Fonctions injectives, surjectives et bijectives
= +1 / 2 ⁵ 1 / 5 ³ + 3 ² − 1 Fonctions injectives, surjectives et bijectives Injection Définition Une fonction g est dite injective si et seulement si tout réel de l’image correspond au plus à un seul réel du
Applications injectives, surjectives et bijectives
On en déduit que g f est surjective 6 4°) Propriété Soit f: E F et g: F G deux applications Si g f: E G est surjective, alors g est surjective Démonstration : Soit z G Démontrons qu’il existe y dans F tel que g y z On sait que g f est surjective Donc il existe x E tel que g f x z
EXERCICES D’APPLICATIONS IJECTIVES, SURJECTIVES,BIJECTIVES
est injective 4)-On suppose que gof est surjective Montrer que f est surjective 5)-On suppose que gof et g sont bijective Peut-on d eduire que f est bijective Exercice 6 : Soient un ensemble E et f une application de E dans E On d e nie par r ecurrence sur n fn par f1 = f et fn = fofn 1 1)- On suppose que f est injective Montrer que,
INJECTIVE, SURJECTIVE AND INVERTIBLE
1 in every column, then A is injective If A red has a column without a leading 1 in it, then A is not injective Invertible maps If a map is both injective and surjective, it is called invertible This means, for every v in R‘, there is exactly one solution to Au = v So we can make a map back in the other direction, taking v to u
Injection, surjection, bijection
Bilan f est injective, non surjective et donc non bijective 2 Pour montrer que g est bijective deux méthodes sont possibles Première méthode : montrer que g est à la fois injective et surjective En effet soient n;n02Z tels que g(n) = g(n0) alors n+1 = n0+1 donc n = n0, alors g est injective Et g est surjective car chaque m 2Z admet un
I GENERALITES - AlloSchool
application : injective – surjective – bijective et la bijection r2ciproque : - 7 - page - 7 - NIVEAU : 1 SM APPLICATIONS
TD 9 Ensembles et applications - Mathématiques en ECS1
est bijective et d eterminer son application r eciproque 2 L’application g : R2R, d e nie par g(x;y) = 2x + y pour tout (x;y) 2R2, est-elle injective ou surjective? Exercice 21 Application d e nie sur l’ensemble des parties(*) 1 Soit E un ensemble et soit f une application de E dans E v eri ant f f = Id E (on dit alors que f est une
Ensembles et applications
L’application f n’est pas injective (en particulier non bijective) car f(1) = f(´1) et 1 ‰ ´1 L’unique antécédent L’unique antécédent de 0 par f est 0 et, puisque tout nombre complexe non nul admet deux racines carrées, tout élément z de C ‹ admet
Les applications - AlloSchool
Soit l’application f définie de ]−2,2[vers ℝpar : ( ) 4 2 x f x x = − 1 f est-elle injective ? surjective ? 2 soit g la restriction de f sur I =−]2,0] a) montrer que g est injective b) montrer que g est une bijection de I vers ℝ+et définir sa réciproque g −1 On considère l’application f définie sur ℝpar : () 1 x fx x
Ensembles et applications
2 Montrer que f est bijective, et déterminer son application réciproque Exercice 150 Soient E, F, G trois ensembles, f une application bijective de E dans F, g une application bijective de F dans G Montrer que l’application g ˝ f: E ÝÑ G est bijective, et déterminer son application réciproque en fonction des applications f´1 et g´1
[PDF] formule trigonométrique 3eme
[PDF] problèmes conduisant ? une modélisation par des fonctions.
[PDF] application des suites numériques dans la vie
[PDF] application des mathématiques ? d autres disciplines capes
[PDF] oral capes maths
[PDF] maths au quotidien college
[PDF] les maths au quotidien pdf
[PDF] application immédiate de la loi nouvelle
[PDF] l'application de la loi dans le temps dissertation
[PDF] histoire du nombre d or pdf
[PDF] le nombre d or histoire des arts
[PDF] principe de précaution définition
[PDF] etu.um5.ac.ma résultats
[PDF] fsjes souissi emploi du temps
1 Applications injectives, surjectives et bijectives
I. Généralités
1°) Définition 1 (fonction)
Une fonction notée f d'un ensemble E vers un ensemble F permet d'associer à tout élément de E 0 ou 1
élément de F.
Lorsque l'on peut associer à un élément x de E un élément y de F par la fonction f, cet élément (unique) est
appelé l'image de x par f. On le note fx.2°) Exemple
On considère la fonction f : .
x 1 x0 n'a pas d'image par f et tous les réels non nuls ont une image.
Vocabulaire
Soit f une fonction de E dans F.
