MATHÉMATIQUES SECONDAIRE III

S’appuyer sur des situations fonctionnelles 2 Mettre en place des situations d’apprentissageautour d’une compétence déclinée en plusieurs objectifs (savoirs / savoirs faire) 3 Travailler par module 4 Appliquer les savoirs acquis dans des jeux math pour les renforcer les automatiser (ex les dominos après le travail sur la

MATHÉMATIQUES SECONDAIRE III

Situations fonctionnelles Fonction - Notation Une fonction est une relation particulière entre deux variables =() =

Vers les mathmatiques - ienfeursfreefr

Les situations-problèmes • Des situations fonctionnelles (Distribution de matériel dans la classe) Des situations construites (Qui a gagné ? jeu à système de points) Des situations rituelles (nombre d’absents) • Les différentes fonctions du nombre : comparer, anticiper, mesurer, mémoriser, partager, communiquer

6 -mathematiques - CHD:mathematiqueqxd

somme disponible) Ces situations font appel à plusieurs compétences • Rencontrer des problèmes qui ne demandent pas une solution numérique(exemple: décider de l’utilisation d’une somme disponible) Ces situations font appel à plusieurs compétences 847 • Organiser son travail, utiliser les outils de résolution de

Mathã Matiques Terminale Sm By Ciam

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DES PROLEMES POUR HERHER A L’EOLE MATERNELLE

Les situations rituelles ne constituent pas à elles seules l’enseignement des mathématiques à l’école maternelle Les situations conçues et apportées par l’enseignant : ce sont les situations qui s’appuient sur un jeu, un matériel, une « activité papier-crayon » L’enseignant a la maîtrise de ces situations

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Contribution Modélisation et simulation de systèmes dynamiques

de math matiques pour faire comprendre les effets dÕun taux dÕarriv e et/ou dÕun taux de sortie Commen ons donc avec le probl me suivant : Une baignoire contenant d j 30 litres dÕeau se remplit de 10 litres dÕeau toutes les minutes a) Combien dÕeau contiendra-t-elle apr s 15 minutes?

FONCTIONS RAISONNEMENTALES ET FAITS ARITHMÉTIQUES

Raisonnement et faits arithmétiques L’intelligence générale (facteur G1) regroupe les fonctions de raisonnement logique, de conceptualisation et d’abstraction Elle est actuellement considérée comme une fonction

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1 MES APPRENTISSAGES MATHÉMATIQUES SECONDAIRE III Document réalisé par Audray Pageau

2 ALGÈBRE 1. Les exposants BASE EXPOSANT = PUISSANCE Exposant positif : 1622222

Exposant négatif : 16

1 2222
1 2 1 2 4 4

On fait le "switch»! Ne pas confondre le signe de la base et le signe de l'exposant Base négative sans ( ) : 1622222

Base négative avec ( ) : 162222)2(

2. Loi des exposants Cas À faire Exemple 1 PRODUIT de puissances de même base Additionner les exposants 75252

aaaa==⋅

2 QUOTIENT de puissances de même base Soustraire les exposants 437

3 7 aa a a

3 PUISSANCE de puissance Multiplier les exposants ()

842
4 2 aaa==

4 PUISSANCE d'un produit Distribuer l'exposant ()

222
2

44baab=

5 PUISSANCE d'un quotient Distribuer l'exposant 2

22
2 22
c a c a

6 PUISSANCE d'une somme Écrire 2 fois les ( ) Double distributivité ()

22
2 baba+≠+ ()()()bababa++=+ 2

3 3. Base transformable Il s'agit d'exprimer un nombre sous la forme de puissance(s). Pour y arriver, on peut faire l'arbre des facteurs. Ex 1 : 532180

Ex 2 : 4

5625=

Ex 3 : ()()

963
2 33
2 3

555551255=⋅=⋅=⋅

4. Simplifier une expression contenant des exposants Méthode Il existe plusieurs façons de procéder, en voici une : 1) Réduire les puissances de puissances (Éliminer les ( )) 2) Mettre tous les exposants positifs 3) Repérer les bases identiques et les simplifier entres-elles à l'aide des lois des exposants Ex : ()

