c os T R I ˆ
O b j e c ti f 1 : J e s a i s écrire le rapport donnant le cosinus d’un angle Exercices 1 à 4 Objectif 2 : Je sais déterminer à l’aide de la calculatrice le cosinus d’un angle aigu et la mesure d’un angle aigu Exercice numéroté 1 Objectif 3 : Je sais déterminer la longueur d’un côté
Calculer des rapports trigonométriques
6 Pour chacun des triangles rectangles ci-dessous, calculer le cosinus, le sinus et la tangente des deux angles aigus A C B 12,5 k m 7,5 km 10 km N L M 29 mm 20 mm 21 mm F D E 3,9 cm 8,9 cm 8 cm 13 cm 5 cm 12 cm G H K 4 Le triangle TOI est rectangle en T tel que OT = 3 cm, TI = 4 cm et OI = 5 cm O T I 4 cm 5 cm m c 3 • Calculer cos pTOI
Les fonctions sinus et cosinus - AlloSchool
Théorème 4 : D’après la définition des lignes trigonométriques dans le cercle, les fonctions sinus et cosinus sont 2π périodiques : T =2π ∀x ∈ R sin(x +2π)=sinx et cos(x +2π)=cosx Conséquence On étudiera les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle de 2π, par exemple ]−π;π] 2 2 3 De sinus à cosinus
Trigonométrie (EG9) Cest pour cela quon peut définir les
• Le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu sont les quotients de deux longueurs donc le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu sont des nombres positifs • Comme l'hypoténuse dans un triangle rectangle est le côté le plus grand alors le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont des nombres toujours compris entre 0 et 1
Trigonométrie
Sinus et Cosinus à partir de leur définition sur le cercle trigonométrique La courbe Cosinus est obtenue à partir du lieu du point C1 dont l'abscisse est l'angle a en Radians et l'ordonnée, l'abscisse du point M sur le cercle La courbe Sinus est obtenue à partir du lieu du point S1 dont l'abscisse est l'angle a
II Autoévaluation et évaluations formatives
Le cosinus de l’angle Aˆ se note cos Aˆ Le sinus de l’angle Aˆ se note sin Aˆ Attention Si l’amplitude de l’angle Aˆ est donnée en degré, par exemple 37°, on notera cos 37° au lieu de cos Aˆ 2) Exercices : Voici des triangles rectangles Dans chacun d’eux, exprime le cosinus et le sinus de l’angle demandé : cos ACB = ˆ
La comprehension des notions de sinus et de cosinus chez des
Dans le contexte du ttiangle rectangle, le sinus et le cosi nus sont definis pour Ies angles aigus entre 0° et 90° Si I' angle dont on cherche le sinus ou le cosinus ne fait pas deja partie d'un triangle rectangle, il faut d'abord constru ire un tel triangle Le sinus est alors le rapport de Ia mesure
Les fonctions sinus et cosinus - Sénégal Education
Théorème 4 : D’après la définition des lignes trigonométriques dans le cercle, les fonctions sinus et cosinus sont 2π périodiques : T =2π ∀x ∈ R sin(x +2π)=sinx et cos(x +2π)=cosx Conséquence On étudiera les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle de 2π, par exemple ]−π;π] 2 2 3 De sinus à cosinus
Sinus et cosinus Le latin - lewebpedagogiquecom
Sinus et cosinus Le latin sinus désignait une courbure, une sinuosité, une baie ou un pli dans un vêtement Par extension, il a donné le sein (pardon pour ce mauvais jeu de mot ) Si la sinusoïde nous fait penser à cette étymologie, il faut
Chapitre n°7 : Trigonométrie
Propriété : Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l’hypoténuse Exemple : cos^ABC= côté adjacente à ^ABC hypoténuse = AB BC cos^ACB= côté adjacente à^ACB hypoténuse = AC BC Remarque : Le cosinus d’angle aigu est compris entre 0 et 1
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Terminale STrigonométrie
OLIVIER LÉCLUSE
CREATIVE COMMON BY-NC-SA
Octobre 20131.0
Table des
matièresObjectifs5
Introduction7
I - Définition - dérivabilité9 A. Construction Sinus et Cosinus.........................................................................9
