[PDF] Chapitre 6 Trigonométrie

GEOMETRIE Trigonométrie – les radians

• Un angle aura une mesure négative en radian lorsque le sens de parcours sur le cercle se fait dans le sens contraire du sens trigonométrique • La mesure principale d'un angle est sa mesure en radians dans l'intervalle ] - ; ] Application 2 : Déterminer la mesure principale d'un angle donné :

Chapitre 6 Trigonométrie

Le radian est noté rad Lorsque la mesure d'un angle en radian est un multiple ou une fraction de ˇ, on peut omettre la notation rad Méthode pour déterminer la mesure d'un angle en radian On utilise la proportionnalité d'un angle en radian et en degré ( 180 = ˇrad) Exemple Compléter le tableau suivant en donnant l'une des mesures de

TRIGONOMETRIE - Plus De Bonnes Notes

Trigonométrie Première générale – spécialité mathématique www plusdebonnesnotes com Page 1 I ANGLES ORIENTES 1 Le radian Définition : Le radian est une unité de mesure d’un angle comme le degré Il est défini comme la longueur

Chapitre 6 - Trigonométrie

2 1 Mesure d’un angle en radian sur le cercle trigonom etrique Remarque : La mesure d’un angle n’est pas unique L’ensemble des mesures di erent de multiples de 2ˇ Le radian est not e rad Lorsque la mesure d’un angle en radian est un multiple ou une fraction de ˇ, on peut omettre la notation rad

TRIGONOMÉTRIE ET FONCTIONS CIRCULAIRES

I) Le radian Le radian est une unité de mesure des angles choisie de façon que l'angle plat (180°) mesure π radians Ainsi, un arc de cercle de rayon R et d'angle α (en radians) a pour longueur : L = αR Le tableau de proportionnalité ci-dessous permet de convertir un angle de x degrés en un angle de α radians (ou inversement) degrés

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I- 2 : Le radian Définition 2:2 Soit C un cercle de centre O et de rayon R Un angle de 1 radian est un angle au centre (de sommet O) qui intercepte un arc du cercle de longueur R En particulier, sur un cercle de rayon unité, un angle de 1 radian intercepte un arc de longueur unité

-6 32 - Le travail, la clé de la réussite

Trigonométrie Première générale – spécialité mathématique www plusdebonnesnotes com Page 1 I ANGLES ORIENTES 1 Le radian Définition : Le radian est une unité de mesure d’un angle comme le degré Il est défini comme la longueur

Trigonométrie dans le cercle

), le cercle de centre O et de rayon 1 ~ı ~ O1 1 − −1 1 2 Le radian Définition 2 : La radian est une unité de mesure d’un angle comme le degré Il est défini comme la longueur de l’arc entre 2 points du cercle unité Le demi cercle unité a un longueur de π et donc correspond à un angle de π radian On a alors : 180˚=π rd 1

Chapitre 3 Trigonométrie

CHAPITRE 3 TRIGONOMÉTRIE Chapitre 3 Trigonométrie I Exercices 3 1 Cercle trigonométrique et mesure en radians Exercice 3 1 Dans un repère orthonormé (O, I, J), on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O de rayon 1 Sur ce cercle, le sens d’orientation positif est le sens contraire des aiguilles d’une montre

Trigonométrie en 1S : Une activité pour bien démarrer

En enroulant la droite des réels sur le cercle, on se rend compte que plusieurs réels repèrent le point M, ils sont de la forme t 2k avec k∈ ℤ B Le radian Définition: Le radian est une mesure d'angle proportionnelle au degré et caractérisée par πrad=180∘ Intérêts du radian :

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Chapitre : TrigonométriePremière S

1 Le radian : unité demesure d"angle

Définition 1.SoitC un cercle de centreO et de rayon 1. Un radian est la mesure d"un angle au centre qui intercepte unarc de longueur 1 du cercle. La mesure en radians d"un angle au centre est donc la longueurde l"arc que l"angle intercepte sur le cercleC. Propriétés 1.La mesure d"un angle en radians est proportionnelleà sa mesure en degrés.