5 6 417
1012
2415
4558
4155
5248
4 3 55
5248
2 5 52
52
252
2552
225
5252
225
5252

5. Opérations sur les polynômes (÷×-+,,,

) Addition (situation avec le périmètre) Trouve l'expression algébrique représentant le périmètre d'un triangle qui a les mesures de côtés suivantes : ()()().2712,43cmxetxx+-+

Périmètre du triangle ()()()271243++-++=xxxP

271243++-++=xxxP

On enlève les ( ) quand il y a un + devant. ()cmxP512+=

4 Soustraction (situation avec les longueurs) Soit le dessin suivant, quelle est l'expression algébrique représentant la mesure de AB

sachant que ()()cmxBCmetxACm1328-=-= . Mesure du segment AB ()()1328---=xxABm

1328+--=xxABm

On distribue le - dans la ( ). ()cmxABm15-=

Multiplication (situation avec l'aire) Quelle est l'expression algébrique représentant l'aire d'un rectangle dont la mesure de la base est ()32-x

cm et la mesure de la hauteur, ()7+x cm ? Aire du rectangle bhA= ()()732+-=xxA

213142

2 --+=xxxA

Double distributivité. ()

21112cmxxA-+=

Division (situation avec une mesure manquante) L'aire d'un rectangle est de ()xxx264 23
cm2 et sa hauteur mesure ()x2

cm. Trouve l'expression algébrique qui représente la mesure de sa base. Mesure de la base bhA=

()()xbxxx2264 23

On divise par (2x) de chaque côté. x

xxx b 2 264
23
()cmxxb132 2

5 6. Notation scientifique La notation scientifique facilite la lecture, l'écriture et la comparaison de très grands et de très petits nombres. MANTISSE x 10EXPOSANT • La mantisse est un nombre plus grand ou égal à 1 et plus petit que 10. • On multiplie la mantisse par une puissance de 10. • L'exposant est : POSITIF si c'est un grand nombre 00034021034,2

6 NÉGATIF si c'est un petit nombre 34002000,01034,2 6

Lire un nombre en notation scientifique Il s'agit de "tasser la virgule» vers la droite si l'exposant est positif et vers la gauche si l'exposant est négatif. Ex : 000950105,9

5 On a "tassé» la virgule de 5 unités vers la droite 006,0106 3

On a "tassé» la virgule de 3 unités vers la gauche (Quand on ne voit pas la virgule, elle est après la position des unités, ici, après le 6) Transformer un nombre en notation scientifique 257001000,0

("Où va la virgule ?») La mantisse est : 1, 257 2) Déterminer le signe de l'exposant ( + grand nombre, - petit nombre) L'exposant est négatif (petit nombre) 3) Déterminer la valeur de l'exposant (Nombre de déplacement de la virgule) 6 déplacements 4) Écrire le nombre en notation scientifique 6

10257,1

6 GÉOMÉTRIE 1. Conversion d'unités Unités de longueur "Tasser la virgule d'une unité vers la droite ou la gauche» km hm dam m dm cm mm Unités d'aire "Tasser la virgule de deux unités vers la droite ou la gauche» km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 Unités de volume "Tasser la virgule de trois unités vers la droite ou la gauche» km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 2. Aire et périmètre des figures planes Périmètre : mesure de la LONGUEUR du contour d'une figure. S'obtient en additionnant les mesures de tous les côtés. Aire : mesure de la SURFACE d'une figure. Figure Dessin Périmètre Aire Carré cP4=

2 cA=

10×

10÷

100×

100÷

1000×

1000÷

7 Rectangle hbP22+=

bhA=

Parallélogramme bhA=

Triangle 2

bh A=

Trapèze ()

