Suite de Fibonacci, nombre dor
1 La suite de Fibonacci 1 1 Définition Théorème et définition : Il existe une unique suite (F n)n∈N d’entiers naturels satisfaisant aux conditions : F 0 = 0 , F 1 = 1 , ∀n ∈ N F n+2 = F n+1 + F n On la nomme suite de Fibonacci Les entiers figurant dans cette suite sont appelés nombres de Fibonacci 3
SUR LA SUITE DE FIBONACCI - Université de Montréal
SUR LA SUITE DE FIBONACCI BorneinférieurepourletempsdecalculdeF(200) Onavuplushaudque F(200)>2 805×1041 QuelseraitletempsdecalculdeF(200)aveclaprocédure
La suite de Fibonacci - Free
expression explicite de la suite de Fibonacci Ainsi, cette partie est indépendante de la précédente : on ne pourra utiliser aucun résultat de la partie II On note R le rayon de convergence de la série entière X n>0 Fnx n et on désigne par f la somme de cette série entière sur son intervalle de convergence III 1) Montrer que jFnj6
Jouons avec les nombres d’une suite de Fibonacci
La suite de Fibonacci À propos de la succession des nombres 1, , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, etc Vers l’an 1200, Leonardo Fibonacci se pose la question suivante : combien de couples de lapins pouvons-nous obtenir à la fin d’une année si, commençant en début du premier mois avec un seul
Sujet TD : Fibonacci, matrice, diagonalisation
Sujet TD : Fibonacci, matrice, diagonalisation Dominique Michelucci, Universit´e de Dijon La suite de Fibonacci est d´efinie par : F0 = 0,F1 = 1,n > 1 ⇒ Fn = Fn−2 +Fn−1
Nombres de Fermat, Mersenne et Fibonacci
3Nombres de Fibonacci On définit la suite (f n) des nombres de Fibonacci par : 8 >> >> < >> >>: f0 = 0 f1 = 1 f n+2 = f n+1 +f n pour tout n2N Théorème — Pour tout m>n, PGCD(f m;f n) = fPGCD(m;n) Démonstration Le principe est similaire à celui mis en oeuvre pour les nombres de Mersenne 2
Généralités sur les suites
3 Déduisez-en une formule explicite de la suite de Fibonacci 4 Calculez la somme S ndes npremiers termes de la suite de Fibonacci en fonction de n"N Correction exercice 2 1 (a) Supposons que v n est une suite géométrique qui véri e P Nous avons donc, pour tout n"N u n 2 u n 1 u n: Autrement dit, en utilisant la formule explicite de la
LOGIQUE & CALCUL La suite de Stern-Brocot, sœur de Fibonacci
Comme la suite de Fibonacci, on la retrouve au centre d’un réseau infini de relations qui en font l’un des plus fascinants objets des mathématiques discrètes Sa définition res-semble à celle de la suite de Fibonacci La suite diatomique de Stern est le résultat des petites équations suivantes: s 0 = 0 ; s 1 =1; s 2n = s n; s 2n + 1
ycéLe Carnot Septembre 2006 - Free
ycéLe Carnot Septembre 2006 ECS 4 Mathématiques A Troesch Correction du Devoir Maison n o 1 Exercice 1 (Autour de la suite de Fibonacci) 1 Les 10 premières alevurs de (F
Sujet du bac 2018 en mathématiques, Liban
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité On définit la suite de réels (an) par : 8 >> < >>: a0 ˘0 a1 ˘1 an¯1 ˘an ¯an¡1 pour n ˚1 On appelle cette suite la suite de Fibonacci 1 Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’à la fin de son exécution la variable A contienne le terme an 1 A ˆ0 2 B ˆ1 3
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86]Logique & calcul© Pour la Science - n°420 - Octobre 2012
T out le monde connaît la suite de Leonardo Fibonacci, défi- nie par: f 0 =0; f 1 =1; f n+2 =f n +f n+1 . Chaque terme est la somme des deux précédents et le début de la suite est0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... Elle apparaît dans
des contextes variés et possède une multi- tude de propriétés remarquables, au point qu'une revue de mathématiques lui est entiè- rement dédiée: le Fibonacci Quaterly,jour- nal officiel de la Fibonacci Association (http://www.fq.math.ca/).Cette merveille arithmétique et com-
binatoire a une soeur, moins célèbre, mais aussi intéressante, la suite diatomique deStern. Elle est connue aussi sous le nom
