[PDF] Modèle probabiliste d’ordonnancement « La durée du projet

LES INDICATEURS CHRS

N°3 DURÉE MOYENNE DE PRISE EN CHARGE DONNEES Recensement des données du 01/01 au 31/12 de l’exercice, concernant les personnes sorties de la structure au cours de l’exercice considéré MODE CALCUL Données brutes référencées : E2= durée cumulée des prises en charge ( une année de prise en charge = 365 jours) des usagers

Modèle probabiliste d’ordonnancement « La durée du projet

Estimations de la durée moyenne d'une tâche (E(di)) et de son écart-type (σ (di)) La durée de chaque tâche du projet est aléatoire et sa distribution de probabilité suit la loi de Bêta Les paramètres de cette loi sont déterminés à partir des valeurs extrême a et b que la durée d’exclusion peut prendre, et du Mode Mo

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Calculer la durée moyenne d’une partie de type A 1 b Préciser à l’aide du graphique la durée moyenne d’une partie de type B 2 On choisit au hasard, de manière équiprobable,un type de jeu Quelle est la probabilité que la durée d’une partie soit inférieure à 20 minutes ? On donnera le résultat arrondi au centième Partie B

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durée moyenne du travail calculée sur la période du cycle complet, qui ne peut excéder 42 heures Art 12 - L’employeur et le travailleur peuvent convenir par écrit, d’un horaire journalier indivi-dualisé, distinct de l’horaire journalier collectif notamment dans le cadre du travail à temps partiel,

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moyenne des pays de l’OCDE pour la scolarité à plein temps, tandis que la scolarité à temps partiel, absente en France, apparaît plus développée dans des pays de l’Europe du Nord ou aux États-Unis L’espérance de scolarisation est une estimation de la durée de la scolarité d’un enfant entrant en maternelle cette année-là

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DURÉE DE VIE MOYENNE D’UNE ENTREPRISE DANS L’INDICE S&P 500 Ans, moyenne sur 7 ans glissants 40 35 30 25 20 15 10 5 0 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

ÉTUDE SUR LA DURÉE DE VIE DES ÉQUIPEMENTS ÉLECTRIQUES ET

question de la durée de vie des EEE afin d’en comprendre les enjeux environnementaux, techniques et financiers Concrètement, l’étude permet de définir un langage commun sur la notion de durée de vie, d’évaluer les besoins pour une meilleure gestion de la durée de vie des EEE, et d’identifier des pistes de réflexion et d’actions

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Modèle probabiliste d'ordonnancement " La durée du projet »

Principe

Avant la réalisation d'un projet, la durée de chaque tâche n'est que estimative donc incertaine.

La durée di d'une tâche, est une variable aléatoire, ce qui signifie que di peut prendre plusieurs

valeurs, selon une distribution de probabilité. A partir de ces valeurs on pourra calculer la durée moyenne, la variance et l'écart type.

Exemple de la durée en heures d'une tâche

Durée possibleProbabilité

correspondante PiPi*di ))((iiidEdP210.24.24.23

250.4100.144

280.38.41.73

300.131.94

Total1E(D) =

iidP= 25.6Variance = 2))((iiidEdP=8.04

Durée moyenne E(d)=25.6

Var (d)= 8.04 et l'écart type= 2.83

- Si on connaît cette distribution de probabilité on peut calculer la durée moyenne E(di) et la

variance Var di de la tâche i. - Si la distribution de probabilité n'est pas connue il faudra l'estimer, selon des informations connues, à l'aide d'une méthode appropriée. En gestion de projets, une estimation est

généralement proposée par défaut, elle suppose de disposer de trois durées : durée optimiste,

durée probable et durée pessimiste. Estimations de la durée moyenne d'une tâche (E(di)) et de son écart-type (σ (di))

La durée de chaque tâche du projet est aléatoire et sa distribution de probabilité suit la loi de

Bêta.

Les paramètres de cette loi sont déterminés à partir des valeurs extrême a et b que la durée

d'exclusion peut prendre, et du Mode Mo. La moyenne et la variance sont obtenues respectivement par cette loi : 36
6 )4(2

20abbMaµCe qui revient à considérer que la durée probable se réalise quatre fois plus souvent

que la durée optimiste ou que la durée pessimiste. Remarque : Dans le cas d'ordonnancement le (a) représente la durée optimiste de la tache et (b) la durée pessimiste. La durée du projet est toujours la durée du chemin le plus long

Si le nombre de tâches critiques est suffisamment élevé on applique le théorème central limite

pour approximer la loi de distribution de probabilité de la durée d'exécution de projet. En effet, la somme d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes est distribuée suivant la loi normale de moyenne " sommes des moyenne de ces variables et de variance la

somme des variances des mêmes variables » Dans le cas des durées des tâches : si on désigne

par D la durée du projet sur un chemin critique alors )(DE)(idE et )(DVar

)(idVar. Il en résulte que la durée estimée du projet sur le chemin critique s'obtient par la

somme des moyennes des durées des tâches du chemin critique c'est à dire k i iPµµ1. La variance pour le même chemin est donnée par  k i iP

22Remarque : Dès que la loi de probabilité de la durée du projet est connue, on peut toujours

calculer la durée du chemin avec une probabilité " pi » et la probabilité qu'une durée D soit

dépassée ainsi que les intervalles de confiance.