2 hbB A

Losange cP4=

2 Dd A= Polygone régulier n : nombre de côtés ncP= 2 can A=

Cercle rCπ2=

dCπ= 2 rAπ=

8 3. Aire des figures planes décomposables Par addition On calcule l'aire de chacune des figures séparément, puis, on les additionne. Ex : trapèzetriangleglerecfigure

AAAA++=

tan

Par soustraction On calcule l'aide de chacune des figures séparément, puis, on soustrait l'aire de la petite figure de celle de la grande. Ex : cercletriangleglerecfigure

AAAA--=

tan

4. Mesures manquantes dans les figures planes Débuter en écrivant la formule d'aire ou de périmètre selon l'information donnée. Remplacer les valeurs connues dans la formule et isoler la valeur manquante. Ex 1 : L'aire d'un trapèze est de 300 cm2. Sa petite base mesure 20 cm et sa hauteur est de 10 cm. Quelle est la mesure de la grande base ? Mesure de la grande base ()

2 hbB A 2 1020
300
B ()1020600+=B J'ai multiplié par 2 de chaque côté. ()2060+=B J'ai divisé par 10 de chaque côté. Bcm=40

J'ai soustrait 20 de chaque côté. Ex 2 : Le périmètre d'un rectangle est de 40 cm. Sa hauteur mesure 5 cm. Quelle est la mesure de sa base ? Mesure de la base hbP22+=

)5(2240+=b

10240+=b

b230= J'ai soustrait 10 de chaque côté. bcm=15

J'ai divisé par 2 de chaque côté.

9 5. Aire totale des solides Hauteur d'un prisme ou d'un cylindre : distance entre les deux bases. Apothème d'une pyramide ou d'un cône : distance entre l'apex (sommet) et le milieu d'un côté de la base. 6. Aire des solides décomposables Stratégie 1) Pour chaque solide, calculer seulement l'aire des parties visibles (aire de la base, aire latérale ou les deux) 2) Additionner le tout Solide Dessin Aire de la base Aire latérale Aire totale Prisme Selon la base hPA

baseL LBT

AAA+=2

hPAA baseBT ⋅+=2

Cylindre 2

rA B rhA L

π2=

LBT

AAA+=2

rhrA T

ππ22

Pyramide Selon la base 2

pyrbase L aP A LBT AAA+= 2 pyrbase BT aP AA

Cône 2

rA B 2 pyrbase L aP A pyrL arA⋅=π LBT AAA+= pyrT rarAππ+= 2

Boule ---- ---- 2

4rA T

10 7. Mesures manquantes dans les solides Méthode Quand on a une mesure manquante dans un solide et qu'on nous donne l'aire... 1) Écrire la formule de l'aire que l'on nous donne 2) Remplacer dans cette formule toutes les données connues 3) Isoler la mesure manquante (habituellement, il en reste une seule) Exemple : Soit un cylindre surmonté d'une demi-boule. L'aire totale du solide est 500 cm2 et la mesure du diamètre du cylindre est de 10 cm. Trouve la hauteur du cylindre. Note : le cylindre et la demi-boule ont le même diamètre. 1) Rayon cmr5

2 10

2) Hauteur du cylindre SPHÈRELINDRELATÉRALECYCYLINDREBASET

AAAA 2 1 22

22rrhrA

T 22

52525500πππ++=h

08,15742,3154,78500++=h

h42,3162,235500+= h42,3138,264= On soustrait 235,62 de chaque côté cmh41,8= On divise par 31,42 de chaque côté R : La hauteur du cylindre est de 8,41 cm.