de suite de Stern-Brocot ou fonction fusc.Comme la suite de Fibonacci, on la retrouve
au centre d'un réseau infini de relations qui en font l'un des plus fascinants objets des mathématiques discrètes. Sa définition res- semble à celle de la suite de Fibonacci. La suite diatomique de Stern est le résultat des petites équations suivantes: s0 = 0 ; s 1 =1; s 2n = s n ; s2n + 1
= s n + s n + 1Autrement dit, elle commence par 0, 1,
puis, pour la connaître en m, si mest pair, on regarde sa valeur en m/2, et si mest impair, on coupe men deux parties aussiégales que possible, on regarde les valeurs
correspondantes et on additionne.Le nom de la suite est celui du mathé- maticien Moritz Stern qui l'a mentionnée et étudiée dans un article de 1858. Stern était un élève de Gauss, à qui il succéda à la tête du Département de mathématiques1878), il était horloger et s'intéressait aux
fractions pour ses mouvements d'horloge.Depuis une dizaine d'années, la suite a
fait l'objet d'une attention soutenue, condui- sant à de nombreuses et jolies découvertes.L'adjectif diatomique provient de la formule
s2n + 1
=s n + s n + 1 , qui signifie que les termes nouveaux de la suite naissent de la somme de deux termes, ou atomes, précédents.Les premiers éléments de la suite
sont indiqués au bas de la page. Elle semblecomplexe et impénétrable. Elle est bien sûr recensée dans l'encyclopédie des suites numériques de Neil Sloane, sous le numéroA002487 (voir http://oeis.org/). Son graphe
est un peu plus parlant (voir l'encadré 1), car on perçoit des régularités et même un aspect fractal: des formes semblables appa- raissent à diverses échelles.Dispositions en tableauxIl existe plusieurs méthodes pour en dis-
poser les termes qui aident à en dévoiler l'ordre secret. La première disposition gra- phique révélatrice, nommée Tableau tassé de Stern, consiste à oublier le 0 du début et à faire des retours à la ligne après 1, 2,4, 8 termes, etc. .
On remarque que la somme des éléments
de la ligne n vaut exactement 3 n , ce qu'un peu de travail mathématique permet de ALa suite de Stern-Brocot, soeur de Fibonacci
Si la définition de la suite diatomique de Stern est simple, sa structure est riche de propriétés. Elle est le noeud central d'un vaste réseau de relations dont on découvre chaque année des prolongements.Jean-Paul DELAHAYEREGARDS
LOGIQUE & CALCULmathématiques
1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1, 6, 5, 9, 4, 11, 7, 10, 3, 11, 8, 13, 5, 12, 7,
9, 2, 9, 7, 12, 5, 13, 8, 11, 3, 10, 7, 11, 4, 9, 5, 6, 1, 7, 6, 11, 5, 14, 9, 13, 4, 15, 11, 18, 7, 17, 10, 13, 3, 14, 11, 19, 8, 21, 10, 7, 11, 4, 9, 5, 6,1, 77, 6, 11, 5, 14, 9, 13, 4, 15,, 111, 18, 7, 17,, 10, 133, 3, 1144, 11, 199
9, 8, 211,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 823 4 5 6 7 89
10 11 2 3 4 5 6 7 82
3 4 5 6 79
10 3 5 7 9 11 13 15 17 195
7 9 11 13 15 3 5 7 9 11 13 15 17 2 3 4 5 6 7 8 9 5 8 11 14 17 20 23
265
8 11 14 17 20 234
7 10 13 16 19 22
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11 15 19 23
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25
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7 10 13 16 19 225
9 13 17 21
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299 ...
14 ...
19 ...
24 ...
29 ...
34 ...
31711 15 19 23
27
Moritz Stern (1807-1894)
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Regards
© Pour la Science - n°420 - Octobre 2012
D ans cette représentation des premiers éléments de la suite diato- mique de Stern-Brocot, on porte en abscisse le numéro de chaque élément dans la suite et en ordonnée sa valeur. On voit apparaître desstructures à plusieurs échelles, comme c'est le cas pour les images frac-tales. Ces structures témoignent que, malgré son apparence désordon-
née, la suite diatomique de Stern contient un ordre caché et même une simplicité inattendue. L'intérêt qu'on lui porte depuis quelques années le confirme spectaculairement.