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Tronc Commun Série : L'ordre dans R Corrigé de l'exercice 1 Soit n*Îℕ 1) ( )( )1 2 1 2 11 1 1n n na bn n n n n n+ - -- = - = =+ + + On a n*Îℕ donc 0n> et 1n³ Donc ( )1 0n n+ > et 1 0n- £ Donc ( )101nn n-£+ Donc 0a b- £ Et par suite a b£ 2) ( ) ( )( )( )( )( )( )( )22 22 11 2 2 1 11 2 1 2 1 2 1 2n n nn n n n n na bn n n n n n n n+ - ++ + - - - -- = - = = =+ + + + + + + + On a n*Îℕ donc 0n> Donc ( )( )1 2 0n n+ + > Donc ( )( )101 2n n-<+ + Donc 0a b- < Et par suite a b< 3) 1 111 1 1n n na b nn n n- - -- = - + = =+ + + On a 1 0n+ > Donc 101n-<+ Corrigé de l'exercice 2 1) Soient a et b deux réels strictement positifs ( )2 2222a b a b abb a aba bab+ - + - = -= On a ( )20a b- ³ et 0ab>
Tronc Commun Série : L'ordre dans R Donc ( )20a bab-³ Donc 2 0a bb a + - ³ Et pare suite 2a bb a+ ³ pour tous a et b deux réels strictement positifs. 2) ( )1 11 1 2a b a ba ba b b a b a + + = + + + = + + 3) Soient a et b deux réels strictement positifs D'après le résultat de la question 1) , on a : 2a bb a+ ³ Donc 2 4a bb a+ + ³ Et par suite ( )1 14a ba b + + ³ pour tous a et b deux réels strictement positifs. Corrigé de l'exercice 3 Soient a et bdeux réels tels que 1a³ et 1b³. ( )( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )2 221 1 1 2 1 1 11 2 1 1 11 1 2 1 1 11 1 2 1 1 11 1 2 1 1 11 1 1a b ab a a b b aba ab b a ba b b a ba b a ba b a ba b- + - - = - + - - + - -= - + - + - - -= - - - + - - -= - - - + - - - = - - - - - - + = - - - - Puisque ( )( )21 1 1 0a b - - - - £ alors ( )( )2 21 1 0a b ab- + - - £ Donc ( )( )2 21 1a b ab- + - £ Et par suite 1 1a b ab- + - £ pour tous a et b deux réels strictement positifs. (Rq : 1 1 0a b- + - ³ et 0ab³)
Tronc Commun Série : L'ordre dans R Corrigé de l'exercice 4 1) Soient x et y deux réels positifs tels que 1x y+ = On a ( )20x y£ - Donc 0 2x y xy£ + - Donc 2xy x y£ + Et puisque 1x y+ = alors 2 1xy£ Donc 4 1xy£ D'où 14xy£ 2) Soit nÎℕ : On a : ( )( )( )1 1 1 1 1 11 1 1 1n nn n nn n n nx yx y x yxy xy xy + + + = + + + = + + D'après le résultat de la question 1) on a : 14xy£ donc ( )( )212nnxy³* On sait que ()20n nx y- ³ donc ( )2nn nx y xy+ ³ Donc ( )( )2n nnnx yxyxy+³ Et en utilisant ( )* : Il est clair que : ( )22 2nnxy³ ´ D'où ( )( )2 2n nnnx yxy+³ ´** D'après ( )*et ( )** : ( )( )211 1 2 2 2n nn nn nx yxy xy++ + ³ + ´ + D'où ( )21 11 1 1 2nn nx y + + ³ + pour tout nÎℕ .
Tronc Commun Série : L'ordre dans R Corrigé de l'exercice 5 1) Soient xet ydeux réels tels que : 0x y< < On a x y
Tronc Commun Série : L'ordre dans R donc 21 94 4y£ £ donc 29 14 4y- -£ - £ donc 2 29 1 1 31 1 4 24 2 4 2x y x y- + + £ - + + £ - + + d'où 1 294 4E£ £ 2) ( )( )2 2 2 21x y x y x xy x xy y y x y x y E+ - + = - + + - + = - + + = On a 1 2x£ £ et 1 32 2y£ £ Donc 3 72 2x y£ + £ et 1 512 2x y£ - + £ Donc ( )( )3 3514 4x y x y£ + - + £ Et par suite 3 354 4E£ £ 3) On a : d'après le résultat de la question 1) : 1 29,4 4E Î et d'après le résultat de la question 2) :3 35,4 4E Î donc 1 29 3 35, ,4 4 4 4E Î I d'où 3 29,4 4E Î .
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