthogonaux 1 – Norme d’un vecteur a - Définition Soient A un point du plan, ???????? ⃗ un vecteur et soit B le point tel que ???????? ⃗= ???????????????? ⃗ On appelle norme du vecteur ???????? ⃗ le réel noté ‖???????? ⃗‖ et qui est égal à la distance AB

PRODUIT SCALAIRE de lespace

1) Le produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace 2) Vecteurs orthogonaux 3) Produit scalaire et norme 4) repère orthonormé de l’espace base orthonormé de l’espace 5) analytique du produit scalaire dans l'espace 6) L'ensemble des points dans l'espace tq : u AM k

Exercices corrigés - AlloSchool

Chap1 : OUTILS MATHEMATIQUES GLISSEURS & TORSEURS

o Les deux vecteurs sont orthogonaux 3 2 Calcul pratique d'un produit scalaire : Si on définit l’angle (X, Y), alors X Y X Y Cos Calculs sur les vecteurs d'une base orthonormée directe: i j j k k i 0; i i j j k k 1 4 Produit Vectoriel : X,Y X Y Par définition, le produit vectoriel de 2 vecteurs et noté X Y

Chapitre 6 PRODUIT SCALAIRE 1 STI2D spé

Propriété Soit ⃗ , et ⃗⃗ trois vecteurs Soit ???? un réel Définition Soit ⃗ et deux vecteurs non nuls Dire que ⃗ et sont orthogonaux signifie que, si ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ , les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires

Ch 11 Produit scalaire et applications 1 S 1

♠ Exercice 3 L'ordre des vecteurs est-il important quand on calcule leur produit scalaire? Autrement dit, u⋅ v et v⋅ usont-ils égaux quels que soient les vecteurs ⃗u et⃗v? C Le produit scalaire permet de caractériser les vecteurs orthogonaux ♠ Exercice 4 Déterminer tous les cas où u⋅ v=0

Produit scalaire dans lespace

produit scalaire de deux vecteurs non nuls sera nul lorsque le cosinus de l'angle des deux vecteurs sera nuls donc lorsqu'ils formeront un angle de modulo Fondamental : Produit scalaire et orthogonalité Les vecteurs non nuls et sont orthogonaux si et seulement si Notion de produit scalaire dans l'espace I

[PDF] rapport jury agregation externe eps 2017

[PDF] siac2

[PDF] prouver que deux droites sont perpendiculaires dans un repère orthonormé

[PDF] sujet agregation espagnol 2016

[PDF] rapport jury agrégation interne espagnol 2017

[PDF] figure hybride définition

[PDF] rapport jury agrégation interne espagnol 2011

[PDF] l'attachement définition

[PDF] caregiving définition

[PDF] rapport jury capes interne anglais 2015

[PDF] définition attachement bowlby

[PDF] rapport de jury capes interne anglais 2016

[PDF] représentation paramétrique d'une droite intersection de deux plans

[PDF] 4 types d'attachement

[PDF] bowlby attachement et perte pdf

Statique et Cinématique des solides 2015-2016 Chapitre 1

ISET De Sousse 1

Chap.1 : OUTILS MATHEMATIQUES

GLISSEURS & TORSEURS

L'objectif de ce chapitre est de donner brièvement les outils mathématiques nécessaires à

la compréhension de la suite de ce cours et donner des notions sur les glisseurs et les torseurs.

I. VECTEURS : ............................................................................................................................ 2

II. OPERATIONS SUR LES VECTEURS : ................................................................................... 2

Addition : .............................................................................................................................. 2

Multiplication par un réel : ....................................................................................................... 2

Produit Scalaire : .............................................................................................................. 3

Produit Vectoriel : ................................................................................................................... 3

III. CHANGEMENT DE BASE ................................................................................................... 6

IV. NOTIONS SUR LES TORSEURS ......................................................................................... 8

V. Exercices : .............................................................................................................................. 11

Statique et Cinématique des solides 2015-2016 Chapitre 1

ISET De Sousse 2

I. VECTEURS :

On associe au couple ordonnée de points (A,B) de 2E un élément EAB définissant un vecteur libre.

Géométrique Analytique

Caracteristiques

B * Direction.

A X * Sens. * Module ou norme. kjiB,, X dans la base B est : 3 2 1

321xxxkxjxixX

321,,xxx

: sont les composantes de X

II. OPERATIONS SUR LES VECTEURS :

L'objectif est de voir de façon élémentaire certaines opérations sur les vecteurs.

1. Addition :

YXYXo,

2. Multiplication par un réel :

XXOo,

Géométrique Analytique

* Même direction que X X * Sens : - même si 0 - opposé si 0% XXO 3 2 1

321xxxkxjxixX

B 3 2 1

321xxxkxjxixX

BOOOOOO

Géométrique Analytique

X Y Y X XY 3 2 1

321xxxkxjxixX

B 3 2 1

321yyykyjyiyY

B 33
22
11

332211)()()(yxyxyxkyxjyxiyxYX

B Statique et Cinématique des solides 2015-2016 Chapitre 1

ISET De Sousse 3

3. Produit Scalaire :

YXYX.,

Par définition, le produit scalaire de 2 vecteurs X et Y noté YX est égale

CosYX..