Tableau de proportionnalité :

mesure de l"angle en degré360°180°90°60°45°30°...x° longueur de l"arc du cercle trigono- métrique2πππ 2 3 4

6...x×π

180
mesure de l"angle en radian2πππ 2 3 4

6...x×π

180
?=1 1rd ??A 11

2 Le cercle trigonométrique

On oriente les cercles du plan en choisissant un sens positif(ou direct) : le sens positif est le sens

contraire des aiguilles d"une montre.

613π6

49π4

37π3

25π2

-π611π6 -π47π4 -π35π3 -π23π2 2π 3 3π 4 5π 6 -π,π0,2π 5π 6 3π 4 2π 3 O?

Notes de cours : Ph DEPRESLEPage 1 sur9

Chapitre : TrigonométriePremière S

Définition 2.

Un cercle trigonométrique est un cercle dont le rayon est égal à 1 et qui est orienté dans le sens direct (on dit aussi le sens positif). La longueur du cercle trigonométrique est 2π La longueur du quart de cercle trigonométrique estπ 2 2 1

3 Mesures d"un angle orienté de deux vecteurs

3.1 Mesures

Définition 3.

Soient#»u,#»v deux vecteurs non nuls du plan. L"angle orienté des vecteurs#»u et#»v est le couple(#»u,#»v).

Pour mesurer cet angle on se place dans un cercle trigonométriqueCde centreO. N M u? v M

0αN

0 ?O Il existe deux pointsMetNuniques tels que#»u=# »OMet#»v=# »ON. On appelleM0etN0les intersections du cercle et des demi-droites [OM) et [ON) .

Une mesureαde (#»u,#»v) est la longueur d"un trajet deM0àN0sur le cercleC, affecté d"un signe + si

le sens du parcours est le sens direct, d"un signe - si le sens du parcours est le sens indirect.

Propriétés 2.Siαest une mesure de l"angle orienté?#»u,#»v?, alors l"ensemble des mesures de?#»u,#»v?est

l"ensemble des nombresα+k2π,k?Z

On note

?#»u,#»v?=α+k2πles mesures de l"angle orienté?#»u,#»v?

Ainsi dans la figure ci-contre :

# »CB,# »CA?

3+k2π;?# »BC,# »BA?

=-π6+k2π?# »AB,# »AC?

2+k2π,k?Z

30°?

B

A?C? ?

Remarque :

?# »AB,# »AC? =-?# »AC,# »AB?

Notes de cours : Ph DEPRESLEPage 2 sur

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Chapitre : TrigonométriePremière S

3.2 Mesure principale

Définition 4.#»u et#»v étant deux vecteurs non nuls du plan, il existe une unique mesure de l"angle

orienté?#»u,#»v?appartenantà l"intervalle]-π,π]. Cette mesureest appelée mesureprincipalede l"angle?#»u,#»v?.

Cette mesure correspond au trajet le plus court deM0àN0sur le cercle.

3.3 Vecteurscolinéaires

Les vecteurs

#»uet#»vnon nuls sont colinéaires si et seulement si?#»u,#»v?=0+k2πouπ+k2π,k?Z

ABCalignés si et seulement si?# »AB,# »AC? =kπ,k?Z (AB)??(CD) si et seulement si?# »AB,# »CD? =kπ,k?Z

3.4 Vecteursorthogonaux

Les vecteurs

#»uet#»vnon nuls sont orthogonaux si et seulement si?#»u,#»v?=π

2+kπ,k?Z

4 Mesure d"un angle géométrique

4.1 Définition

Définition 5.Soit A,P et Q trois points distincts deux à deux. Siαest la mesure principale de l"angle

orienté(# »AP,# »AQ), alors la mesure en radians de l"angle géométrique PAQ est|α|.

La mesure en radians d"un angle géométriqueest comprise entre 0 etπ.

