TRIGONOMÉTRIE 2 Trigonométrie
2 Trigonométrie 2 1 Utilité de la trigonométrie Ancien théodolite Le problème de base de la trigonométrie est à peu près celui-ci : Vous vous tenez sur la rive d'un fleuve large et vous voulez savoir par exemple la distance d'un arbre situé de l'autre côté, désigné sur le schéma par la lettre C (pour simplifier ignorons la 3ème
Cours Trigonometrie 2nde - Maths Stan
2 2 i ; j = Remarque : Dans la définition précédente, [2π] remplace 2 dans la somme kπ π π 2k 2 + et se lit modulo 2 π Théorème 2:Soit M un point d’un cercle trigonométrique C, de centre O, associé à un repère (O i; , j) tel que (OI ,OM )=x [2π], alors les coordonnées du point M sont données par M(cos x,sin x) Démonstration :
Chapitre 12 : Trigonométrie (partie 2)
α a = 2 A" ide A 20 fait le sol horizontal au (rayons verti-caux de (distance BD de 15 m m m 67 Utiliser la trigonométrie du triangle rectangle (1) 15 l’angle MLNcalculer la longueur du segment [LN] arrondie au dixième K N M L m m 16 AB[ ] cm compas, triangle ABCen Bque BAC = 60° On pourra utiliser la calculatrice 17 est forme
TRIGONOMÉTRIE (Partie 2)
Pour tracer la courbe représentative de la fonction cosinus ou de la fonction sinus, il suffit de la tracer sur un intervalle de longueur 27 et de la compléter par translation 3) Parité On a vu que : 1) sin(−0)=−sin0 2) cos(−0)=cos0 Remarque : On dit que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire
TRIGONOMÉTRIE (II) EXERCICES
2 i Exercice 2 : 1 On considère un nombre réel x de l’intervalle h 0; π 2 i tel que sin(x)= 1 4 a Déterminer la valeur la valeur exacte de cos(x) b Déterminer, à l’aide de la calculatrice en mode radian, une valeur approchée de x au millième près c Vérifier à l’aide de la calculatrice le résultat obtenu à la question
CHAPITRE 6-7 : TRIGONOMÉTRIE
de la division 5 APPLICATIONS DE LA TRIGONOMÉTRIE 5 1 Calcule des longueurs et des aires C'est, étant donné un côté et deux angles adjacents, ou un angle et deux côtés adjacents, ou à la rigueur deux côtés b et c et l'angle B, trouver le triangle correspondant, c'est-à-dire, a, b, c, A, B, C (et vérifier une des règles non
Cours de trigonométrie (troisième)
Enoncé 3 : utilisation des formules de trigonométrie Soit x la mesure d’un angle aigu tel que cos x = 0,4 1) Calculer la valeur exacte de sin x 2) En déduire la valeur exacte de tan x 1) On a sin 2 x + cos 2 x = 1 D’où sin 2 x + 0,4 2 = 1 sin 2 x + 0,16 = 1 sin 2 x = 0,84 sin x = - 0,84 ou sin x = 0,84
NOM : TRIGONOMETRIE 4ème
Soit la figure suivante (qui n’est pas en vraie grandeur) où : ABC est un triangle rectangle en B; AC = 13 cm et BC = 12 cm B C A 1) Calculer la mesure de l’angle \BCA (On arrondira au degré) 2) O désigne le milieu de [AC] a) Déterminer la longueur OB b) Déterminer la mesure de l’angle \BOA D LE FUR 11/ 50
Formulaire de trigonométrie circulaire
Formulaire de trigonométrie circulaire A 1 B x M H K cos(x) sin(x) tan(x) cotan(x) cos(x) = abscisse de M sin(x) = ordonnée de M tan(x) = AH cotan(x) = BK eix = zM b b b b b b b Pour x /∈ π 2 +πZ, tan(x) = sin(x) cos(x) et pour x /∈ πZ, cotan(x) = cos(x) sin(x) Enfin pour x /∈ π 2 Z, cotan(x) = 1 tan(x) Valeurs usuelles x en 0
Trigonométrie en 1S : Une activité pour bien démarrer
Trigonométrie en 1S : Une activité pour bien démarrer ♠ Exercice 1 1) a) Quelle est la distance parcourue sur un cercle de rayon 1 à partir de si on fait 1 tour
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1
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES - Chapitre 2/2
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/wJjb3CSS3cgPartie 1 : Cosinus et sinus d'un nombre réel
1) Définitions et propriétés
Exemple :
A l'aide du cercle trigonométrique, il
est possible de lire le cosinus et le sinus d'un nombre.Le cosinus se lit sur l'axe des abscisses
et le sinus sur l'axe des ordonnées.Définitions : Soit M le point du cercle trigonométrique associé au nombre ! (qui est un angle
orienté). - Le cosinus de ! est l'abscisse de M et on note "#$(!). - Le sinus de ! est l'ordonnée de M et on note $'((!). 2Propriétés :
2) cos
(!)+sin (!)=1Remarque : (sin(!))
