Mathématiques pour le traitement du signal

– tridimensionnels (3D) : il peut s’agir, soit d’images 3D (dans l’espace) dont la reconstruction et la description se font par exemple `a partir de projections st´er´eographiques ou tomographiques, soit d’une s´equence d’images 2D dans le temps (vid´eo) Dans le premier cas, la variable est une variable d’espace

Segmentation et Analyse dimages (partie 1)

-problèmes spéciﬁques de la segmentation 3D 2 Géométrie discrète appliquée à l’analyse d’image-courbes et surfaces / régions-algorithmes de suivi de frontière-représentation d’une partition 2D/3D-droites et plans discrets, algorithmes de reconnaissance-distances discrètes, transformée en distance, squelettisation

Au programme Vision par ordinateur: Introduction

Surtout 2D (ex : det ecter un biscuit def ectueux) Un peu 3D (ex : reconnaissance de visage) 3D trop di cile, requiert l'aide de la Vision 3D Chapitres 18-24 de Forsyth & Ponce Chapitres 10,11 de Trucco & Verri IFT 6141 Reconnaissance de formes (Jean Meunier) Disciplines connexes Photogramme trie Mesures exactesa partir d'images The mes :

Image Numérique - Deptinfo

SIGMA - gipsa-labfr

processing and analysis of 3D images The lab sessions (BE) associated to this course will allow the students to do some practice on the use of some of the techniques presented during the course Students will work in groups of two and are requested to submit a report detailing their work The cours will be taught in English

Curves and surfaces - sorbonne-universitefr

with images covering allS, is called anatlasofS ICS Summer school Roscoff - Visualization at the interfaces 28 7-8 8, 2014 7 Curves and surfaces: introduction Examples of surfaces EXAMPLE4 The mapf :R2 :R3, withf(u,v)=p+ua+vband is a surface patch describing the plane throughpin the directionsa,b

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La reconstruction 3D d’un patient à partir d’une image médicale TDM ou IRM est l’un des axes principaux de la recherche en traitement d’images médicales La majorité des systèmes permettent la reconstruction des structures anatomiques et pathologiques à partir de systèmes interactifs à quelques

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ELEN016-0 Traitement numérique des images Institut MONTEFIORE Service de Télécommunications et d’Imagerie Professeur Marc VAN DROOGENBROECK Septembre 2007 (version 4 80)

Électifs 11 - CentraleSupelec

Knowledge-based Object Extraction from Images Motion Analysis and Motion Estimation between successive frames (optical flow estimation) Tracking of moving objects in moving sequences (follow the same object and recover its trajectory) Tracking of 3D articulated Objects from 2D images

Outils Math´e matiques et utilisation de Matlab

de donn´ees sous forme de graphiques en 2D et 3D, ce qui nous simpliﬁera la tache pour de nombreux exercices par la suite Je ferai ´egalement quelques rappels de statistiques ´el´ementaires Enﬁn, ce chapitre se termine par la pr´esentation du produit matriciel et son utilisation

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[PDF] 3ème DM 3ème Mathématiques

Cours et exercices corrigés

Mathématiques

pour le traitement du signal

Maïtine Bergounioux

2 e

édition

© Dunod, 2010, 2014

5 rue Laromiguière, 75005 Paris

www.dunod.com

ISBN 978-2-10-071042-3

Illustration de couverture : © DigitalvisionLes auteurs et l"éditeur ne pourront être tenus responsables des éventuels

problèmes liés à l"utilisation des informations présentes dans ce livre. La série " Mathématiques pour le Master/SMAI » propose une nouvelle génération de livres adaptés aux étudiants de Master niveau M1 et aux élèves ingénieurs. Leur adéquation au cursus LMD et aux outils de calcul modernes sont au service de la qualité scienti?que. La SMAI (Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles) assure la direction

éditoriale grâce à un comité renouvelé périodiquement et largement représentatif

des différents thèmes des mathématiques appliquées et de leur évolution : analyse numérique, probabilités appliquées, statistique, optimisation, systèmes dynamiques et commande, traitement d"images et du signal, ?nance, recherche opérationnelle, etc. Son ambition est de constituer un ensemble d"ouvrages de référence.