E est appelé l'ensemble de départ ; F est appelé l'ensemble d'arrivée.3°) Définition 2 (application)
Une application f de E dans F est une fonction de E dans F tel que tout élément de E a une unique image dans
F (forcément unique).
Exemple :
f : * x 1 x 24°) Ensemble de définition
Définition
Soit f une fonction de E dans F.
On appelle ensemble de définition de f, l'ensemble noté D des éléments de E qui ont une image par f.
Propriété
La restriction d'une fonction f à D définit une application de D dans F.5°) Vocabulaire
Soit f une fonction de E dans F.
E est appelé l'ensemble de départ ; F est appelé l'ensemble d'arrivée.6°) Composition
Définition
Soit f une fonction de E dans F et g une fonction de F dans G. On appelle composée de f suivie de g la fonction notée gfde E dans G définie par gfxgfx. Propriété fondamentale (" associativité » de la composition des applications) : Étant données 3 applications f, g, h (f : E F, g : F G, h : G H), on a : fghfgh.La démonstration est quasiment évidente.
Du coup, il est licite d'écrire cette égalité sans parenthèses.7°) Application identité
Définition
On appelle application identité d'un ensemble E l'application de E dans E notée idE définie par idExx.
3Propriété :
Soit f une application de E dans F.
On a : idEff et idFff.
II. Applications injectives
1°) Définition
Soit f une application de E dans F.
On dit que f est une injection pour exprimer que : pour tout couple ,'xx d'éléments de E, 'fxfx 'xx. 'xx 'fxfxOn dit aussi que f est injective.
Remarques :
f est une injection signifie que 2 éléments distincts de E ont 2 images différentes.L'implication pourrait être une équivalence mais seule l'implication est vraiment intéressante.
Application non injective
f : E F f n'est pas injective s'il existe 2,'xxE tel que 'xx et 'fxfx.2°) Exemple et contre-exemple
f : est une injection. x 3x f : n'est pas une injection. x 2x 43°) Propriété
Si f et g sont deux injections, alors gf est une injection. f : E F et g : F G gf: E G La composée de deux injections est une injection.Démonstration :
Soit 2,'xxE tel que 'gfxgfx.
Démontrons que l'on a : 'xx.
On a 'gfxgfx.
g est injective d'où 'fxfx.Or f est injective.
Donc 'xx.
Donc gf est une injection.
4°) Propriété
Soit f et g deux applications.
Si gf est injective alors f est injective.
Démonstration :
Soit 2,'xxE tel que 'fxfx.
D'où 'gfxgfx.
Or gf est injective.
Donc 'xx.
5III. Surjection
1°) Définition
f : E FOn dit que f est une surjection pour exprimer que quelque soit y dans F, il existe x dans E tel que fxy.
On dit aussi que f est surjective.
Remarque :
" L'ensemble d'arrivée est de toute première importance ».2°) Exemple et contre-exemple
f : n'est pas une surjection. x 2x g : est une surjection. x 2x3°) Propriété :
Soit f : E F et g : F G deux applications.
Si f et g sont surjectives, alors gf : E G est surjective.Démonstration :
Soit zG.
Démontrons qu'il existe xE tel que gfxz.
g est surjective donc il existe yF tel que gyz. f est surjective donc il existe xE tel que fxy.Par suite, gfxz.
On en déduit que gf est surjective
64°) Propriété
Soit f : E F et g : F G deux applications.
Si gf : E G est surjective, alors g est surjective.Démonstration :
Soit zG.
Démontrons qu'il existe y dans F tel que gyz.
On sait que gf est surjective. Donc il existe xE tel que gfxz.On pose yfx.
On a alors gyz.
Donc quelque soit zG, il existe yF tel que gyz.
Donc g est surjective.
IV. Applications bijectives
1°) Définition
Soit f une application de E dans F.
On dit que f est une bijection pour exprimer que f est à la fois une injection et une surjection, ce qui se traduit
par : quel que soit y dans F il existe un unique xF tel que fxy.2°) Exemple
f : x 3x est une bijection de dans . La bijection réciproque est l'application g : x 3x (voir plus loin).3°) Propriété
Si f et g sont deux bijections de E dans F et de F dans G alors gf est une bijection. 74°) Démonstration
La composée de deux injections est une injection. La composée de deux surjections est une surjection.5°) Définition de la bijection réciproque
Soit f une bijection de E dans F.
On appelle bijection réciproque de f l'application notée 1gf de F dans E qui à tout élément y de F
associe l'unique élément x de E tel que fxy.6°) Propriété
Même hypothèse que 5°).
1idFff
1idEff
7°) Propriété
f : E F est une bijection de E dans F si et seulement si il existe une application g : F E telle que
idEgf et idFfg.