11 8. Volume des solides Volume : mesure de la CAPACITÉ d'un solide (ce qu'il contient). Unités de volume "Tasser la virgule de trois unités vers la droite ou la gauche» km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 Unités de capacité "Tasser la virgule d'une unité vers la droite ou la gauche» kl hl dal l dl cl ml Équivalences VOLUME CAPACITÉ 1 cm3 1 ml 1 dm3 1 l 1 m3 1 kl Solide Dessin Formule volume Formule volume détaillée Prisme hAV

BASE

Selon la base Cylindre hrV⋅=

Pyramide 3

hA V BASE

Selon la base Cône 3

2 hr V

Boule 3

4 3 r V --- 1000×

1000÷

10×

10÷

12 9. Volume des solides décomposables Situation 1 Dessin Situation 2 Dessin 10. Mesures manquantes dans les solides Méthode Quand on a une mesure manquante dans un solide et qu'on nous donne le volume ... 1) Écrire la formule de volume que l'on nous donne 2) Remplacer dans cette formule toutes les données connues 3) Isoler la mesure manquante (habituellement, il en reste une seule) Exemple : Soit une demi-boule surmontée d'un cône. Le volume total est de 4 000 cm3 et le rayon du cône est de 10 cm. Quelle est la mesure de la hauteur du cône ? Note : le cône et la demi-boule ont le même rayon. 1) Mesure du rayon BOULE

CÔNET

VVV 2 1 3 2 3 32
rhr V T 3 102
3 10 0004 32
h

4,094272,1040004+=h

h72,1046,9051= cmh2,18=

R : La hauteur du cône est de 18,2 cm.

13 PROPORTIONS FONCTIONS 1. Situations fonctionnelles Fonction - Notation Une fonction est une relation particulière entre deux variables. (Pour une même valeur de x, on a un seul y) La notation fonctionnelle met en évidence le lien de DÉPENDANCE entre les variables. Soit la fonction f qui met en relation les variables x et y. On dira que )(xfy=

. Traduction : la valeur de y s'obtient en appliquant la fonction sur x. DÉPEND ajouter un exemple pas une fonction Variable dépendante et indépendante Fonction constante Fonction directe Ex : Distance parcourue selon le temps si on roule à une vitesse constante de 80 km/h. MOTS : Taux unitaire et au temps 0, on a 0 km de parcouru.

14 TABLE DE VALEURS : • Passe par (0, 0) • Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens • Le coefficient de proportionnalité (taux unitaire) = x

RÈGLE : axy=

(où a représente le taux unitaire) xy80= GRAPHIQUE : Droite passant par l'origine x Temps (h) 0 1 2 3 4 y Distance (km) 0 80 160 240 320

15 Fonction partielle Ex : On embarque dans un taxi. Le tarif initial est de 3,00$. Ensuite, on ajoute 0,50$ du kilomètre parcouru. MOTS : Valeur de départ + taux unitaire TABLE DE VALEURS : x Nb de km parcourus 0 2 4 6 8 y Coût de la course ($) 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 • xenBonds

yenBonds

donne une constante (taux unitaire) • Il y a une valeur initiale : pour x = 0, y est la valeur de départ RÈGLE : baxy+=

(où a représente le taux unitaire et b la valeur initiale) 350,0+=xy

GRAPHIQUE : Droite ne passant pas par (0, 0) Fonction inverse Ex : On loue un autobus 400$ pour une activité. Le coût est partagé selon le nombre de personnes participant à l'activité. MOTS : Partage TABLE DE VALEURS : x Nb de personnes 1 2 10 20 40 y Coût par personne ($) 400 200 40 20 10 • Le produit xy

est constant RÈGLE : x k y= (où k représente la constante, le produit xy ) x y 400
GRAPHIQUE : Courbe décroissante ne touchant pas aux axes

16 2. Taux, rapports et proportions Taux []

c'est une fraction Unités différentes personnes5 $250 Taux unitaire Pour le trouver on effectue la division personnes5$250÷ personne/$50=

Rapport []

c'est une fraction partie à partie [][]: Mêmes unités Conversion d'unités au besoin Toujours réduire 2:5 10:25 :GarsFilles 5:8

750:1200

750:2,1

mlml mllitres

Proportion Égalité de 2 fractions []

Dans une proportion, le produit des moyens est = au produit des extrêmes personnes oeufs personnes oeufs 25
75
5 15

375755

3752515

Comparer des taux Trouver les taux unitaires et comparer kgkg/$70,05/$50,3→ kgkg/$81,07/$65,5→

Le moins cher est le premier.