Avant-propos

Ce cours est issu d"un enseignement donn´e au sein du MASTER de Math´emati-

ques d"Orl´eans ets"adresse `adesmath´ematiciens d´esireux de connaıtre lestechniques

de base de traitement du signal.A contrario, il peut aussi int´eresser des sp´ecialistes de traitement du signal qui souhaitent avoir un point de vue math´ematique sur les outils qu"ils utilisent fr´equemment. Cet ouvrage se veut donc une introduction `ala discipline plus qu"un ouvrage pointu destin´e`a des sp´ecialistes du domaine. Pour le lecteur qui souhaite en savoir davantage nous renvoyons `a la bibliographie qui per- met d"approfondir les diff´erents sujets. Nous avons souhait´e donner de nombreuses applications tout au long de l"ouvrage et proposons comme tout livre de !cours" qui se respecte quelques exercices ou sujets de travaux pratiques. Nous nous sommes volontairement plac´es dans un cadre unidimensionnel : les diff´erents concepts (no- tion de fr´equence, transformation de Fourier, transformation en ondelettes, etc.) sont g´en´eriques et plus faciles `apr´esenter dans ce contexte. Le cas des signaux bi-dimen- sionnels que sont les images sera abord´e dans [3] : les techniques contenues dans le pr´esent livre y seront adapt´ees et d"autres m´ethodes, plus sp´ecifiques au traitement d"image, largement d´evelopp´ees. Le signal unidimensionnel le plus accessible par excellence ´etant le signal sonore, nous avons consacr´e un court chapitre `a l"analyse vocale (ou traitement de la parole), l`a aussi sous forme d"introduction. Pour le traite- ment du son musical nous renvoyons `a l"ouvrage de P. Guillaume [10] qui fourmille d"exemples en liaison directe avec la musique. Nous avons choisi de ne parler que de techniques d´eterministes en laissant de cot´elesm´ethodes stochastiques, faute de place et de comp´etences. Toutefois, le point de vue probabiliste est tr`es utile en signal et tr`es pr´esent dans la mani`ere dont les

ing´enieurs pr´esentent leurs r´esultats. Il est aussi fondamental dans la th´eorie du co-

dage et de l"information (au sens de Shannon) qui n"est pas abord´ee dans cet ouvrage. Nous renvoyons `a [13] chapitre 5, [14] chapitre 10, [16] partie 2 ou [1] Tome 1, cha- pitres 4 et 5 pour une pr´esentation !stochastique"du traitement du signal. Une partie des informations, exemples, illustrations contenus dans ce livre a ´et´e r´ecolt´ee au fil de mes investigations sur Internet. Je remercie tous les anonymes (et W IKIPEDIA!) qui ont contribu´edefait`a enrichir cet ouvrage. Cette nouvelle ´edition propose de nouveaux exercices et corrige quelques co-

quilles. Un chapitre a ´et´e ajout´e`alapremi`ere ´edition : il s"agit d"une ouverture vers

4 le traitement du signal 2D, cest-`a-dire le traitement dimage. Les outils expos´es pour le traitement du signal 1D sont fondamentaux d`es quon sint´eresse au cas bidimen- sionnel. Nous donnons en quelques pages des pistes pour la g´en´eralisation de ces outils.

Orl´eans, le 18 mars 2014.

Chapitre 1

Introduction

L"utilisation de math´ematiques de haut niveau en traitement du signal et pour l"apprentissage est une tendance nouvelle rendue n´ecessaire par la quantit´eetlacom- plexit´e croissantes d"informations aujourd"hui disponibles, qui engendrent un besoin d"automatisation des m´ethodes d"analyse, de traitement de l"information et de la prise de d´ecisions. Les applications les plus classiques concernent l"analyse et la transformation d"informations sonores et d"images, mais des probl`emes similaires sont pos´es par d"autres signaux tels que des enregistrements de s´equences d"ADN, des s´eries fi- nanci`eres ou des donn´ees atmosph´eriques. L"information ainsi trait´ee peut ensuite servir `alar´ealisation d"une tache qu"il s"agit d"optimiser. 1 La notion de signal fait intervenir la notion d"observation de ph´enom`ene. Elle fait intervenir des quantit´es d´ependantes du temps, de l"espace ou de la fr´equence. Pour ´etudier ces quantit´es on a une mod´elisation sous forme de fonction d"une variable.