Résumé de la démarche :

1-Estimation des durées optimistes, probables et pessimistes des tâches de projet

2-Calculer la moyenne et la variance de chacune des taches par la loi Bêta ;

3-Etablir le graphe MPM ou PERT et déterminer le chemin critique et les tâches qui le

composent ;

4-Additionner les moyennes et les variances de chacune des tâches composant le chemin

critique pour en déterminer la durée probable et l'écart type de du projet

5-La durée totale du projet est approximée par la loi normale de moyenne

k i iPµµ1et de variance  k i iP

22Exemple :

Soit la liste des activités nécessaire à la réalisation d'un projet

Activités PrédécesseursDurées

optimistes probablesPessimistes iµ2

PA

B C D E F G H I---- A A B C C C E E F

D G H2

2 2 4 2 2 3 3 53
4 2 6 5 3 7 5 84
10 2 12 8 8 10 9 183
4.67 2 6.67 5 3.67 6.83 5.33

9.170.11

1.78 0 1.78 1 1 1.36 1 4.69

1-Tracer le graphe et indiquer le chemin critique

2-Calculer la durée estimée du projet

3-Quelle est la probabilité que le projet soit réalisé en moins de 22 semaines

4-Quelle est la probabilité que le projet nécessite plus de 28 semaines

Pour assurer la réalisation probable du projet à plus de 90%, combien de semaines faut-il compter ?

TP3 - Méthode PERT

Exercice 1

Une importante société de magasins alimentaires à grande surface diversifie son activité en

créant des commerces dans les petites villes. La société crée le fonds de commerce qui est

ensuite géré de façon autonome par un commerçant franchisé. La société réalise une étude

d'implantation puis elle installe le commerce. Les tâches à exécuter sont résumées dans le tableau suivant :

Liste des tâchesDurée en

joursTâches qui doivent être exécutées avant

A -Recherche d'un local50

B -Recherche d'un franchisé45

C -Constitution du dossier du franchisé15A, B

D -Constitution du dossier pour la chambre de

commerce10A, B

E -Formation du franchisé30B

F -Aménagement, plâtrerie, peinture du magasin20A

G -Réfection façade, enseigne8A

H -Equipement chambre froide8A, F

I -Equipement rayonnage5A, F

J -Implantation du magasin6A, B, E, F, G, H, I

K -Tirage des feuillets publicitaires6A, B, D

L -Distribution des feuillets publicitaires2A, B, D, K M -Envoi des invitations pour l'inauguration6A, B, D

N -Inauguration du magasin1toutes

1.Tracez le diagramme PERT du projet.

2.En quel temps minimum ce projet pourra-t-il être réalisé ?

3.Faites apparaître le chemin critique.

4.calculer les marges totales et libres.

Exercice 2: l'approche probabiliste d'ordonnancement

1. Représentez le graphe ci-dessous.

2. Calculez la durée moyenne du projet.

3. Trouvez la probabilité pour que ce projet soit terminé en 32 jours (on considérera

que le nombre de tâches est très grand).

4. Déterminez la durée avec une probabilité de 98%.

5. Les durées de la tâche H sont modifiées. Des informations plus précises indiquent

que la moyenne est 9 et l'écart type 5. Cette modification a-t-elle des conséquences sur les résultats des questions 3 et 4 ?

Exercice 3

1. Représentez le graphe du réseau ci-dessous.

2. Calculez la durée moyenne du projet.

3. Trouvez la probabilité pour que ce projet soit terminé en plus de 32 jours (on considérera

que le nombre de tâches est très grand).

4. Déterminez la durée avec une probabilité de 98%.

5. Les durées de la tâche H sont modifiées. Des informations plus précises indiquent que la

moyenne est 9 et l'écart type 5. Cette modification a-t-elle des conséquences sur les résultats des questions 3 et 4 ?

Indication de solution du dernier exercice

Chapitre 3 : Problèmes de transport

Position du problème

On entend par problème de transport tout problème d'optimisation du transfert entre points- origine ou fournisseurs et points-destination ou clients. Dans ces conditions, l'entreprise (ou

l'entité économique) a intérêt à déterminer parmi le réseau de destination le canal de

distribution le moins cher. G. Hadley exprime le problème de transport comme étant des

quantités données d'un même produit disponibles en plusieurs points-origine ; des quantités

données de ce produit doivent être expédiées vers différents points destination. Le coût de

transport unitaire entre chaque points-origine et chaque points-destination est connu, il s'agit

de déterminer le meilleur programme de transport, c'est-à-dire celui qui minimise le coût total

d'approvisionnement. Plus précisément, il convient de déterminer à partir de quel point- origine, chaque point-destination doit être alimenté, et ceci en quelle quantité ? La recherche opérationnelle par voie de programmation linéaire peut résoudre ce genre de problème par une formulation primal ou duale du problème.