17 3. Reconnaître et résoudre les situations proportionnelles Résolution de problèmes impliquant des taux TAUX Établir la proportion =

Écrire vos unités ou des titres pour vous aider à placer les 4 valeurs dans la proportion Laisser les traces du produit croisé Penser aux unités Si je remplis un bain de 70 L en 6 minutes, en combien de temps je remplirais un bain de 80L ? Temps pour remplir un bain min

80
min6 70
xquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

[PDF] MATHÉMATIQUES SECONDAIRE III

1 MES APPRENTISSAGES MATHÉMATIQUES SECONDAIRE III Document réalisé par Audray Pageau

2 ALGÈBRE 1. Les exposants BASE EXPOSANT = PUISSANCE Exposant positif : 1622222

Exposant négatif : 16

Base négative avec ( ) : 162222)2(

2. Loi des exposants Cas À faire Exemple 1 PRODUIT de puissances de même base Additionner les exposants 75252

2 QUOTIENT de puissances de même base Soustraire les exposants 437

3 PUISSANCE de puissance Multiplier les exposants ()

4 PUISSANCE d'un produit Distribuer l'exposant ()

44baab=

5 PUISSANCE d'un quotient Distribuer l'exposant 2

6 PUISSANCE d'une somme Écrire 2 fois les ( ) Double distributivité ()

3 3. Base transformable Il s'agit d'exprimer un nombre sous la forme de puissance(s). Pour y arriver, on peut faire l'arbre des facteurs. Ex 1 : 532180

Ex 2 : 4

Ex 3 : ()()

555551255=⋅=⋅=⋅

5. Opérations sur les polynômes (÷×-+,,,

271243++-++=xxxP

4 Soustraction (situation avec les longueurs) Soit le dessin suivant, quelle est l'expression algébrique représentant la mesure de AB

1328+--=xxABm

On distribue le - dans la ( ). ()cmxABm15-=

213142

Double distributivité. ()

21112cmxxA-+=

On divise par (2x) de chaque côté. x

10257,1

10×

10÷

100×

100÷

1000×

1000÷

7 Rectangle hbP22+=

Parallélogramme bhA=

Triangle 2

Trapèze ()

Losange cP4=

Cercle rCπ2=

8 3. Aire des figures planes décomposables Par addition On calcule l'aire de chacune des figures séparément, puis, on les additionne. Ex : trapèzetriangleglerecfigure

AAAA++=

AAAA--=

10240+=b

J'ai divisé par 2 de chaque côté.

AAA+=2

Cylindre 2

π2=

AAA+=2

ππ22

Pyramide Selon la base 2

Cône 2

Boule ---- ---- 2

2) Hauteur du cylindre SPHÈRELINDRELATÉRALECYCYLINDREBASET

22rrhrA

52525500πππ++=h

08,15742,3154,78500++=h

Selon la base Cylindre hrV⋅=

Pyramide 3

Selon la base Cône 3

Boule 3

1000÷

10×

10÷

CÔNET

4,094272,1040004+=h

R : La hauteur du cône est de 18,2 cm.

14 TABLE DE VALEURS : • Passe par (0, 0) • Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens • Le coefficient de proportionnalité (taux unitaire) = x

RÈGLE : axy=

15 Fonction partielle Ex : On embarque dans un taxi. Le tarif initial est de 3,00$. Ensuite, on ajoute 0,50$ du kilomètre parcouru. MOTS : Valeur de départ + taux unitaire TABLE DE VALEURS : x Nb de km parcourus 0 2 4 6 8 y Coût de la course ($) 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 • xenBonds

16 2. Taux, rapports et proportions Taux []

Rapport []

750:1200

750:2,1

Proportion Égalité de 2 fractions []

375755

3752515

Le moins cher est le premier.

17 3. Reconnaître et résoudre les situations proportionnelles Résolution de problèmes impliquant des taux TAUX Établir la proportion =