Les signaux sont des objets qui peuvent etre

- unidimensionnels (1D) : c"est le cas de tous les ph´enom`enes ondulatoires, dont l"exemple le plus connu est le son. La variable est alors le tempst.L"´etude des signaux 1D fait l"objet du pr´esent cours. - bidimensionnels (2D) : il s"agit dans ce cas d"images. La variable est une va- riable d"espace repr´esentant les deux coordonn´ees (x,y) d"un point du plan de l"image. L"´etude de ces signaux, plus connue sous le nom de Traitement d"Image n"est pas (ou peu) abord´ee dans ce volume. - tridimensionnels (3D) : il peut s"agir, soit d"images 3D (dans l"espace) dont la reconstruction et la description se font par exemple `a partir de projections st´er´eographiques ou tomographiques, soit d"une s´equence d"images 2D dans le temps (vid´eo). Dans le premier cas, la variable est une variable d"espace repr´esentant les trois coordonn´ees d"un point (x,y,z) de l"image. Dans le se- cond cas il s"agit des deux coordonn´eespx,yqdans le plan et du tempst.

1. Dapr`es S. Mallat :http://www.cmap.polytechnique.fr/spip.php?article8

12CHAPITRE 1. INTRODUCTION

... quadridimensionnels (4D) : cest le cas, par exemple, dimages 3D (volumes)

´evoluant dans le temps.

Dans cet ouvrage nous allons nous concentrer sur l´etude des signaux 1D. Les m´ethodes d´ecrites rel`event de ce qui est commun´ement appel´ele !traitement du signal ". Nous donnons quelques exemples pour commencer.

1. Le son est le signal (1D) le plus connu. Les applications du traitement du son

sont nombreuses. On peut citer, par exemple, la synth`ese et l"analyse vocale, la musique num´erique (standard MP3, instruments num´eriques) (a) Extrait dun chant de baleine `a bosse(b) [D´ebut des!Variations Goldeberg"de J.S. Bach FIGURE1.1 - Exemples de sons (repr´esentation temporelle)

2. Signaux

!environnementaux" (a) Onde sismique(b) Sonar dun banc de poissons

FIGURE1.2 ... Signaux environnementaux

3. Signaux ´electriques : ces signaux sont particuli`erement int´eressants en m´ede-

cine (´electrocardiogramme- ´electroenc´ephalogramme). 13

FIGURE1.3 ...´Electrocardiogramme (ECG) )

FIGURE1.4 ...´Electro-enc´ephalogramme (EEG) Un signal peut etre mod´elis´edefac¸ond´eterministe ou al´eatoire. Lorsque la fonc- tiontÞÑxptqest continue le signal est analogique. Si la variable est discr`ete, le signal est discret. Souvent un signal discret est le r´esultat de la discr´etisation d"un signal analogique. On parle alors d"

´echantillonnage.

14CHAPITRE 1. INTRODUCTION

FIGURE1.5 ... Signal ´echantillonn´e

Quand on discr´etise un signal en vue dun traitement num´erique, on fait aussi unequantification(stockage sur ordinateur). Un signal discret quantifi´e est un signal num´erique.

