Produit maximal de deux nombres connaissant leur somme
Le produit de deux nombres dont la somme des carrés est constante est maximal lorsqu’ils sont égaux 2°) Démonstration (dans le cadre algébrique*) x et y sont deux réels tels que x y a 2 2 où a est un réel fixé (positif, bien entendu)
Nombre pair - Nombre impair - académie de Caen
Produit de deux nombres : Exemples : Produit de deux nombres pairs : 2 x 4 = 8 ( pair ) Produit de deux nombres impairs : 3 x 5 = 15 ( impair ) Deux nombres sont dits de même parité s’ils sont : • Soit tous les deux pairs • Soit tous les deux impairs
ge Abdellah ElAyachi - MATHAPIC
Le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel dont : * le numérateur est le produit des deux numérateurs des deux facteurs
Multiplication des relatifs - Cours - académie de Caen
Le produit de deux nombres relatifs est un nombre relatif ayant pour signe : + si les deux nombres relatifs sont de même signe - si les deux nombres relatifs sont de signes différents pour partie numérique ( ou distance à zéro ) le produit des parties numériques des deux nombres relatifs Exemples : ( + 2 ) x ( + 3 ) = + 6
MEEF-M1 / UE2 / Fiche Arithmétique - CRPE : à nous deux
Le produit de deux nombres pairs consécutifs est donc toujours multiple de 8 (ou divisible par 8) L’affirmation 3 est vraie Affirmation 4 : Les nombres 231 567 808 771 et 3 457 799 045 311 n’ont pas de multiple commun
ACTIVITE 1 : Multiplication de deux nombres relatifs
Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est • Etudions le cas suivant : multiplier deux nombres de même signe II) Multiplication de deux nombres de même signe • Multiplier deux nombres positifs entre eux ne pose aucun problème • , Multiplions maintenant deux nombres négatifs entre eux
1 sur 4 NOTION DE MULTIPLE, DIVISEUR ET NOMBRE PREMIER
Montrer que le produit de deux entiers consécutifs est un nombre pair Soit deux entiers consécutifs n et n+1 - Si n est pair, alors il s’écrit sous la forme n = 2k, avec k entier Alors le produit des deux entiers consécutifs s’écrit : n(n+1) = 2k(2k+1) = 2k 1, avec k 1 = k(2k+1) entier Donc n(n+1) est pair
Chapitre 3 - Calculer avec les nombres relatifs
- La multiplication (ou division) de deux nombres relatifs de signe contraire est négatif Règle de calcul : Pour calculer la multiplication (ou division) de deux nombres relatifs : - On détermine son signe avec la règle des signes - On multiplie (on divise) les deux parties numériques ensemble Exemples : 3 × 5=15 15∶(−3)= −5
Correction DM de la semaine ( DM2)
Si le produit est négatif, alors les deux nombres n’ont pas le même signe, Si leur somme est négative, alors la distance à 0 du nombre négatif est supérieure au positif Par exemple (: (−4 )×3= −12 ???????? −4++3)= −1
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Produit maximal de deux nombres
connaissant leur sommePartie A
I. Propriété (" règle du produit maximal »)Problème : Étant donnés deux nombres de somme fixée, comment faut-il les choisir pour que leur
produit soit maximal ?1°) Énoncé
Le produit de deux nombres dont la somme est constante est maximal lorsqu'ils sont égaux.2°) Démonstration (dans le cadre algébrique*)
x et y sont deux réels tels que x + y = a où a est un réel fixé. On cherche x et y tels que le produit xy soit maximal. a) Une identité à connaître : 2 2 4 x y x yxy On démontre cette formule en développant le membre de droite. On montre ainsi que l'on obtient le membre de gauche.Cette formule permet - entre autre - de calculer le produit de deux nombres connaissant leur somme et leur
différence (sans calculer ces deux nombres). b) Conséquence :On a : 22
4 a x yxy .Or 2x y 0 d'où 2x y 0
Par suite, on a : 22a x y 2a.
D'où 22
4 a x y 2 4 a.On en déduit que : xy
2 4 a. Il y a égalité si et seulement si x - y = 0 soit x = y.Dans ce cas, 2
ax y et 2 4 axy.3°) Autre démonstration possible (dans le cadre des fonctions*)
Avec une étude de fonction (fonction polynôme du second degré).La condition x + y = a donne y = a - x.
Donc xy = x(a - x) = 2ax x.
On considère la fonction f : x 2ax x.
Il s'agit d'une fonction polynôme du second degré. On connaît les variations d'une fonction polynôme du second degré.On calcule donc la valeur charnière : 2 1 2
a a x - 2 a +Variations de f
2 4 a22 2 2
2 2 2 2 4 4
a a a a a af a La fonction f atteint un maximum sur atteint en 2 a.Donc le produit xy est maximal lorsque 2
ax.Dans ce cas, on a : 2 2
a ay a .Donc le produit xy est maximal lorsque 2
ax y . II. Application à un problème d'optimisation célèbreProblème : Parmi tous les rectangles de périmètre donné, quel est celui qui a la plus grande aire ?
1°) Propriété
Parmi tous les rectangles de périmètre donné, celui qui a la plus grande aire est le carré.
2°) Démonstration
On considère un rectangle de périmètre P donné.Soit l la largeur du rectangle et L sa longueur.
L lOn a 2(l + L) = P d'où 2
Pl L .
L'aire du rectangle est égale à l L.
D'après la " règle du produit maximal », l'aire du rectangle est maximale lorsque 4Pl L .
Dans ce cas, le rectangle est un carré (car un rectangle qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un
carré).III. Généralisation
La règle du produit maximal reste vraie pour le produit de n nombres, n étant un entier naturel strictement
supérieur à 2. La démonstration est cependant hors des connaissances de 1ère.Partie B
I. Propriété
Problème 2 : Étant donné deux nombres dont la somme des carrés est constante, comment faut-il les choisir
pour que leur produit soit maximal ?1°) Énoncé
Le produit de deux nombres dont la somme des carrés est constante est maximal lorsqu'ils sont égaux.
2°) Démonstration (dans le cadre algébrique*)
x et y sont deux réels tels que 2 2x y a où a est un réel fixé (positif, bien entendu).
On cherche x et y tels que le produit xy soit maximal. a) Une identité à connaître : 22 22 x y x yxy On démontre cette formule en développant le membre de droite. On montre ainsi que l'on obtient le membre de gauche. b) Conséquence :
On a : 2
4 a x yxy .Or 2x y 0 d'où 2x y 0
Par suite, on a : 2a x y a.
D'où 2
2 a x y 2 a.On en déduit que : xy 2
a. Il y a égalité si et seulement si x - y = 0 soit x = y.Exercices
1. Soit x et y deux nombres tels que x + y = 6 et x - y = 1.
Déterminer xy sans calculer les nombres x et y.2. Soit x et y deux nombres tels que 3x + 2y = 5.
Déterminer x et y tels que xy soit maximal.
3. Soit C un cercle de centre O et de rayon R.
Soit A et B deux points de C tels que (OA) (OB).Pour tout point M de l'arc AB, on note H et K les points appartenant respectivement à (OA) et à (OB) tels que