Modélisation du problème

Pour faciliter la tâche de la modélisation nous allons prendre un exemple simple avec

trois points-origine et trois points-destination que l'on généralisera à un réseau avec m points

origine et n points-cibles. Par hypothèse, on suppose que le coût unitaire de chaque canal de distribution est donné et toute demande est satisfaite. Dans la suite, nous proposons une modélisation du problème avec renonciation de la dernière hypothèse. L'entreprise EBX est spécialisée dans la fabrication et la distribution d'un produit

unique " P ». Elle dispose de trois centres de production localisés dans trois villes différentes

et fournit et alimente ses clients dans trois autres villes. Le tableau suivant résume son stock et

sa demande en produit " P » :

Inscription dans les collèges locaux, 2005

Centres de

productionStock =OfffreCentres de distribution Demande

Kenitra 120Casablanca150

Fès80Agadir 70

Meknès 80Marrakech60

Total280280

Le coût de transport entre chaque point-origine et point destination est indiqué dans le tableau ci-dessous suivant un contrat particulier entre l'entreprise et l'ONCF.

VillesCasabla

ncaAga dirMarrak ech Kenit ra 856

Fès151012

Mekn

ès3910

Comment livrer au moindre coût ?

Notation :

La quantité transportée entre chaque ville de départ i et la ville destination j est notée

Xij, de ce fait les différentes notations sont les suivantes ;

VillesCasabla

ncaAga dirMarrak ech Kenit ra X11X12X13

FèsX21X22X23

Mekn

èsX31X32X33

Le coût de transport total de cette entreprise pour toutes les quantités transportées s'écrit :3332312322211312111093121015658XXXXXXXXXC , il s'agit ici de la

fonction-objectif (économique)

Contraintes sur l'offre :

L'entreprise ne doit pas offrir plus qu'il est demandé par le marché et par zone.

Pour Kenitra par exemple : X11 + X12 +X13 =120

Contraintes sur la demande :

Il est nécessaire d'expédier la quantité demandée par le marché, ainsi que par la zone :

Pour Agadir par exemple : X12 + X22 +X32=70 ;

Le programme linéaire de minimisation des coûts de cette entreprise est constitué de 9 variables et de six contraintes (trois par origines et trois par cibles), soit : m

3,2,1;0

60
70
150
80
80
120

1093121015658

332313

322212

312111

333231

232221

131211

333231232221131211

jiX XXX XXX XXX XXX XXX XXX CS

XXXXXXXXXCMin

ijEcriture duale du programme primal : 10 9 3 13 10 15 6 5 8

6070158080120

33
23
13 32
22
12 31
21
11

321321

TS TS TS TS TS TS TS TS TS CS

TTTSSSZMaxCas générale

D'une façon générale, le problème de transport s'exprime comme la recherche de

l'approvisionnement au moindre coût à partir de m points-origines et n points destinations.

Le programme s'écrit :

0 .......1 ........1 1 1 11 m ij m i jij n j iij m i n j ijij X njavecDX miavecOX CS

XCCMin

Ecriture duale du programme de minimisation du coût de transport ijji m i n j iiii CTSCS

TDSORMaxCMin

11 Solution du programme linéaire relatif au transport

Il existe plusieurs méthodes de détermination de la solution de base initiale. Nous présentons

ici la méthode dite du coin-Nord-Ouest. Cette méthode consiste à satisfaire la demande du premier marché à partir du stock de la première usine. Le processus continue jusqu'à la satisfaction de la demande totale et l'épuisement du stock. Par l'application de cette méthode au cas de l'entreprise EBX, on obtient la solution de base suivante :

VillesCasabla

ncaAga dirMarrak ech

Kenitr

a 12000

Fès30500

Meknè

s02060 Deman de1507060

Le coût associé à cette solution est :

C=120*8+30*15+50*10+20*9+60*10=2690

Pour vérifier si cette solution est optimale ou non, il suffit de contrôler si les trajets non

utilisés ne sont pas intéressants. Pour cela, nous partons de cette solution et nous déterminons

les valeurs de Si et Tj à partir du système d'équations suivantes correspondantes aux trajets

utilisés par la solution de base initiale. 10 9 10 15 8 33
23
22
12 11 TS TS TS TS TSCe système comprend six inconnues et cinq équations, une solution arbitraire à l'une des inconnues, par exemple S1= 0, peut déterminer la solution des autres. En effet,

T1=8, S2=7 ; T2=3 ; S3=6 ;T3=4

L'application de cette solution aux trajets non utilisés donne les résultats suivants :

Trajets non utilisésSi+Tj-Cij

quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14