Trigonométrie dans le cercle
1 ANGLES DANS UN CERCLE b O b 0 b π 6 b π 4 b π 3 b π 2 2π 3 b 3π 4 5π b 6 b π b-π 6 b-π 4 b-πb 3-π2 b-2π3 b-3π4-5π b6 Propriété 1 : Un même angle α peut avoir plusieurs mesures Si un angle α, repéré par le point M sur le cercle trigonométrique, a comme me-
Trigonométrie dans le cercle - lyceedadultesfr
pourra utiliser éventuellement un cercle trigonométrique) a) sin − π 3 b) cos 5π 6 c) tan 3π 4 d) sin 2π 3 e) cos − 3π 4 f) cos 19π 3 g) sin 7π 4 h) tan 25π 6 Équations et inéquations trigonométriques EXERCICE 11 À l’aide d’un cercle trigonométrique, résoudre dans ]− π; π]les équations sui-vantes : PAUL MILAN 2
TRIGONOMÉTRIE - Maths & tiques
2) Cercle trigonométrique Définition : Sur un cercle, on appelle sens direct, sens positif ou sens trigonométrique le sens contraire des aiguilles d’une montre Définition : Dans le plan muni d’un repère orthonormé O;i;j () et orienté dans le sens direct, le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1
Trigonométrie
coordonnées d'un point du cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1 Ces coordonnées sont donc nécessairement comprises entre -1 et 1 2 La seconde propriété découle de l'utilisation du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OHM, sachant que 3 Pour la dernière propriété, on
Cours Trigonometrie 2nde - Maths Stan
Remarque : Dans la définition précédente, [2π] remplace 2 dans la somme kπ π π 2k 2 + et se lit modulo 2 π Théorème 2:Soit M un point d’un cercle trigonométrique C, de centre O, associé à un repère (O i; , j) tel que (OI ,OM )=x [2π], alors les coordonnées du point M sont données par M(cos x,sin x) Démonstration :
Chap 2 - Trigonométrie
II 2 Longueur d'un arc de cercle Dans le cercle trigonométrique, le rayon étant égal à 1, le périmètre autv 2ˇ C'est la longueur totale de l'arc que forme le cercle Il y a proportionnalité entre la longueur d'un arc de cercle et l'angle au centre qui l'intercepte : Angle au centre dans le cercle trigonométrique 360° (un tour complet)
Du cercle à lhyperbole : la trigonométrie hyperbolique
retrouver dans la plupart des manuels de géométrie [3] 2 2 La paramétrisation de l'hyperbole Le cercle unité C a pour équation x2 +y2 = 1, et à partir de celle-ci, on parvient à déterminer un angle qui paramétrise la courbe, ce qui signi e exprimer les coordon-
GÉOMÉTRIE Repérage sur le cercle 1 et trigonométrie
La longueur d’un cercle est donnée par la formule : L =2πr Pour le cercle trigonométrique, cette longueur est donc de 2π Le nombre π correspond à un parcours d’un demi-cercle dans le sens positif soit 180˚ Le nombre − π 2 correspond à un parcours d’un quart de cercle dans le sens négatif soit 90˚ Le nombre π 3
Notions de trajectoires orthodromique et loxodromique
La compréhension du comportement d'une orthodromie est simple dans la mesure ou l'on discute le positionnement d'un cercle dans une sphère La difficulté provient de la projection spatiale de ce cercle en trois dimensions La figure suivante met en évidence l'évolution de la latitude fonction de la longitude pour différents
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DERNIÈRE IMPRESSION LE28 août 2013 à 12:15
Trigonométrie dans le cercle
Table des matières
1 Angles dans un cercle2
1.1 Cercle trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Le radian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Angles dans le cercle trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Lignes trigonométriques5
2.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Tableau des angles remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Relations entre deux angles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.1 Angles opposés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.2 Angles suppléméntaires et opposés supplémentaires. . . . 6
2.3.3 Angles compléméntaires et opposés complémentaires. . . . 6
2.4 Lignes trigonométriques dans le cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Représentation des fonction sinus, cosinus et tangente8
PAULMILAN1 SECONDEB
1 ANGLES DANS UN CERCLE
1 Angles dans un cercle
1.1 Cercle trigonométrique
Définition 1 :On appelle cercle trigonométrique dans un repère orthogonal direct(O;-→ı;-→?), le cercle de centreOet de rayon 1. O 11 -1 -11.2 Le radian
Définition 2 :La radian est une unité de mesure d"un angle comme le degré. Il est défini comme la longueur de l"arc entre 2 points du cercle unité. Le demi cercle unité a un longueur deπet donc correspond à un angle deπ radian. On a alors : 180°=πrd 1 rd O 11 -1 -1La mesure en degré de 1 radian vaut
donc :1 rd=180
π?57°
Remarque :Le radian est une grande
unité qui n"est pas intuitive contraire- ment au degré qui est notre unité pre- mière.Avantage: Permet de connaître la lon-
gueur d"un arc. Unité du système inter- national Il est important de connaître les angles remarquables en radian:Degré30°45°60°90°
Radianπ
6 4 3 2PAULMILAN2 SECONDEB
1 ANGLES DANS UN CERCLE
Exemple :Convertir en radian les angles en degré suivants :15° , 36° , 75° , 120° , 135° , 150°
Pour convertir un angle en radian, on utilise la conversion 180°=πrd, soit pourx degré on a :xπ180radian.