Dans une base orthonormée directe

kji,, si kxjxixX321 et kyjyiyY321 alors on aura :

332211....yxyxyxYX

NB : Le résultat du produit scalaire de deux vecteurs est un SCALAIRE.

3.1 . Propriétés:

Commutativité:

uYXXY

Distributivité à droite et à gauche:

ZXYXZYX..)(.

ZYZXZYX...)(

Multiplication par un réel:

).(.).().(.YXYXYXOO

Normes:

232221.xxxXXX

Cas de nullité :

o Un des vecteurs est nul. o Les deux vecteurs sont orthogonaux

3.2 . Calcul pratique d'un produit scalaire :

),(YXT , alors

CosYXYX..u

Calculs sur les vecteurs d'une base orthonormée directe:

0... ikkjji

1... kkjjii

4. Produit Vectoriel :

YXYXo,

Par définition, le produit vectoriel de 2 vecteurs X et Y noté YX est égale Z tel que : Sa direction est perpendiculaire au plan formé par X et Y

Son sens est celui de la rotation de

X vers Y (sens de tire-bouchon)

Sa norme

X et Y ),(YXT Statique et Cinématique des solides 2015-2016 Chapitre 1

ISET De Sousse 4

Géométrique Analytique

est perpendiculaire à X et Y X Y Z et directe Z Y X Y ZAire Z X Z est X et Y 3 2 1

321xxxkxjxixX

B 3 2 1

321yyykyjyiyY

B 22
11 33
11 33
22
33
22
11 yx yx yx yx yx yx yxyxyxYX

Rappel : Le déterminant

cbaddbca

Dans une base

kji,, , si kxjxixX321 et kyjyiyY321 , alors on aura :

4.1. Méthode de calcul :

Calcul à effectuer :

3 2 1 xxx 3 2 1 yyy Première composante : On barre la première ligne et on calcule le déterminant restant : 3 2 1 xxx 3 2 1 yyy

233233

22yxyxyx

yx 3 2 1 xxx 3 2 1 yyy

2332yxyx

Deuxième composante : On barre la deuxième ligne et on calcule l'opposé du déterminant restant :

3 2 1 xxx 3 2 1 yyy )(133133

11yxyxyx

yx 3 2 1 xxx 3 2 1 yyy 3113

2332yxyxyxyx

Troisième composante : On barre la troisième ligne et on calcule le déterminant restant : 3 2 1 xxx 3 2 1 yyy

122122

11yxyxyx

yx 3 2 1 xxx 3 2 1 yyy 1221
3113
2332
yxyxyxyxyxyx Statique et Cinématique des solides 2015-2016 Chapitre 1

ISET De Sousse 5

kji kji

Remarque :

Le résultat du produit vectoriel de deux vecteurs est un VECTEUR perpendiculaire aux deux vecteurs.

4.2. Propriétés :

Anti-commutativité :

Distributivité à droite et à gauche :

Multiplication par un réel :

Cas de nullité :

o Un des vecteurs est nul. o Les deux vecteurs ont même direction

4.3. Calcul pratique du produit vectoriel :

Si on définit

),(YXT , alors et ),,(ZYX forme un trièdre direct, quelque soit le point O. O Calculs sur les vecteurs d'une base orthonormée directe :

Méthode pratique : on écrit 2 fois la base,

4.4. Si zyx,, sont les vecteurs unitai

On donne :

1111,,zyxV

2222,,zyxV

3333,,zyxV

1 - Calculer

21VV
puis 12VV

2 - Calculer

11VV

3 - Calculer

21.3.2VV

4 - Calculer

puis . Comparer les résultats. Statique et Cinématique des solides 2015-2016 Chapitre 1

ISET De Sousse 6

5. Produit Mixte :

Le résultat du produit mixte de trois vecteurs

),,(ZYX est un SCALAIRE a ) est égale au volume du parallélépipède formé par ces vecteurs.

Propriétés :

si l'un des vecteurs est une combinaison linéaire des deux autres.

III. CHANGEMENT DE BASE

Soient deux bases orthonormées directes

),,(0000kjib ),,(1111kjib et telles que 01kk

1. Projection des vecteurs de bases :

Si on exprime les vecteurs de la base

),,(1111kjib dans ),,(0000kjib , on obtient :

001jSiniCosiT

001jCosiSinjT

01kk Inversement, si on exprime les vecteurs de la base ),,(0000kjib dans ),,(1111kjib , on obtient :

110jSiniCosiT

110jCosiSinjT

10kk

2. Changements de bases d'un vecteur quelconque :

Soit

1),,(bcbaU

un vecteur exprimé dans la base ),,(1111kjib

L'expression de

U dans la base ),,(0000kjib sera : 111kcjbiaU)(00jSiniCosaT)(00jCosiSinbT
0kc Statique et Cinématique des solides 2015-2016 Chapitre 1

ISET De Sousse 7

000)()(kcjCosbSinaiSinbCosaU TTTT

0),,(bcCosbSinaSinbCosaUTTT

3. Soit un espace vectoriel muni d'un repère orthonormé kjiO,,,

A/ Soit un repère fixe

),,,(0000zyxOR , Soient des repères mobiles ),,,(1111zyxOR ),,,(2222zyxOR

On note :

10,xxD10,yy

21,xxE21,zz

1- Faire des représentations planes permettant de visualiser chaque changement de base ?

