Résolution d’équations et d’inéquations

Résolution d’équations et d’inéquations Résoudre une équation (ou une inéquation) c’est trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles l’égalité (ou l’inégalité) est vraie I Équations I 1 Équations du premier degré Propriété : Si l’on ajoute ou que l’on soustrait un même nombre à chaque membre

6 Initiation à la résolution d’équations

6 2 Résolution des équations x + a = b et a x = b Règles On peut ajouter, soustraire le même nombre dans les deux membres d’une équation sans en changer les solutions On peut multiplier, diviser, par le même nombre les deux membres d’une équation sans en changer les solutions Exemples : x + 45 = 458 7 + x = 23 x – 5 = 12

Chapitre 7 Fonctions : équations et inéquations

1 Résolution d'équations 1 1 Résolution d'une équation de la forme f(x) = k (avec k 2R) Résoudre l'équation f(x) = k consiste à chercher les nombres x tels que f(x) = k Cela revient à déterminer les antécédents de k par f 1 1 1 Résolution algébrique On utlise la méthode classique de résolution d'une équation, à savoir :

Feuille d’exercices – Chapitre 13 : Résolution d’équations

Feuille d’exercices – Chapitre 13 : Résolution d’équations Test d’égalité Exercice n°1 : On considère l’équation 3 – 12x = – 7 – 14x 1 a Calculer la valeur de 3 – 12x pour x = – 5 b Calculer la valeur de – 7 – 14x pour x = – 5 2 Que peut-on en déduire ? Exercice n°2 : Dans chaque cas, dire si le nombre

Résolution déquations du premier degré à une inconnue (NC6

Résolution d'équations du premier degré à une inconnue (NC6) Une équation est une égalité dont on ne sait pas si elle est vraie ou fausse, qui contient une ou plusieurs lettres appelées inconnues Les équations sont un outil puissant permettant de résoudre de nombreux problèmes grâce à la mise en équation du problème

Résoudre une équation différentielle

Résoudre une équation différentielle Ce do ument a pour ut de montrer, étape par étape, la résolution générique d’une équation différentielle à coefficients constants (« EDCC ») Merci à J Crasborn pour ses explications Mise à jour : 12/12/2009 Étape 1 Regrouper dans le premier membre tout ce qui concerne la fonction inconnue

résolution déquatiuons à laide dExcel

Résolution d'équations exponentielles et logarithmiques à l'aide d'Excel Comme dans la recherche de racines d'équation polynomiales, il peut être d'une très grande utilité d'utiliser le solveur d'Excel afin de résoudre des équations contenant des fonctions exponentielles ou logarithmiques

Introduction aux équations aux dérivées partielles (EDP)

Note : dans la suite, on utilisera indi éremmentà la placede f, les notations uou z Une telle équation est dite d'ordre mquand elle contient au moins une dérivée d'ordre msans en contenir d'autres d'ordre supérieur outeT fonction u= f(x 1, ,x n) qui satisfait identiquement à cette équation est une solution de celle-ci

LA RESOLUTION DES EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE

→ En ce qui concerne la résolution d’équation Une équation comme « 48 = 3x + 12 » est résolue correcte-ment par 54 des élèves Une équation comme « 4z − 5 = 2z + 1 » est résolue

Résolution d'équations et d'inéquations

Résoudre une équation (ou une inéquation) c'est trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles l'égalité (ou l'inégalité) est vraie.

I. Équations

I.1. Équations du premier degré

Propriété : Si l'on ajoute ou que l'on soustrait un même nombre à chaque membre d'une équation, on obtient une équation équivalente (c'est à dire qui a les mêmes solutions). x+4=7 x+4-4=7-4 x=3 NB : On peut voir les deux membres d'une équation comme les deux plateaux d'une même balance équilibrée. On ajoutant ou soustrayant la même quantité sur les deux plateau la balance est toujours équilibrée !

1) Résoudre les équations suivantes

x nombre non nul, on obtient une équation équivalente. 8 x=24 8x 8=248 x =32) Résoudre les équations suivantes

2x+3=0

4x-5=8 1

2x+7=0 2x+4=x-5 -8x+7=5x+4

-4x+5=2x-8 -1

3x+4=5

6 2x+7=-5x+(-3) 2x=3x

2x+3=2x+5 6x-(2x3)=4x-3

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I.2. Équation produit-nul

Propriété : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des deux facteurs est nul. (3x-5)(x+2)=0

3x-5=0 ou x+2=0

x=5

3ou x=-2Avec une équation du second degré on peut parfois factoriser pour se

ramener à cette situation.

Grâce à un facteur commun :

(2x+3)(3-7x)+(3-7x)∗2x=0 (3-7x)(2x+3+2x)=0(3-7x)(4x+3)=0 3-7 x=0 ou 4x+3=0 -7x=-3ou 4x=-3x=3/7ou x=-3/4

Grâce à une identité remarquable :

2+2x+1=0

(x+1) 2=0 x +1=0x=-1 En fait, dans les deux situations on se ramène à des équations du premier degré (que l'on sait résoudre!)

3) Résoudre les équations suivantes :

x2+3=03x2-2x=7xx2 -3=0(7-x)2=2 (x-2)2=9(2x-1)2-(7x+3)2=0 (2x-3)(4+7x)+(2x-3)(x+4)=0 (3x-5)2=(2x-3)(3x+5)

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I.3. Équation-quotient

Propriété : Un quotient est défini si et seulement si son dénominateur est non nul. S'il est défini, un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul.2x-4x +1=0Cette équation n'a de sens que si x+1≠0 c'est à dire si x≠-1.

