I Polynômes et nombres de Bernoulli

I.A -

I.A.1)Si on aP=Q+avecQ2H, alors,Z

1 0

P(x)dx=Z

1 0

Q(x)dx+=,

ce qui nous donne la valeur deet celle deQ=PZ 1 0

P(x)dx.

Réciproquement, si on poseQ=PZ

1 0

P(x)dx,

alorsP=Q+R1

0P(x)dxetZ

1 0

Q(x)dx=Z

1 0

P(x)dxZ

1 0

P(x)dx= 0, doncQ2H.

On a bien un seul couple(Q;)2Hqui répond à la question.

De plus,Q=PZ

1 0

P(x)dxet=Z

1 0

P(x)dx.

I.A.2)On prend un polynôme quelconqueR,Pune primitive quelconque, qui est aussi un poly- nôme, puisQle polynôme associé àPcomme dans la question précédente. On aQ2HetQ0=P0=R, on a bienQun polynôme deHprimitive du polynômeR.

Dest bien surjectif.

I.A.3)Dest bien injectif puisqueP0=Q0entraîneP=Q+k, mais commeZ 1 0

P(x)dx=Z

1 0 Q(x)dx+kou encore0 = 0 +k, c"est à direk= 0etP=Q.

Dest bien un isomorphisme.

I.A.4)a)Qest bien un polynôme!

ConsidéronsRla primitive dePqui s"annule en0.

AlorsQ(x) =R(x) +Z

1 0 (t1)P(t)dt. On fait une intégration par parties dans cette dernière intégrale,

Q(x) =R(x) +[(t1)R(t)]10Z

1 0

R(t)dt=R(x)Z

1 0

R(t)dt

On vérifie alors facilement

Z 1 0 Q(x)dx= 0, comme dans la toute première question.

On a bienQ2H.

b)D"une façon beaucoup plus élémentaire,Q0(x) =P(x), doncQ='(P). I.B - I.B.1)On aB1='(B0), une primitive deB0estX, doncB1(x) =xZ 1 0 xdx=x12 B 1=X12 .- Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing -http://c.caignaert.free.fr-

2Centrale - TSI -2014-1On aB2='(B1), une primitive deB1estX2X2

doncB1(x) =x2x2 Z 1 0x 2x2 dx=x2x2 +112
B 2=12 X212 X+112

I.B.2)

I.C - I.C.1)C0n+1(x) = (1)n+1(1)B0n+1(1x) = (1)nBn(1x) =Cn(x),

I.C.2)Cnest clairement un polynôme.

Pour montrer queCn+1='(Cn), il suffit de montrer queC(n+ 1)est d"intégrale bulle entre0 et1.Z1 0

Cn+1(x)dx=Z

1 0 (1)n+1Bn+1(1x)dx=Z 1 0 (1)n+1Bn+1(u)du= 0, en posant :u= 1x. I.C.3)Remarquons queC0=B0= 1, donc, par récurrence très facile,Cn=Bnà tous les rangs. Donc :Cn(x) =Bn(1x) = (1)nBn(x), ce qui est le résultat demandé. I.C.4)On applique la relation précédente avec2n+ 1à la place den, et,x= 0. On a :B2n+1(1) = (1)2n+1B2n+1(0) =B2n+1(0), mais,B2n+1(0) =B2n+1(1)pourn>1. On en déduit dans ce cas là :B2n+1(0) =B2n+1(1) = 0.

I.D -On représente un polynôme par la liste de ses coefficients suivants les puissance croissantes.

La première procédure calcule le suivant dans la suite des polynômes de Bernoulli.

On démarre avec une constante nulle, et, à chaque fois qu"on ajoute un monôme, on enlève à la

constante son intégrale entre0et1.

Calcul du suivantdefSuivant(P):Q=[0]

foriinrange(len(P)):Q.append(P[i]/(i+1))

Q[0]=Q[0]-Q[-1]/(i+2)

returnQLa seconde procédure calcule len-ème polynôme de Bernoulli Calcul des polynômes de BernoullidefB(n):# ne convient pas pour n=0P=[1] foriinrange(n):P=Suivant(P) returnPLa dernière procédure calcule sa valeur pour une valeur dex.

Calcul deBn(x)defbern(n,x):ifn==0:return1P=B(n)

Result=0

foriinrange(len(P)):Result=Result+P[i]

*x**ireturnResult- Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing -http://c.caignaert.free.fr-

Centrale - TSI -2014-13II Développement de Fourier

II.A -

II.A.1)B2a un minimum enx=12

Le graphe demandé :0112

II.A.2)On aB2(x) =12

x212 x+112 PourB

2, la continuité est assurée par le fait queB2(0) =B2(1) =112

La dérivée à gauche en1n"est pas la dérivée à droite en0, on n"a donc pas la classeC1.

