1 Ensemble des nombres entiers naturels - AlloSchool
Sup Tsi - Cours de math´ematiques VIII Ensemblesdenombres 1 Ensemble N des nombres entiers naturels Axiome 1 • toute partie non vide de Nadmet un plus petit ´el´ement • toute partie non vide major´ee de Nadmet un plus grand ´el´ement
COURS ARITHMÉTIQUE Ensemble ℕℕℕℕ des entiers naturels
Il est donc suffisant d’étudier les nombres premiers dans ℕ Un entier naturel a est dit premier s’il est différent de 1 et admet comme diviseurs 1 et a 2- Recherche des entiers naturels premiers: Pour étudier si un entier a de ℕ – {0 ; 1 } est premier on peut rechercher l’ensemble des diviseurs de a : Da
1 Les nombres entiers - Dyrassa
• L'ensemble des entiers relatifs positifs est égal à l'ensemble des entiers naturels + Z N= (1 3) • L'ensemble des entiers naturels est inclus dans l'ensemble des entiers : N Z⊂ (1 4) • On veillera à ne pas confondre les termes de chiffre et d'entier : seuls les dix entiers
9 Les entiers naturels - Editions HLI
9 Les entiers naturels 105 2 a Après avoir servi 60 clients, il reste 461 − 420 = 41 mangues à vendre b 5 × 7 = 35 et 6 × 7 = 42 donc les parents ne peuvent plus vendre que 5 paquets
ENSEMBLES DE NOMBRES - Maths & tiques
Un ensemble qui ne contient pas de nombre s’appelle l’ensemble vide et se note ∅ 7 Symbole d’exclusion Le signe * exclu le nombre 0 d'un ensemble Par exemple, ℝ* est l'ensemble des nombres réels privé de 0 8 Inclusions Tous les nombres de l’ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l’ensemble des entiers relatifs ℤ
Nombres entiers, ensembles finis etdénombrement
L’ensemble des multiples entiers naturels de aest l’ensemble aN = ta¨n: nP Nu Définition 2 Exemple 3 ‚ 1 divise tous les entiers naturels mais n’est divisible que par 1 ‚ 0 est un multiple de tout entier naturel mais n’est le diviseur que de lui-même ‚ L’ensemble des diviseurs entiers naturels de 6 est t1,2,3,6u
Notion d’arithmétique et l’Ensemble des nombres entiers I) L
I) L’ensemble des nombres entiers naturels II) Diviseurs et multiples d’un nombre entier naturel III)Les nombres pairs et impairs IV)Les nombres premiers V) le plus grand commun diviseur VI) le plus petit commun multiple I) L’ensemble Les entiers naturels sont les entiers positifs Par exemple, 0, 1, 2 et 5676 sont des entiers naturels
Entiers naturels et relatifs - Université Paris-Saclay
Ce paragraphe pr´esente les axiomes des entiers naturels propos´es par Peano en 1889 et montre comment on peut d´eduire de ces axiomes toutes les propri´et´es des entiers 1 1 Les axiomes 1 1 Axiomes (Axiomes de Peano) Il existe un ensemble N dont les ´el´ements sont appel´es les entiers naturels, un ´el´ement 0 ∈ N appel´e z´ero et
~ Tronc Commun ~ L’ensemble des entiers naturels Notions sur
L’ensemble des entiers naturels - Notions sur l’arithmétique ~ Tronc Commun ~ L’ensemble des entiers naturels Notions sur l’arithmétiques Exercice 1 : Soit n un entier naturel non nul 1 Montrer que le nombre n n( )+1 est pair 2 Déterminer la parité des nombres suivants : ( ) 2 3 7 2 2 13 , 2 1 , 3 1 a n b n n c n d n n
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Sup Tsi - Cours de math´ematiques
VIII. Ensembles de nombres
1 EnsembleNdes nombres entiers naturels
Axiome 1.
toute partie non vide deNadmet un plus petit ´el´ement. toute partie non vide major´ee deNadmet un plus grand ´el´ement.Exercice 1.
- Montrer que l"ensembleE=? n?N/|sinn|Th´eor`eme 1.
Principe de r´ecurrence
On consid`ere une propri´et´ePnd´ependant d"un nombre entier naturelntelle que : -P0est vraie (initialisation)
- siP nest vraie alorsPn+1est vraie (h´er´edit´e) alors la propri´et´eP nest vraie pour toutn?N. D´emonstration.Non exigible - On consid`ere l"ensembleE={n?N/P nfausse}et on suppose queE?=∅, il admet un plus petit ´el´ementn0?= 0 et on s"int´eresse `aPn0-1.
Remarque 1.Dans le cas ou l"initialisation a lieu pourn=n0, la propri´et´e sera vraie pour toutn?n0.
Exemple 1.Montrons que4
n+ 2est un multiple de3pour toutn?N.On consid`ere la propri´et´e(P
n) : 4n+ 2est un multiple de3. -initialisation:40+ 2 = 3est un multiple de3donc la propri´et´ePnest vraie au rangn= 0.
-h´er´edit´e: supposons qu"il existe un entier natureln?Ntel queP nsoit vraie, on a alors4n+ 2 = 3k aveck?Nd"o`u4 n= 3k-2,4n+1= 12k-8et4n+1+ 2 = 12k-6 = 3(4k-2)doncPn+1est vraie. -conclusion: d"apr`es le principe de r´ecurrence, la propri´et´eP nest vraie pour toutn?N.Exercice 2.D´emontrer que pour toutn?Netx?R
+on a(1 +x)n?1 +nx.Exercice 3.Montrer que la propri´et´e"8
n+ 1est un multiple de7»est h´er´editaire, que peut-on en d´eduire?Corollaire 1.
Suite d´efinie par r´ecurrence
On consid`ere une fonctionfr´eelle ou complexe et un nombrear´eel ou complexe, il existe une unique suite
(u n)n?0d´efinie par?u0=a u n+1=f(un),pour toutn?0. D´emonstration.Non exigible - On suppose qu"il existe deux suites distinctes (u n)n?0et (vn)n?0et on consid`ere la propri´et´e (P n) :un=vn.Exercice 4.D´emontrer que la suite?u0= 0
u n+1= 2un+ 1,pour toutn?0d´efinie par r´ecurrence admet pour forme expliciteu n= 2n-1,pour toutn?0. Sup Tsi - Cours de math´ematiquesVIII. Ensembles de nombresRemarque 2.On peut ´egalement d´efinir une suite par r´ecurrence sur lesdeux termes pr´ec´edents en donnant
u0etu1en condition initiale.
Corollaire 2.
Principe de r´ecurrence avec pr´ed´ecesseurs On consid`ere une propri´et´ePnd´ependant d"un nombre entier naturelntelle que : -P0est vraie (initialisation)
- siP0etP1et...etPnsont vraies alorsPn+1vraie (h´er´edit´e forte)
alors la propri´et´eP nest vraie pour toutn?N. D´emonstration.Non exigible - On consid`ere la propri´et´eQ n:P0etP1et...etPn.Exercice 5.D´emontrer que la suite???u
0= 1 u 1= 2 u n+2= 3un+1-2un, n?0d´efinie par r´ecurrence admet pour forme expliciteu n= 2n, n?0.D´efinition 1.
Symbole somme´Etant donn´es un entier naturelnnon nul etnnombresa1, a2, ... ,anr´eels ou complexes, on note :
1?k?n ak= k=n? k=1 ak=a1+a2+···+an