B. Valeurs particulières....................................................................................10
C. Propriétés fondamentales.............................................................................11
D. Étude sur [0 ;π]..........................................................................................11
E. Exercice.....................................................................................................13
II - Parité - Périodicité15 A. Fonction périodique.....................................................................................15
B. Etude de périodicité.....................................................................................16
C. Fonctions paires..........................................................................................16
D. Fonctions impaires......................................................................................16
E. Parité des fonctions Sinus et Cosinus.............................................................17
F. Exemple de parité........................................................................................17
III - Test final sur la trigonométrie19
Solution des exercices21
Contenus annexes25
3Objectifs
Dans ce chapitre nous étudierons les fonctions Sinus et Cosinus ainsi que leurs dérivées. Nous verrons les notions de périodicité et de parité et la représentation graphique des fonctions trigonométriques. 5Introduction
Les fonctions Sinus et Cosinus permettent de décrire les sons produits par les instruments de musique et les voix. Plus généralement, elles servent pour décrire la propagation de toutes sortes d'ondes. C'est pourquoi leur étude est fondamentale pour comprendre le monde qui nous entoure.L'image ci-contre montre l'oscillogramme d'un
son de flûte. On y remarque des propriétés très particulières, caractéristiques des fonctions sinus et cosinus comme la périodicité (la manière dont la courbe se répète à intervalles réguliers) ? 7I - Définition -
dérivabilitéIConstruction Sinus et Cosinus9
Valeurs particulières10
Propriétés fondamentales11
Étude sur [0 ;π]11
Exercice13
A. Construction Sinus et Cosinus
Simulateur
Observer sur l'animation ci-dessous la construction des courbes représentatives de Sinus et Cosinus à partir de leur définition sur le cercle trigonométrique. La courbe Cosinus est obtenue à partir du lieu du point C1 dont l'abscisse est l'angle a en Radians et l'ordonnée, l'abscisse du point M sur le cercle. La courbe Sinus est obtenue à partir du lieu du point S1 dont l'abscisse est l'angle a en Radians et l'ordonnée, l'ordonnée du point M sur le cercle. Les points M et S1 ont donc même ordonnée. 9B. Valeurs particulières
Fondamental:Valeurs remarquables de sin et cos à connaître en degrés0°30°45°60°90° en radians0 10 01 De ce tableau, et à l'aide du cercle trigonométrique ci-dessus, on déduit aisément les valeurs remarquables de sinus et cosinus pour les angles entre 0 et ou entre etDéfinition - dérivabilité
10Remarque:Démonstration
Les valeurs du tableau se démontrent facilement par de la géométrie de collège. Nous avons vu précédemment la démonstration de . Le théorème de Pythagore et les symétries permettent de montrer les autres valeurs de cosinus et sinus pour les angles de 30° et 60° Pour l'angle de 45°, il suffit de savoir que la longueur de la diagonale d'un carré de coté 1 est Dès lors, par simple proportionnalité, la longueur d'un carré dont la diagonale est 1 est coté1? ? diagonale1C. Propriétés fondamentales
Fondamental:Dérivées des fonctions sin et cos (admise) Les fonctions Sinus et Cosinus sont dérivables sur et pour toutComplément
