Relations d’équivalence
Voici également quelques exemples de relations qui ne sont pas d’équivalence 1 E= R et la relation est le fait d’être inférieur ou égal 2 E= R et la relation est le fait d’être à distance au plus 1 1 5 Exemple La relation triviale est celle où R= f(x;x);8x2Eg, autrement dit x˘ R yssi x= y, et
VIII Relations d’ordre et d’équivalence
VIII-RELATIONSD’ORDREETD’ÉQUIVALENCE Définition2 0 8 Si R est une relation d’équivalence sur E, on appelleensemblequotientdeE parR l’ensemble desclassesd’équivalences,notéE/R
Daniel ALIBERT Ensembles, applications Relations d
Soit E un ensemble, muni d'une relation d'équivalence R Pour tout élément x de E, on appelle classe d'équivalence de x et l'on note C(x) le sous-ensemble de E formé des éléments y tels que x R y soit vrai Ces éléments y sont dits équivalents à x Propriété Si x et y sont équivalents, alors C(x) = C(y), et la réciproque est vraie
Relations binaires Relations d’équivalence et d’ordre
2 RELATION D’ÉQUIVALENCE 2 Relation d’équivalence 2 1 Définition Définition 5 : Soit R une relation binaire sur E Onditque R estunerelationd’équivalencesur E si R estréflexive,symétrique et transitive Remarque : Une relation d’équivalence est notée parfois ∼ Une relation d’équivalence permet de mettre en relation des
CHAPITRE 3 : Relations d’équivalence et ensemble quotient
2 2 Représentant canonique et relation d’équivalence induite Dés qu’ils ont choisi une représentation des données A Les informaticiens définissent une fonction canon : A -> A qui à chaque élément a:A associe
Relation d’équivalence, relation d’ordre 1 Relation d’équivalence
Relation d’équivalence, relation d’ordre 1 Relation d’équivalence Exercice 1 Dans C on définit la relation R par : zRz0,jzj=jz0j: 1 Montrer que R est une relation d’équivalence 2 Déterminer la classe d’équivalence de chaque z2C Indication H Correction H Vidéo [000209] Exercice 2 Montrer que la relation R définie sur R par
1 Exemples simples de relations d’équivalence
Onconsidèrelarelationd’équivalence˘deEdansEpar: (a;b) ˘(c;d) ssiad bc= 0: 1 Prouvez que la relation ˘est une relation d’équivalence, et que l’ensemble quotient E=˘est en bijection avecl’ensembleQ desnombresrationnels 2 Prouvez que les opérations et sont compatibles avec ˘, et que leurs quotients sont les opérations d
Équivalence et Ordres
Soit A un ensemble et R une relation d’équivalence sur A On veut construire une application f de A/R dans X Comme pour les autres applications, si a=b alors f(a)=f(b) Comme a,b∈ A/R, a et b sont des classes d’equivalence Si on prend un représentant dans A de a (noté x) et un représentant dans A de b (noté y), on
Corrigé du TD no 7
1 Vérifionsquekestunerelationd’équivalence: (a) Réflexivité:unedroiteD estbienparallèleàelle-même (b) Symétrie:siD estparallèleàD0,alorsD0estparallèleàD (c) Transitivité:siD estparallèleàD 0,etsiD estparallèleàD 00,alorsD estparallèleàD 2 Soit E 0 l’ensemble des droites passant par l’origine Alors chaque classe
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