2 , par exemple, se note sin 2Démonstrations :
1) Le cercle trigonométrique est de rayon 1 donc :
2) Dans le triangle OHM rectangle en H, le théorème de Pythagore
permet d'établir que : cos 2 (!) + sin 2 (!) = OM 2 = 1.2) Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus :
Vidéo : https://youtu.be/ECNX9hnhG9U
x 0 4 6 4 4 4 3 4 2 4 cos(!) 1 3 2 2 2 1 2 0 -1 sin(!) 0 1 2 2 2 3 2 1 0 3Démonstrations au programme :
• Démontrons que : sin: 4 2 2Vidéo https://youtu.be/b2-EQupZUp8
La mesure
radian est à égale à la mesure 45°. Le triangle OHM est rectangle est isocèle en H, en effet l'angle <=> est égal à :180 - 90 - 45 = 45°.
Donc HO = HM et donc : sin:
4 ;=cos: 4Or, cos
4 ;+sin 4 ;=1Soit :
sin 4 4 ;+sin 4 4 ;=1 2sin 4 4 ;=1 sin 4 4 1 2 sin: 4 4 1 2 1 2 2 2 • Démontrons que cos: 3 1 2 et sin: 3 3 2Vidéo https://youtu.be/4R1i5Vj72Ls
La mesure
radian est à égale à la mesure 60°. Le triangle OMA est isocèle en O, en effet OA = OM.Donc les angles <=A
et =A< sont égaux à : (180 - 60) : 2 = 60°.Le triangle OMA est donc équilatéral. Ainsi, la hauteur (MH) est également une médiatrice
du triangle. Elle coupe donc [OA] en son milieu.On a donc : cos:
3 1 2Or, cos
3 ;+sin 3 ;=1Soit :
B 1 2 C +sin 4 3 ;=1 sin 4 3 ;=1-B 1 2 C sin 4 3 ;=1- 1 4 sin 4 3 3 4 sin: 4 3 3 4 3 2 4 Méthode : Lire sur le cercle trigonométriqueVidéo https://youtu.be/m6tuif8ZpFY
Déterminer la valeur exacte de : a) cos:
5! 6 ; b) sin: 5! 4Correction
a) On sait que cos: 6 3 2 Par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, on en déduit que : cos: 5! 6 3 2 b) On sait que sin: 4 2 2 Par symétrie par rapport à l'origine O, on en déduit que : sin: 5! 4 2 2 5 Méthode : Résoudre une équation trigonométriqueVidéo https://youtu.be/NlV2zKJtvc8
Dans chaque cas, déterminer la ou les valeurs de !, tels que : a) cos(!)= , avec !∈ 0;24 b) sin(!)=- , avec !∈ -4;4Correction
a) et conviennent car appartiennent à l'intervalle 0;24 - On a en effet : cos: 6 - Et par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, on a : cos: 11! 6 b) - 6 et - 5! 6 conviennent car appartiennent à l'intervalle -4;4 - On a en effet : sin: 6 Donc, par symétrie par rapport à l'axe des abscisses : sin:- 6 1 2 - Et par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées : sin:- 5! 6 1 2Partie 2 : Fonctions cosinus et sinus
1) Définitions et représentations graphiques
Définitions :
- La fonction cosinus est la fonction définie sur ℝ qui, à tout réel !, associe cos(!).
- La fonction sinus, est la fonction définie sur ℝ qui, à tout réel !, associe sin(!). 6Fonction cosinus
Fonction sinus
2) Périodicité
Propriétés : 1) cos(!)=cos
!+2K4 où K entier relatif.2) sin(!)=sin
!+2K4 où K entier relatif. Démonstration : Aux points de la droite orientée d'abscisses ! et !+2K4 ont fait correspondre le même point du cercle trigonométrique.Remarque :
On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période LM. Cela signifie qu'on retrouve le même morceau de courbe sur chaque intervalle de longueur 24.7
3) Parité
Définitions : - Une fonction dont la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
est une fonction paire. - Une fonction dont la courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère est une fonction impaire.Remarques :
- Pour une fonction paire, on a : N =N - Pour une fonction impaire, on a : N =-N Ce sont ces résultats qu'il faudra vérifier pour prouver qu'une fonction est paire ou impaire.Propriétés :
- La fonction cosinus est paire et on a : cos =cos(!) - La fonction sinus est impaire et on a : sin =-sin(!)Démonstration :
Les angles de mesures ! et -! sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses donc : sin =-sin! et cos =cos!. 8Remarques :
- La courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. - La courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine. Méthode : Reconnaître graphiquement la parité et la périodicité d'une fonctionVidéo https://youtu.be/RV3Bi06nQOs
Déterminer graphiquement la parité et la périodicité des fonctions N, P et ℎ représentées ci-
dessous :Correction
FONCTION R : - La fonction N est paire car sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. 9 - La fonction N est périodique de période 4 car on retrouve le même morceau de courbe sur chaque intervalle de longueur 4. FONCTION S : - La fonction P est impaire car sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. - La fonction P est périodique de période car on retrouve le même morceau de courbe sur chaque intervalle de longueur 10 FONCTION T :- La fonction ℎ est paire car sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- La fonction ℎ n'est pas périodique, on ne retrouve pas le même morceau de courbe sur différents intervalles. Méthode : Étudier la parité d'une fonction trigonométrique