Étant dérivables, elles sont aussi continues surExemple
Soit D'après la formule sur la dérivée d'une fonction composée - p.27.D. Étude sur [0 ;π]
Définition - dérivabilité
11Fondamental:Fonction Cosinus
Variations de la fonction Cosinus sur [0 ;π]
Représentation de la fonction Cosinus sur [0 ;π]Fondamental:Fonction Sinus
Variations de la fonction Sinus sur [0 ;π]
Représentation de la fonction Sinus sur [0 ;π]Définition - dérivabilité
12E. Exercice
Soit f la fonction définie sur par
Q ue stio n 1
[Solution n°1 p 23] Justifier que f est dérivable sur et calculer f'Q ue stio n 2
[Solution n°2 p 23] En étudiant les positions relatives de Cosinus et Sinus, préciser le signe de f' sur I puis dresser le tableau de variations de la fonction f sir I Définition - dérivabilité 13II - Parité -
PériodicitéII
Fonction périodique15
Etude de périodicité16
Fonctions paires16
Fonctions impaires16
Parité des fonctions Sinus et Cosinus17
Exemple de parité17
Objectifs
Découvrir les concepts de parité et de périodicité au travers de l'exemple des fonctions Sinus et CosinusA. Fonction périodique
Définition
Une fonction f est périodique de période T sur si et seulement si par définition pour toutExemple:Sinus et Cosinus
On a vu lors de l'enroulement de la droite sur le cercle trigonométrique - p.27 qu'ajouter à x revenait à faire un tour complet du cercle trigonométrique. Ainsi les nombres et ont même image sur le cercle trigonométrique.On en déduit ainsi que pour tout , et
En d'autre termes, les fonctions Sinus et Cosinus sont périodiques de périodeComplément
, , etc... sont aussi des périodes pour Sinus et Cosinus. Généralement, on considère plutôt la plus petite période positive. Il est très fréquent de trouver des fonctions périodiques dès lors que l'on travaille avec les fonctions Sinus et Cosinus. Néanmoins la période peut varier en fonction de ce que l'on trouvera à l'intérieur des foncions Sinus et Cosinus. 15Remarque:Interprétation graphique
Les fonctions Sinus et Cosinus sont
invariantes par translation de vecteurB. Etude de périodicité
Q ue stio n
[Solution n°3 p 25] Montrer que la fonction est périodique de périodeC. Fonctions paires
Définition
Une fonction est paire si et seulement si pour toutComplément:Interprétation géométrique
La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnéesExemple:La fonction carré
La fonction est une fonction paire.
En effet, pour tout
La parabole représentant la fonction
carré admet l'axe des ordonnées pour axe de symétrie.D. Fonctions impaires
Définition
Une fonction est impaire si et seulement si pour toutParité - Périodicité
16Complément:Interprétation géométrique
La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'origine du repère.Parité - Périodicité
17Exemple:La fonction inverse
La fonction est une fonction paire.
En effet, pour tout
Les deux branches d'hyperbole
représentant la fonction inverse sont symétriques par rapport à l'origine du repère.E. Parité des fonctions Sinus et Cosinus
Fondamental
La fonction est une fonction impaire
La fonction est une fonction paire
Complément:Démonstration
Il suffit de se rappeler les propriétés fondamentales - p.28 de Sinus et Cosinus : etF. Exemple de parité
On considère
Q ue stio n 1
[Solution n°4 p 26]Déterminer la parité de f
Indices :
Il s'agit de savoir si la fonction f est paire, impaire ou rien du tout.Dans ce cas, on pourra calculer
Q ue stio n 2
[Solution n°5 p 26]Interpréter ce résultat graphiquement
Q ue stio n 3
[Solution n°6 p 26] Étudier la dérivabilité de f et la parité deCe résultat en réalité peut se généraliser à n'importe quelle fonction paire dérivable.Parité - Périodicité
18Q ue stio n 4
[Solution n°7 p 26]Soit f une fonction paire dérivable sur .