5 Cosinus et Sinus

5.1 Définition

Définition 6.Dans le plan muni d"un repère orthonormé di- rect(O,#»i,#»j), onconsidèrelecercletrigonométriquedecentre O. A tout réelαon associe le point M sur le cercle tel queαsoit une mesure de l"angle(#»i,# »OM). cosαest l"abscissede M sinαest l"ordonnée de M

On note M(cosα,sinα)

sinα cosαα ?O? A? M

Propriétés 3.?α?R,-1?cosα?1

α?R,-1?sinα?1

α?R,sin2α+cos2α=1

Définition 7.Le cosinus et le sinus d"un angle orienté sont respectivement le cosinus et le sinus d"une

mesure quelconquede cet angle.

Notes de cours : Ph DEPRESLEPage 3 sur

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Chapitre : TrigonométriePremière S

5.2 Lesvaleursremarquables

α0π

6 4 3 2 sinα01 2 ?2 2 ?3 21
cosα1 ?3 2 ?2 2 1 20

5.3 Configuration du rectangle

-xπ-x

π+x

O?A(0)

?B(π2) ?M?

5.4 Configuration du triangle

MetM?sont symétriques par rapport à la 1erebissectrice d"équationy=x.

Donc cos?π

2-x? =sinx sin 2-x? =cosx. M ?etM??sont symétriques par rapport à l"axe des ordon- nées.

Donc cos?π

2+x? =-cos?π2-x? =-sinx sin 2+x? =sin?π2-x? =cosx.

M??(π2+x)M?(π2-x)

M(x) O

Notes de cours : Ph DEPRESLEPage 4 sur9

Chapitre : TrigonométriePremière S

5.5 Équations

Exemples :

1. Résoudre cosx=-?

3 2 cosx=-? 3 2

6+k2π

ou x=-5π

6+k2π,k?Z

5π 6 5π 6 -?3 2

2. Résoudre sin3x=12

sin3x=1 2

6+k2π

ou

3x=π

6+k2π,k?Z

?x=5π

18+k2π3ou

x=π

18+k2π3,k?Z

5π

6π6

1 2

Les solutions dans l"intervalle [0,2π] sont :

S [0,2π]=?π

Celles dans l"intervalle [-π,π] sont :

S -11π

Notes de cours : Ph DEPRESLEPage 5 sur

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Chapitre : TrigonométriePremière S

6 EXERCICES : Les exercices de base

1. Déterminer :

a. sin?2π 3? b. cos?5π6? c. sin?7π6? d. sin 4? e. cos?4π3? f. sin? -3π2?

2. Sachant quex??π

2,π?

(a) Déterminer cosxsachant que sinx=? 3 3 (b) Déterminer sinxsachant que cosx=-1 2

3. Résoudre sur [-π,π] :

a. cosx=-? 2

2b. sinx=12c.-cosx=-?

3

2d. sinx=-?

2 2

4. Résoudre sur [-π,3π] :

a. cosx=? 2

2b. sinx=-12c. cosx=-?

3

2d. sinx=?

3 2

5. Résoudre sur [-π,π] :

a. cos 2x=1

2b. 4sin2x-3=0 c. cos?

x-π4? 3 2

6. Résoudre sur [-π,π] :

a. cosx?1

2b. sinx?0 c. sinxcosx?0

Notes de cours : Ph DEPRESLEPage 6 sur

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Chapitre : TrigonométriePremière S

7 EXERCICES : Les exercices de base(corrigés)

1. a. sin

?2π 3? =sin?

π-π3?

=sin?π3? 3 2 b. cos?5π 6? =cos?

π-π6?

=-cos?π6? 3 2 c. sin?7π 6? =sin?

π+π6?

=-sin?π6? =-12 d. sin? 4? =-sin?π4? 2 2 e. cos?4π 3? =cos?

π+π3?

=-cos?π3? =-12 f. sin? -3π 2? =-sin?3π2? =-sin?

π+π2?

=sin?π2? =1quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46