SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES
9) Une suite arithmétique u est telle que uu23++u4=15 et u6 =20 Calculez u0 Exercice n°4 Albert place un capital initial C 0 = 3000 € à un taux annuel de 6 , les intérêts étant simples, c’est-à-dire que le capital
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
La suite arithmétique (u n) définie par u n+1 =u n −4 et u 0 =5 est décroissante car de raison négative et égale à -4 3) Représentation graphique Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont alignés Exemple : On a représenté ci-dessous la suite de raison -0,5 et de premier terme 4 II Suites
Chapitre 2 Rappels sur les suites arithmétiques et les
La suite (u n) n∈N est arithmétique si et seulement si la suite (u n+1−u n) n∈N est constante Commentaire La valeur de cette constante est alors la raison de la suite arithmétique (u n) n∈N C’est la définition 2 qui le plus souvent est utilisée dans la pratique pour montrer qu’une suite est arithmétique ou n’est pas
Suites arithmétiques et géométriques - Corrigé
donc la suite est constant, égal à est géométrique de raison et de premier terme b) Exprimer en fonction de et en fonction de (Suite arithmétique) (Suite géométrique) Exercice 2 1) La suite est une suite arithmétique sont on connaît deux termes : et a) Calculer le premier terme et la raison de la suite
SUITES ARITHMETIQUES
des termes d’une suite arithmétique et la somme des termes d’une suite arithmétique PARTIE 1 1 Considérons le programme ALGO1 ci-contre a Saisir ce programme b Ce programme permet de calculer des termes de laquelle des 3 suites (u n) suivantes ? - Pour n entier : u n = n+3 - u 0 = 2 et u n+1 = u n + 3 - u 0 = 2 et u n = u n + 3
I Les suites arithmétiques I1 Ce que l’on sait déjà
Soit (tn) la suite arithmétique de raison r=−2 et de premier terme t0=10 Par exemple : t300 = t0+300×r = 10+300×(−2) = −590 Propriété n°5 Somme des n premiers termes d’une suite arithmétique La somme des n premiers termes d’une suite arithmétique vaut : S = nombre de termes × premier terme + dernier terme 2 Méthode n°1
Suites : exercices
n) la suite arithmétique telle que U 4 =5 et U 11 =19 Calculer la raison r et U 0 Exercice 5 : Soit (U n) la suite géométrique de premier terme U 0 =7 et de raison q =3 a) Exprimer U n en fonction de n b) Calculer U 5 Exercice 6 : On suppose que chaque année la production d’une usine subit une baisse de 4
Suites arithmétiques et géométriques
n une suite arithmétique de raison r "R (et de terme initial u 0) Quelque soit n "N, u n r n u 0: Remarques 1 Nous dirons que nous avons une formule explicite des terme de la suite, par opposition à la formule de récurrence Nous pouvons trouver directement les avleurs des termes de la suite sans avoir besoin de recalculer tous les termes
DM de mathématiques n 4: S1 Suites arithmétiques et
Calculer la somme S=1−2 4−8 16−32 1024 Justifier Exercice 2 Pour tout entier n 1,Ln est l'aire de la partie du plan comprise entre deux demi-cercles successifs sur la figure ci-contre 1) Montrer que la suite Ln n 1 est arithmétique 2) Calculer la somme Sn=L1 L2 Ln Exercice 3 On dispose d'un carré de côté 1
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1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frSUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES Vidéo https://youtu.be/pHq6oClOylU I. Suites arithmétiques 1) Définition Exemples : a) Considérons une suite numérique (un) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5. Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successifs sont : u0 = 3, u1 = 8, u2 = 13, u3 = 18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3. La suite est donc définie par : 0
1 3 5 nn u uu. b) Soit la suite numérique (vn) de premier terme 5 et de raison -2. Les premiers termes successifs sont : v0 = 5, v1 = 5 - 2 = 3, v2 = 3 - 2 = 1, v3 = 1 - 2 = -1. La suite est donc définie par :
v 0 =5 v n+1 =v n -2. Définition : Une suite (un) est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que pour tout entier n, on a : 1nn
uur. Le nombre r est appelé raison de la suite. 2) Variations Propriété : (un) est une suite arithmétique de raison r. - Si r > 0 alors la suite (un) est croissante. - Si r = 0 alors la suite (un) est constante. - Si r < 0 alors la suite (un) est décroissante.
2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frDémonstration :
u n+1 -u n =u n +r-u n =r . - Si r > 0 alors u n+1 -u n >0 et la suite (un) est croissante. - Si r < 0 alors u n+1 -u n <0 et la suite (un) est décroissante. Exemple : La suite arithmétique (un) définie par u n+1 =u n -4 et u 0 =5est décroissante car de raison négative et égale à -4. 3) Représentation graphique Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont alignés. Exemple : On a représenté ci-dessous la suite de raison -0,5 et de premier terme 4. II. Suites géométriques 1) Définition Exemples : a) Considérons une suite numérique (un) où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 2. Si le premier terme est égal à 5, les premiers termes successifs sont : u0 = 5, u1 = 10, u2 = 20, u3 = 40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5. La suite est donc définie par :
u 0 =5 u n+1 =2u n b) Soit la suite numérique (vn) de premier terme 4 et de raison 0,1.3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frLes premiers termes successifs sont : v0 = 4 v1 = 0,1 x 4 = 0,4 v2 = 0,1 x 0,4 = 0,04 v3 = 0,1 x 0,04 = 0,004 La suite est donc définie par :
v 0 =4 v n+1 =0,1×v n. Définition : Une suite (un) est une suite géométrique s'il existe un nombre q, strictement positif, tel que pour tout entier n, on a :
u n+1 =q×u n. Le nombre q est appelé raison de la suite. Exemple concret : On place un capital de 500€ sur un compte dont les intérêts annuels s'élève à 4%. Chaque année, le capital est multiplié par 1,04. Ce capital suit une progression géométrique de raison 1,04. On a ainsi : u
1 =1,04×500=520 u 2 =1,04×520=540,80 u 3 =1,04×540,80=562,432De manière générale : u
n+1 =1,04×u n avec u 0 =5002) Variations Propriété : (un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 strictement positif. - Si q > 1 alors la suite (un) est croissante. - Si q = 1 alors la suite (un) est constante. - Si 0 < q < 1 alors la suite (un) est décroissante. Exemple : La suite géométrique (un) définie par
u 0 =5 u n+1 =0,5u n est décroissante car la raison est strictement inférieure à 1.4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr RÉSUMÉS (un) une suite arithmétique - de raison r - de premier terme u0 Exemple : r=-0,5
et u 0 =4Définition
u n+1 =u n +r u n+1 =u n -0,5La différence entre un terme et son précédent est égale à -0,5. Variations Si r > 0 : (un) est croissante. Si r < 0 : (un) est décroissante. r=-0,5<0
La suite (un) est décroissante. Représentation graphique Remarque : Les points de la représentation graphique sont alignés. (un) une suite géométrique - - de raison q > 0 - de premier terme u0 > 0 Exemple : q=0,5
et u 0 =5Définition
u n+1 =q×u n u n+1 =0,5×u nLe rapport entre un terme et son précédent est égal à 0,5. Variations Si q > 1 : (un) est croissante. Si 0 < q < 1 : (un) est décroissante. q=0,5<1
La suite (un) est décroissante. Représentation graphique Remarque : Si q < 0 : la suite géométrique n'est ni croissante ni décroissante. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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