Exemples de signaux

!th´eoriques" -Echelon unit´e de Heaviside: La fonction est donn´ee par tÞÑuptq""1sitą0, Ce signal mod´elise l"´etablissement instantan´ed"unr´egime constant. -Signal rectangle ou cr´eneau centr´e: La fonction est donn´ee par tÞÑvptq""1si|t|ăa,

0si|t|ěa.(1.2)

(a)´Echelon unit´edeHeaviside(b) Cr´eneau centr´e

FIGURE1.6 ... Exemples de signaux!th´eoriques"

-Signal sinuso¨ıdal ou monochromatique: lesignal est repr´esent´e par la fonction tÞÑxptq"αcospωt`?q, 15 o`uαPRest l"amplitude du signal ,ωPRest la pulsation et?Pr0,2πsla phase initiale. On appellea"2π On peut donc ´ecrire quexptq"αcosp2πλt`?q.On´etudiera en g´en´eral le signal zptq"αexpp2iπ λt`i?q"cexpp2iπ λtq o`uc"αexppi?qPC. On a doncc"Repzptqq(o`uRe(z)d´esigne la partie r´eelle du complexez). Letraitement dusignal repose essentiellement sur l"utilisation d"op´erateurs lin´eai- res qui modifient les propri´et´es d"un signal de fac¸on homog`ene dans le temps. Les transform´ees de Fourier et de Laplace qui diagonalisent des op´erateurs sont les prin- cipaux outils d"analyse math´ematique.

On ´etudie un signal de deux points de vue :

- le point de vue temporel (ou spatial s"il s"agit d"une image) : ´etude du signal dans le temps, tel qu"il est enregistr´e ou dans l"espace physique (pour une image par exemple); - le point de vue fr´equentiel : on extrait du signal des informations !cach´ees" mais qui sont caract´eristiques de chaque signal. Les outils math´ematiques sont essentiellement la transformation de Fourier et la transformation de Laplace (et leurs analogues !discrets", la transformation de Fourier discr`ete (ou DFT) et la transformation enz). Le traitement du signal (analogique ou num´erique) consiste : -`a´etudier le signal, l"analyser, en extraire les informations pertinentes, -`a modifier le signal (pour enlever les parasites d"un son, accentuer les basses d"un morceau de musique ou ´eclaircir une image par exemple), -`a synth´etiser/reproduire des signaux nouveaux ( !voix de synth`ese"). Sans pr´etendre `a l"exhaustivit´e, nous allons pr´esenter les principaux d"analyse et de traitement des signaux, au premier rang desquels les outils d"analyse spectrale qui font l"objet du chapitre 2. Le chapitre 3 pr´esente des techniques ´el´ementaires de traitement des signaux al´eatoires. Le chapitre 4 pr´esente des outils de filtrage (ana- logique et num´erique) : le filtrage est une ´etape fondamentale et incontournable dans tout traitement de signal. Le chapitre 5 est consacr´e`al"´echantillonnage, `asavoirle passage d"un signal analogique ( !continu")`a un signal num´erique (discret). Nous ypr´esentons le c´el`ebre th´eor`eme d"´echantillonnage de Shannon ainsi que les diffi- cult´es pos´ees par le mauvais choix d"une fr´equence d"´echantillonnage (aliasing). Le chapitre 6 est consacr´e`a l"analyse temps-fr´equence d"un signal, avec la transforma- tion de Gabor et la STFT 2 qui conduisent `a la notion de spectrogramme. Tout natu- rellement, le chapitre 7 pr´esente une alternative, compl´ementaire `a l"analyse temps-

2. Short Time Fourier Transform ou Transform´ee de Fourier `afenetre glissante

16CHAPITRE 1. INTRODUCTION

fr´equence, qui est lanalyse temps-´echelle avec lintroduction des ondelettes et de lanalyse multi-r´esolution. Nous terminerons par une application `a lanalyse vocale (chapitre 8) et un chapitre dintroduction au traitement des images (chapitre 9).

Chapitre 2

Analyse spectrale des signaux

unidimensionnels

2.1 Signaux analogiques p´eriodiques

Un signal sinuso¨ıdal!pur"tÞÑsinp2πλtqa une signification!physique": cela correspond `a une onde qui se propage. On va montrer dans ce qui suit que tout signal p´eriodique d"´energie finie (ce que nous allons pr´eciser) est la superposition d"un nombre infini d"ondes.