Démontrer que f' est impaire. Parité - Périodicité 19III - Test final sur la
trigonométrieIII Pour ce test d'auto-évaluation final, vous devez obtenir un minimum de 80% de bonnes réponses. En cas d'échec, révisez la section du cours qui vous a posé des difficultés et retentez à nouveau le test.Exercice 1
La fonction est :
croissante sur l'intervalle décroissante sur l'intervalle décroissante sur l'intervalleExercice 2
La fonction f définie sur l'intervalle par admet pour fonction dérivéeExercice 3
La fonction f définie sur par admet pour fonction dérivée 21Exercice 4
La fonction f définie sur par admet pour fonction dérivéeExercice 5
La fonction
est paire est impaire n'est ni paire ni impaireTest final sur la trigonométrie
22Solution des
exercices > Solution n°1 (exercice p. 13) Les fonctions Sinus et Cosinus sont dérivables sur donc la somme de ces deux fonctions est aussi dérivable sur On a > Solution n°2 (exercice p. 13) Étudier le signe de revient à étudier la position relative des courbes représentant les fonctions Sinus et Cosinus. Observons le tracé de ces deux courbes sur la calculatrice :Méthode:Résoudre l'équation Sin x= Cos x
L'observation du graphique montre qu'il nous faut déterminer les deux valeurs pour lesquelles sur l'intervalle 23Si l'on se rappelle la définition
géométrique de Cosinus et Sinus, les valeurs de x recherchées sont celles pour lesquelles l'abscisse et l'ordonnée du point M sont égales. Il nous faut donc déterminer les deux points d'intersection du cercle trigonométrique avec la droite d'équation La première correspond à la valeur remarquable dont on sait que le Sinus et le Cosinus valent tous deux La seconde correspond à la valeur remarquable dont on sait que leSinus et le Cosinus valent tous deux
Ainsi, en observant les courbes représentatives de Sinus et Cosinus, on obtient : Si donc Si donc On en déduit le tableau de variations suivant pour la fonction f sur l'intervalleSolution des exercices
24On vérifie à l'aide de la calculatrice la
représentation graphique de la fonction f sur l'intervalle > Solution n°3 (exercice p. 16)On a car on sait que la fonction Cosinus est
périodique de périodeDe plus car on
sait que la fonction Sinus est périodique de périodeDonc on a montré que
pour tout La fonction f est donc périodique de période > Solution n°4 (exercice p. 18) Solution des exercices 25Méthode
Calculons
Or on sait que
DoncLa fonction f est donc paire.
> Solution n°5 (exercice p. 18)La courbe représentative de la fonction
f admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie > Solution n°6 (exercice p. 18) f est dérivable sur car les fonctions Sinus et Cosinus le sont ainsi que les fonctions à l'intérieur : et . La composition et la somme de ces fonctions ne pose donc pas de problèmes de dérivabilité.La fonction est donc
> Solution n°7 (exercice p. 19) f étant paire, on sait que pour tout Dérivons le membre de gauche de l'égalité : d'après les propriétés de la dérivation - p.27 rencontrées précédemment. Dérivons le membre de droite :L'égalité des deux fonctions f(-x) et f(x) entraîne également l'égalité des dérivées.
On en conclut que pour tout ce qui démontre que la fonction f' est impaire.Solution des exercices
26Contenus annexes
- Dérivée de f(ax+b)Méthode
On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I et soient a et b deux nombres réelsAlors la fonction dérivée de est
Exemple
La dérivée de est
Exemple
La dérivée de est
Attention
Cette formule ne s'applique que dans le cas où la fonction contenue dans f est une fonction affine. On ne peut pas utiliser cette formule pour dériver - Correspondance entre abscisse et angleLa longueur du cercle trigonométrique
est égale à . Ainsi au point M d'abscisse on fait correspondre le point M' du cercle trigonométrique tel que l'angle .A la longueur correspond un demi-
tour, soit un angle ° etc...En règle générale, il y a
proportionnalité entre l'abscisse du point M et la mesure en degré de l'angle comme le montre le tableau ci-dessous.Abscisse du0
27point M sur la droite numérique
Angle en
degré-360°-
180°-90°-45°045°90°180
°360°
- Propriétés des fonctions sin et cosFondamental
Pour tout nombre réel x , on a :
1. et 2. 3. etRemarque:Notation
On note souvent pour désigner et pour
Complément:Démonstration des propriétés1. La première propriété découle du fait que le sinus et le cosinus sont les
coordonnées d'un point du cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1. Ces coordonnées sont donc nécessairement comprises entre -1 et 1.2. La seconde propriété découle de
l'utilisation du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OHM, sachant que3. Pour la dernière propriété, on
remarquera que si un point M correspond à un angle x par enroulement de la droite numérique, l'angle -x revient à faire un enroulement dans le sens contraire et amène à un point M' symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses. Les abscisses de M et M' sont identiques Les ordonnées de M et M' sont opposéesOn en déduit les dernières égalités.
Contenus annexes
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