euilleF dexercices 2 : Arithmétique (exercices supplémentaires)
le produit de deux nombres pairs consécutifs est divisible par 8 Cette assertion est-elle vraie ou fausse? Justi er Exercice 4 (d'après CRPE 2013) Déterminer le plus grand diviseur commun de 18 et 164330258643 Exercice 5 (2014) Emma propose à son ami Jules de lui donner ses bon-bons à la condition qu'il trouve exactement combien elle
1 Réponse E 2 D C m n - le Kangourou des mathématiques
Réponse B Pour être sûr que le produit soit divisible par 4, il suf-fit de lui imposer de contenir deux nombres pairs Pour être certain que cela soit réalisé, dans le pire des cas, il faut prendre les 50 nombres impairs et 2 nombres pairs C’est donc 52 cartes qu’il faut tirer 13
NOTION DE MULTIPLE, DIVISEUR ET NOMBRE PREMIER I Nombres entiers
Alors le produit des deux entiers consé n(n+1) = (2 k+1)(2 k+2) = 2( 2 Donc n(n+1) est pair Dans tous les cas, le produit de deux entiers consé IV Nombres premiers Définition : Un nombre est premier et lui-même Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, Cette liste est infinie Remarque : Le nombre 1 n’est pas premier car il n’a
Arithmétique
4 Tous les nombres pairs sont divisibles par 2, ils ne peuvent donc être premiers entre eux 5 3 et 5 sont deux nombres impairs et premiers entre eux Exercice** 22 : La décomposition du nombre de filles en produit de facteurs premiers, nous donne : 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1 Donc : 72 = 23 ×32 = 22×2×32 =4×18
Mémoiresurlathéoriedesrésidusdans lesproportionsgéométriques(fin)
mais i(A), i(B), i(L) sont des nombres pairs, par consé-quent non premiers entre eux Leur plus petit multiple com* mun est donc inférieur à leur produit ou à /(P) Donc on aura: Ainsi il n'y a pas de racines primitives dans tout système dont la base est le produit de plusieurs nombres premiers im-pairs 36 Posons
Corrigé : Envoi darithmétique
est capable de deviner le nombre s : on en déduit que parmi tous les nombres de la forme d+p=d 1 pour d diviseur de p, un seul n'est pas premier et ce nombre est s 1 = 135 Or, pour d = 1, 1+p 1 n'est pas premier, donc p = s 1 = 135 On en déduit immédiatement que les deux nombres recherchés sont 1 et 135
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elle exige que le plus grand des deux nombres premiers p* p', inégaux et supérieurs à l'unité, divise l'autre aug-menté d'une unité, ce qui exige que p et p' soient consé-cutifs et, par suite, égaux aux nombres 2 et 3 *, donc on a pp' = 6 = 14-2 + 3 = 1 2 3; d'où il suit que 6 est le seul nombre positif doublement parfait Remarque
Note sur les nombres parfaits
plusieurs nombres doublement parfaits, c'est-à-dire égaux à la somme et au produit de leurs aliquoles Pour le savoir, il suffit évidemment de chercher si, parmi les nombres parfaits de seconde espèce, qui sont tous donnés par les formules (5) et (6), il en est d'égaux à la somme de leurs aliquoles Or on reconnaît immédia-
Anneaux, morphismes et idéaux - Éditions Ellipses
3 0est l’unique diviseur de zéro Dans un anneau intègre le produit de deux éléments non nuls est non nul Lemme 1 9 Dans un anneau intègre nous pouvons utiliser la règle de simplification suivante : pour a,b,cdans Aavec anon nul, la relation ab=acimplique b=c EXEMPLES L’anneau nul ({0},+,·)est un anneau unitaire avec 1A =0A Ilne
Pythagore
le nombre de lignes est n et le nombre de colonnes est 3 n – 1 Le nombre de points dans le rectangle est alors : n(3n + 1) C’est le double du nombre de points du nombre pentagonal de rang n On a donc : P nn(3 1) 2 n = − Nombres tridimensionnels On peut facilement poursuivre cette re-présentation des nombres avec les nom-
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