Chapitre 16 : Espaces vectoriels

1 Montrer que k· kp est une norme pour p∈ [1,∞] 2 Montrer que pour tout f∈ E,kfkp → kfk∞ quand p→ +∞ Solution 1 C’est exactement la mˆeme preuve que dans l’exercice pr´ec´edent : toutes les propri´et´es sont ´evidentes sauf l’in´egalit´e triangulaire pour p∈ [1,+∞[ En utilisant l’exercice pr´ec´edent

Algèbre linéaire 1 - PSI Fabert

1- Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : a) p+qest un projecteur b) p oq+q op= 0 c) p oq= q op= 0 2- On suppose que p+qest un projecteur a) Montrer que Im (p)∩ Im (q) = {0} et que kerp+kerq= E b) Préciser les caractéristiques du projecteur p+q SOLUTION : 1- pet qsont des projecteurs, donc p op= p et q oq= q

TD 23 Applications linéaires - heb3org

Montrer que si p est la projection sur F et parallèlement à G, alors s = 2p − id E est la symétrie par rapport à F et parallèlement à G Exercice 20 : [corrigé] Pour P ∈ R4[X], on posef(P) = (1−X)P(0)+XP(1) Montrer que f est un endomorphismeet déterminer f f Que peut-on en déduire? Trouver les éléments caractéristiques de f 4

ISYMETRIES´

a) Montrer que gpg−1 est un projecteur que l’on pr´ecisera b) A quelle condition` get pcommutent-ils ? Etudier le cas particulier o`´ u gest une sym´etrie hyperplane 4 Sommedeprojecteurs a) Soient pet qdeux projecteurs Montrer que p+qest un projecteur si et seulement si on a pq= qp=0 ¶ b) Soient p 1,···,p r des projecteurs

Polynômes

Montrer que le polynôme P0 ¯aP est scindé sur R Exercice 36 : On considère pour n 2N le polynôme Pn ˘[(X2 ¡1)n](n) 1 Calculer le degré et le coefﬁcient dominant de Pn 2 Montrer que Pn est scindé à racines simples sur R Exercice 37 : Soit P 2C[X] non constant dont les racines complexes sont de parties imaginaires positives ou

TD 13 Calcul matriciel - heb3org

(Q 1) Montrer que A = 0 a b 0 0 c 0 0 0 est nilpotente (Q 2) Montrer qu’une matrice nilpotente ne peut être inversible Exercice 13 : (Q 1) Soit M ∈ Mn(K) On supposequ’il existe p ∈ N∗ tel que Mp =0 Calculer (In −M) pP−1 k=0 Mk (Q 2) En déduire que In −M est inversible et déterminer son inverse

L3 Alg ebre Exercices Polyn^omes irr eductibles et

Montrer que X4 + 1 est r eductible dans F p[X]: e) Soit pun nombre premier tel que 2 ou 2 est un carr e dans F p, trouver un tel p:Montrer que X4 + 1 est r eductible