Elle est vérifiée lorsque :

2x-4=0

2x=4 x=2

4) Déterminer les valeurs interdites de ces expressions :

A =3x +1+2x -1B =2x+5x -2-3 2x+1C =2 (2x-5)(6-7x)+x+1x

5) Résoudre après avoir éliminé la ou les valeurs interdites :

3x+1

2+6x=010x-15

12-8x=0

(-6x+5)(3x-1) (7+3x)(6x-2)=02

3x+1=5

2x2+1

3+x=2x3x

-1=4 1-2x II. Système de deux équations à deux inconnues

II.1. Résolution par substitution

L'idée est de remplacer l'une des inconnues par une fonction de l'autre {y-2x=5 y-4x=-2⇔{y=5+2x y-4x=-2⇔{y=5+2x

5+2x-4x=-2⇔{y=5+2x

x=7

2⇔{y=5+2∗(7

2) x=7

2⇔{x=7

2 y=12

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6) Résoudre les systèmes suivants par substitution :{x+y=3x

-y=1{x+y=15

2x+y=21{2x-y=4

5x-y=1{3x+2y=1x

+2y=3II.2. Résolution par combinaison linéaire On cherche dans ce cas à éliminer l'une des inconnues en combinant judicieusement les deux équations Si on reprend l'exemple de tout à l'heure pour bien comprendre la différence entre les deux méthodes : {y-2x=5 y-4x=-2 (1)-(2) élimine y (2)-2∗(1) élimine x On peut donc utiliser au choix l'une de ces combinaisons linéaires pour résoudre le système.

Avec(1)-(2), on obtient

y -2x-(y-4x)=5-(-2)-2x+4x=7 2x=7 x=7/2 puis avecy-2x=5 on remplace x par 7/2, on obtient y=2∗7/2=5c'est à direy=12

7) Résoudre par combinaison linéaire les systèmes suivants :

{x+y=3x -y=1{x+y=15

2x+y=21{2x-y=4

5x-y=1{3x+2y=1x

+2y=3III. Inéquation

III.1.Manipuler les inéquations

Pour résoudre une inéquation on peut, comme pour les équations, modifier progressivement l'expression pour isoler x. Par exemple : 2x +4<0 2x +4<0 2x<-4 x<-2

2x-4 est négatif lorsque x est inférieur à -2

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5/6 Attention il y a une nouvelle règle par rapport aux équations. Lorsqu'on multiplie ou divise à gauche et à droite par un nombre négatif on change le sens de l'inéquation.

Par exemple :

-2x+4<0 -2x<-4 on divise par -2 donc on change le signe de l'inéquation qui devient :x>2

8) En manipulant les inégalités, résoudre les inéquations suivantes :

III.2. Utiliser un tableau de signe

III.2.1. Pour les fonctions affines

Si a>0

Si a<0

9) Résoudre chacune des inéquations à l'aide d'un tableau de signes

2x 7 4x-7

5≥0

III.2.2. Pour des inéquations du 2nd degré se ramenant au premier degré

Si l'on souhaite par exemple résoudre :

(-x-5)(8+2x)≥0, on s'intéresse à chaque membre du produit en faisant un tableau de signe

Maths seconde séq1 " Nombres et calculs » chap 4 " Résolution d'équations et d'inéquations »x

ax+b-∞+∞-b/a 0 x ax+b-∞+∞-b/a 0- 6/6 Ici on lit dans le tableau que (-x-5)(8+2x)≥0lorsque x∈[-5;-4].

10) De la même manière que précédemment, résoudre :

•(2x+7)(3x-2)>0 (2x+3)(3x+4)(5-4x)<0• -5x-2 -13x+7<0•-x+8

5-2x≥0

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Résolution d'équations et d'inéquations

I. Équations

I.1. Équations du premier degré

1) Résoudre les équations suivantes

2x+3=0

4x-5=8 1

2x+7=0 2x+4=x-5 -8x+7=5x+4

3x+4=5

6 2x+7=-5x+(-3) 2x=3x

2x+3=2x+5 6x-(2x3)=4x-3

I.2. Équation produit-nul

3x-5=0 ou x+2=0

3ou x=-2Avec une équation du second degré on peut parfois factoriser pour se

Grâce à un facteur commun :

Grâce à une identité remarquable :

2+2x+1=0

3) Résoudre les équations suivantes :

I.3. Équation-quotient

Elle est vérifiée lorsque :

2x-4=0

4) Déterminer les valeurs interdites de ces expressions :

5) Résoudre après avoir éliminé la ou les valeurs interdites :

2+6x=010x-15

12-8x=0

3x+1=5

3+x=2x3x

II.1. Résolution par substitution

5+2x-4x=-2⇔{y=5+2x

2⇔{y=5+2∗(7

2⇔{x=7

6) Résoudre les systèmes suivants par substitution :{x+y=3x

2x+y=21{2x-y=4

5x-y=1{3x+2y=1x

Avec(1)-(2), on obtient

7) Résoudre par combinaison linéaire les systèmes suivants :

2x+y=21{2x-y=4

5x-y=1{3x+2y=1x

III.1.Manipuler les inéquations

2x-4 est négatif lorsque x est inférieur à -2

Par exemple :

8) En manipulant les inégalités, résoudre les inéquations suivantes :

III.2. Utiliser un tableau de signe

III.2.1. Pour les fonctions affines

Si a>0

Si a<0

9) Résoudre chacune des inéquations à l'aide d'un tableau de signes

5≥0

Si l'on souhaite par exemple résoudre :

10) De la même manière que précédemment, résoudre :

5-2x≥0