2- Déterminer les expressions des vecteurs de la base

2b exprimés dans 1b

3- Déterminer les expressions des vecteurs de la base

0b exprimés dans 1b

4- Déterminer directement les produits scalaires:

21xx
21zx
21xz

5- Déterminer directement les produits vectoriels :

21zz
21zy
21yz

B/ Soit les vecteurs

1,4,3A

3,6,2B

2,1,5C

5,4,1D

1- Calculez les produits scalaires :

.AB .AC .AD .CB .BD et .CD

2- Calculez les produits vectoriels:

AB AC AD CB BD et CD

C/ Soit deux vecteurs

u et v tels que: 2u et ,4iuD 4v et

5,4ivE

3w et

3,4iwG

1- Représentez les vecteurs dans le plan

,,O i j

2- Calculez les coordonnées cartésiennes de

u v et w dans la base ,,i j k

3- Calculez directement (en utilisant la formule de calcul pratique) :

.uv .uw et .vw

4- Calculez directement (en utilisant la formule de calcul pratique) :

uv uw et vw Statique et Cinématique des solides 2015-2016 Chapitre 1

ISET De Sousse 8

IV. NOTIONS SUR LES TORSEURS

Afin de simplifier la présentation des calculs sur les vecteurs ou ensemble de vecteurs (représentant

des forces, des vitesses...) et leurs moments (tels que les moments de force bien connus), nous allons

présenter un formalisme simple permettant de manipuler ces grandeurs : il s'agit de la notion de torseur, que nous allons présenter à partir de l'exemple d'un ensemble de forces.

Bien que cette formulation ne soit pas indispensable pour présenter la mécanique générale, nous

l'utiliserons fréquemment dans la suite du cours. Nous pensons en effet que cette présentation permet

d'alléger la formulation des équations et de donner une certaine unité à la présentation des principaux

résultats.

1. Torseurs :

Par définition un torseur est un champ de vecteurs antisymétrique.

Pour définir un torseur

en un point A, il suffit de préciser :

¾ Le vecteur

R : Appelé résultante du torseur.quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

[PDF] Chap1 : OUTILS MATHEMATIQUES GLISSEURS & TORSEURS

ISET De Sousse 1

Chap.1 : OUTILS MATHEMATIQUES

GLISSEURS & TORSEURS

ISET De Sousse 2

I. VECTEURS :

Géométrique Analytique

Caracteristiques

B * Direction.

321xxxkxjxixX

321,,xxx

II. OPERATIONS SUR LES VECTEURS :

1. Addition :

YXYXo,

2. Multiplication par un réel :

Géométrique Analytique

321xxxkxjxixX

321xxxkxjxixX

BOOOOOO

Géométrique Analytique

321xxxkxjxixX

321yyykyjyiyY

332211)()()(yxyxyxkyxjyxiyxYX

ISET De Sousse 3

3. Produit Scalaire :

YXYX.,

CosYX..

Dans une base orthonormée directe

332211....yxyxyxYX

3.1 . Propriétés:

Commutativité:

Distributivité à droite et à gauche:

ZXYXZYX..)(.

ZYZXZYX...)(

Multiplication par un réel:

Normes:

232221.xxxXXX

Cas de nullité :

3.2 . Calcul pratique d'un produit scalaire :

CosYXYX..u

0... ikkjji

1... kkjjii

4. Produit Vectoriel :

YXYXo,

 Son sens est celui de la rotation de

 Sa norme

ISET De Sousse 4

Géométrique Analytique

321xxxkxjxixX

321yyykyjyiyY

Rappel : Le déterminant

Dans une base

4.1. Méthode de calcul :

Calcul à effectuer :

233233

22yxyxyx

2332yxyx

11yxyxyx

2332yxyxyxyx

122122

11yxyxyx

ISET De Sousse 5

Remarque :

4.2. Propriétés :

Anti-commutativité :

Distributivité à droite et à gauche :

Multiplication par un réel :

Cas de nullité :

4.3. Calcul pratique du produit vectoriel :

Si on définit

Méthode pratique : on écrit 2 fois la base,

On donne :

1111,,zyxV

2222,,zyxV

3333,,zyxV

1 - Calculer

2 - Calculer

3 - Calculer

21.3.2VV

4 - Calculer

Son sens est celui de la rotation de

Sa norme