Mais ces dérivées existent et sur[0;1],B2est de classeC1.

On a doncB

2de classeC1par morceaux.

II.A.3)Par contre,B

1n"est pas continue carB1(0),B1(1).

II.B -

II.B.1)Pest de classeC1, puisque c"est un polynôme! Par construction,Pest donc de classeC1par morceaux! Le problème de la continuité dePprovient de la continuité en0, ou en1exclusivement. On aura cette continuité si et seulement siP(0) =P(1). II.B.2)Pest donc de classeC1par morceaux, périodique de période1, donc sa série de Fourier converge en tout point. En un point oùPest continue, elle converge vers la valeur au point. En un point oùPest discontinue, elle converge vers la demi somme des limites à droite et à gauche au point. Compte tenu de la définition deP, celle ci vaut partout la demi somme de ses limites à droite et à gauche. Finalement, la série de Fourier dePconverge en tout point vers la valeur dePen ce point.

Les coefficients de Fourier sont :0=Z

0P(x)dx.

Pourk>1,k= 2Z

0P(x)cos(2kx)dx, et,k= 2Z

0P(x)sin(2kx)dx

II.C -Rappelons d"abord que pour tous les entiersPa la même valeur, à fortiori ici aussi.

Sixn"est pas un entier,B

2n(x) =B

2n(k+ 1x)aveck2tel quek+ 1x2]0;1[.

MaisB

2n(k+ 1x) =B2n(k+ 1x) = (1)2nB2n(xk) =B

2n(xk) =B

2n(x).

Finalement,B

2nest bien paire.

De plus, commeB2n(0) =B2n(1),B

2nest aussi continue sur.

II.D -

II.D.1)I0(n) =Z

1 0 B2n(x)dx= 0, puisque c"est un polynôme de Bernoulli pour un indice non nul.

II.D.2)On va partir deIk(n+ 1)et faire deux intégrations par parties successives en dérivant les

polynômes de Bernoulli. I k(n+ 1) =Z 1 0

B2n+2(x)cos(2kx)dx="

2n+2(x)sin(2kx)2k#

1 0 Z 1 0

B2n+1(x)sin(2kx)2kdx

=Z 1 0

B2n+1(x)sin(2kx)2kdx="

2n+1(x)cos(2kx)(2k)2#

1 0 Z 1 0

B2n(x)cos(2kx)(2k)2dx- Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing -http://c.caignaert.free.fr-

4Centrale - TSI -2014-1=Z

1 0

B2n(x)cos(2kx)(2k)2dx=Ik(n)(2k)2

II.D.3)Ik(1) =Z

1 0

B2(x)cos(2kx)dx=Z

1 0

B1(x)sin(2kx)2kdx

1(x)cos(2kx)(2k)2#

1 0 Z 1 0

B0(x)cos(2kx)(2k)2dx=1(2k)2Z

0cos(2kx)(2k)2dx=1(2k)2

II.D.4)Compte tenu de la relation de récurrence et de la condition initiale qu"on vient d"établir, on

montre facilement que :Ik(n) = (1)n11(2k)2n, pourketndans.

Compte tenu de la continuité, sur[0;1],B

2n=B2n.

Compte tenu de la parité,k= 0. De plus,0= 0.

Enfin, pourk,0,k= 2Ik(n).

Ce qui donne finalement pourx2[0;1]:B2n(x) = 2(1)n1+1P k=11(2k)2ncos(2kx).

II.D.5)On réécrit :B2n(x) = 2(1)n11(2)2n+1P

k=11k

2ncos(2kx).

Ce qui donne pourx= 0:B2n(0) =b2n= 2(1)n11(2)2n+1P k=11k 2n. Ce qui prouve d"ailleurs que cette série converge, mais plus simplement, c"est une série de

Riemann avec un exposant2n >1.

Reprenons :b2n= 2(1)n11(2)2nS2n, ce qui donne bien :S2n=(1)n12 (2)2nb2n.

II.D.6)S2=12

(2)2b2= 22112 =26

III La formule d"Euler - Mac Laurin

III.A -Comme dans la partie précédente, on va procéder à une double intégration par parties en dérivant

le polynôme de Bernoulli. On utilisera :B2n(0) =B2n(1) =b2n, et aussi :B2n1(0) =B2n1(1) = 0. J n=Z 1 0

B2n(x)f(2n)(x)dx=hB2n(x)f(2n1)(x)i1

0Z 1 0

B2n1(x)f(2n1)(x)dx

0+Z 1 0

B2n2(x)f(2n2)(x)dx

=b2nf(2n1)(1)f(2n1)(0)+Jn1.

III.B -On va écrire :Z

1 0 f(x)dx=Z 1 0 B0(x)f(x)dx, puis intégrer par parties en primitivant cette fois ci le polynôme de Bernoulli.

On utilisera :B1(1) =12

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