2.1.1 Les s

´eries de Fourier

On consid`ere dans ce qui suit des signaux p´eriodiques de p´eriodeaą0et d"´energie finie. L"espace de ces signaux est L 2p p0,aq"tf:RÑC,fde p´eriodea,ż a 0 |f| 2 ptqdtă`8u muni du produit scalaire (hermitien) pf,gq:"ż a 0 fptq¯gptqdt , o`u|z|d´esigne le module du complexezet¯zson conjugu´e. L"´energie du signal est tout simplement sa norme dans l"espaceL 2 au carr´e

Epfq:"}f}

22
a 0 |f| 2 ptqdt .

Pour toutNPNon d´esigne parT

N l"espace vectoriel engendr´e par la famille pe k q avec#RÑC e n :tÞÑexpp2iπnt aq.(2.1)

18CHAPITRE 2. ANALYSE SPECTRALE DES SIGNAUX UNIDIMENSIONNELS

On v´eri"e facilement que cette famille est orthogonale et satisfaitpe k ,e k q"apour toutkPZ.Deplus}e k 8 "1, pour toutkPZ,o`u}f} 8 :"sup tPR |fptq|d´esigne la norme uniforme (ou dansL 8 pRq)delafonctionf.

L"espaceT

N est donc l"espace des polynomes trigonom´etriques de degr´einf´erieur ou

´egal `aN. C"est un sous-espace deL

2p p0,aqde dimension finie (donc ferm´e). Nous avons un r´esultat d"approximation qui est un cas particulier du th´eor`eme de projection sur un convexe ferm´e dans un espace de Hilbert (voir Annexe 1, Th´eor`eme A.4.1) mais que nous allons d´emontrer directement. Th

´eor`eme 2.1.1SoitfPL

2p p0,aq.Il existe un unique polynomef N PT N (appel´e polyn

ome de meilleure approximation defdansT

N )projet´edefsurT N qui r´ealise le minimum de min PPT N }f´P} 2

De plus il s"

´ecrit sous la forme

f N k"N k"´N c k pfqe k o `u @N,@kPt´N,¨¨¨,Nuc k pfq"1 aż a 0 fptqexpp´2iπkt aqdt.(2.2) D

´emonstration.-SoitfPL

2p p0,aq.Un polynome trigonom´etrique peut toujours s"´ecrire sous la formeP" k"N k"´N x k e k (quitte `a compl´eter par des coefficients nuls) o`ux k

PCpour toutk. Calculons donc

}f´P} 22
"}f} 22
`}P} 22

´2Repf,Pq.

Comme la famillepe

n q nPZ est orthogonale on a }P} 22
k"N k"´N |x k 2 a.

D"autre part

pf,Pq" k"N k"´N ¯x k pf,e k q; si on pose @kPt´N,¨¨¨,Nuc k pfq"pf,e k q pe k ,e k q"1apf,e k q,

2.1. SIGNAUX ANALOGIQUES P´ERIODIQUES19

il vient }f´P} 22
"}f} 22
`a k"N k"´N `|c k pfq´x k 2

´|c

k pfq| 2 .(2.3) Il est donc clair que le minimum est atteint lorsquex k "c k pfqet pour cette valeur seulement.l D ´efinition 2.1.1 (Coefficient et s´erie de Fourier)Les coefficientsc k pfqsont les co- efficients de Fourier def. La s

´erieÿc

k pfqe k est la s´eriedeFourierdef. La premi`ere question qui se pose est bien sur la convergence de la s´erie de Fourier d"une fonctionfdeL 2p p0,aq. Nous allons r´epondre `a cette question par le th´eor`eme

2.1.4. Donnons tout d"abord quelques propri´et´es des coefficients de Fourier.

´eor`eme 2.1.2SoitfPL

2p p0,aq`avaleursr´eelles etpc k pfqq kPZ ses coefficients de

Fourier.

1. L"applicationfÞÑpc

k pfqq kPZ est lin´eaire.

2. Pour toutkPZ,c

´k "c k et donc particulier|c ´k |"|c k

3. Sifest paire, alors pour toutkPZ,c

k est r´eel.

4. Sifest impaire, alors pour toutkPZ,c

k est imaginaire pur. D ´emonstration.-La propri´et´e 1 est imm´ediate. Montrons la propri´et´e2:SoitkPZ etfPL 2p p0,aq`a valeurs r´eelles.quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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