On obtient alors :
Radianπ
12 5 5π 12 2π 3 3π 4 5π 6 Exemple :Convertir en degré les angles en radian suivant :8,7π12,5π18,11π6
Pour convertir un angle en degré, on utilise la conversion 180°=πrd, soit poury radian on a : y180πdegré.
Radianπ
8 7π 12 5π 1811π
6Degré22,5°105°50°330°
1.3 Angles dans le cercle trigonométrique
Définition 3 :La mesure d"un angleαrepéré par un pointMdans le cercle trigonométrique, est la valeur algébrique de la longueur de l"arcAMoùA(1;0) Le sens trigonométrique ou direct correspond au sens antihoraire. O 11 -1 -1M M"On a représenté deux anglesαetβdont
l"un est positifαet l"autre négatifβ.On remarquera que l"on a indiqué le
sens trigonométrique On peut noter les angles remarquables sur le cercle trigonométrique. Il est impor- tant de visualiser l"emplacement des angles pour s"en faire une idée.PAULMILAN3 SECONDEB
1 ANGLES DANS UN CERCLE
O?0 ?π6 π4 π3 π22π3
3π4
?5π6 ?-π6 ?-π4 -π3? -π2 -2π3 -3π4 ?-5π6 Propriété 1 :Un même angleαpeut avoir plusieurs mesures. Si un angleα, repéré par le pointMsur le cercle trigonométrique, a comme me- suresxety, alors on a la relation suivante : y=x+k2πou plus simplementy=x[2π]yégalxmodulo 2π Exemple :Soit deux mesures sur le cercle trigonométrique d"un même angle : O 11 -1 -1M xySur la figure ci-contre on a tracé deux
mesures d"un même angle repéré par un point M.Par exemplex=π
6ety=-11π6.
En effet :
6-? -11π6? =(1+11)π6=2π Définition 4 :On appellemesure principaled"un angleα, la mesurexqui se trouve dans l"intervelle]-π;π] Exemple :Trouver la mesure principale des angles dont les mesures sont :17π4 et-31π 6PAULMILAN4 SECONDEB
2 LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES
17π
4est un mesure trop grande, il faut donc lui enlever un nombrekde tours (2π)
pour obtenir la mesure principale :17π
4-k2π=π(17-8k)4=π4aveck=2
31π
6est une mesure trop petite, il faut donc lui rajouter un nombrekde tours
(2π) pour obtenir la mesure princimale :31π
6+k2π=π(-31+12k)6=5π6aveck=3
2 Lignes trigonométriques
2.1 Définitions
Définition 5 :Soit un angleαrepéré
par un point M sur le cercle trigonomé- trique. On appelle :cosα=OH projectiondeMsurl"axe
des abscissessinα=OK projection de M sur l"axe
des ordonnéestanα=AM" intersection de (OM)
avec la tangente en A cosα sinαtanα O? A? M M" H? KRemarque :Pour tout réelx, on a :
-1?cosx?1 et-1?sinx?12.2 Tableau des angles remarquables
Comme déjà vu dans le chapitre sur les configurations, voici le tableau à très bien connaître :Angle0π
6 4 3 2 sin01 2 ⎷2 2 ⎷3 21cos1 ⎷3 2 ⎷2 2 1 20 tan0 ⎷3