I - Le raisonnement par récurrence
Le réel r est appelé raison de la suite arithmétique n u Remarques : - erUne suite arithmétique est définie par récurrence par son 1 terme u 0 et sa raison r : 0 n+1 n u donné u u r ® ¯ - Pour une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs est constante, égale à la raison Exemples : - er(u n
I Suites Raisonnement par Récurrence
suites particulières que sont les suites arithmétiques et géométriques Chose nouvelle cette année, le raisonnement par récurrence va nous permettre d’appré-hender l’infini en utilisant les propriétés de N Après une petite période d’adaptation, ce type de raisonnement montrera toute sa puissance dans la démonstration de
Les suites
Le raisonnement par récurrence a été inventé par Fermat et Pascal au XVIIe siècle, le principe de démonstration a été axiomatisé par Péano à la fin du XIXè siècle et son nom définitif lui a probablement été donné par Poincarré en 1902 A Le raisonnement par récurrence Principe du raisonnement par récurrence
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques
Raisonnement par récurrence Suites numériques Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence Savoir mener un raisonnement par récurrence Ce type de raisonnement intervient tout au long de l’année et pas seulement dans le cadre de l’étude des suites Limite finie ou infinie d’une suite
LES SUITES (Partie 1) - Maths & tiques
LES SUITES (Partie 1) I Raisonnement par récurrence 1) Le principe C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), ci-contre, que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence Le nom a probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912) On considère une file illimitée de dominos placés côte à côte
Raisonnement par récurrence, sa place et ses difficultés au
Comme nous avons cité dans l'introduction, nous nous intéressons dans le présent travail sur le raisonnement par récurrence, vu la difficulté que rencontrent les apprenants lors de sa mise en œuvre Certes, le raisonnement par récurrence est une démarche qui est trop utilisé dans les démonstrations en mathématiques
Suites numériques Limites et raisonnement par récurrence
Il est là, le raisonnement par récurrence, avec ses deux contraintes : fonctionner au départ, et se transmettre de l’un au voisin Alors tout le monde est atteint a) Principe du raisonnement par récurrence Pour démontrer par récurrence qu’une proposition Pn est vraie pour tout entier naturel n, on procède en deux étapes et on conclut
Suites numériques 1 Raisonnement par récurrence
Suites numériques 1 Raisonnement par récurrence En mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d’un entier naturel Par exemple la proposition suivante : pour tout entier , on a ou encore celle ci-dessous Exemple introductif Soit un nombre complexefixé On a admis dans le cours sur les complexes qu’alors,
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LES SUITES (Partie 1)
I. Raisonnement par récurrence
1) Le principe
C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), ci-contre, que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence. Le nom a probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912). On considère une file illimitée de dominos placés côte à côte. La règle veut que lorsqu'un domino tombe, alors il fait tomber le domino suivant et ceci à n'importe quel niveau de la file. Alors, si le premier domino tombe, on est assuré que tous les dominos de la file tombent. Définition : Une propriété est dite héréditaire à partir du rang n 0 si lorsque pour un entier k n 0 , la propriété est vraie, alors elle est vraie pour l'entier k+1. Dans l'exemple, si on suppose qu'un domino (k) tombe alors le domino suivant (k+1) tombe également.Principe du raisonnement par récurrence :
Si la propriété P est : - vraie au rang n
0 (Initialisation), - héréditaire à partir du rang n 0 (Hérédité), alors la propriété P est vraie pour tout entier n n 0 Dans l'exemple, le premier domino tombe (initialisation). Ici n 0 = 1. L'hérédité est vérifiée (voir plus haut).On en déduit que tous les dominos tombent.
2 Remarque : Une démonstration par récurrence sur les entiers est mise en oeuvre lorsque toute démonstration "classique" est difficile.2) Exemples avec les suites
Méthode : Démontrer par récurrence l'expression générale d'une suiteVidéo https://youtu.be/H6XJ2tB1_fg
On considère la suite (u
n ) définie pour tout entier naturel n par +2+3 et =1.Démontrer par récurrence que :
+1 • Initialisation : à Le premier domino tombe. 0+1 =1=La propriété est donc vraie pour n = 0.
• Hérédité : - Hypothèse de récurrence : à On suppose que le k-ième domino tombe. Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie : 0 +1 - Démontrons que : à Le k+1-ième domino tombe-t-il ? La propriété est vraie au rang k+1, soit : 0#$ +2 0#$ 0 +2+3, par définition +1 +2+3, par hypothèse de récurrence +2+1+2+3 +4+4 +2à Le k+1-ième domino tombe.
• Conclusion : à Tous les dominos tombent.La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe
de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : +1 Méthode : Démontrer la monotonie par récurrenceVidéo https://youtu.be/nMnLaE2RAGk
On considère la suite (u
n ) définie pour tout entier naturel n par 3 +2 et =2.Démontrer par récurrence que la suite (u
n ) est croissante. On va démontrer que pour tout entier naturel n, on a : • Initialisation : =2 et 3 +2= 3×2+2=
6 3 >2 donc 3 • Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie : 0#$ 0 - Démontrons que : La propriété est vraie au rang k+1 : 0#. 0#$On a
0#$ 0 donc : 3 +1 3 et donc 3 +1 +2≥ 3 +2 soit 0#. 0#$ • Conclusion :La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe
de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : et donc la suite (u n ) est croissante.3) Inégalité de Bernoulli
Soit un nombre réel a strictement positif.
Pour tout entier naturel n, on a :
1+
≥1+.Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/H6XJ2tB1_fg
• Initialisation : - La propriété est vraie pour n = 0.En effet,
1+
=1 et 1+0×=1. • Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie :1+
0 ≥1+ - Démontrons que : la propriété est vraie au rang k+1, soit :1+
0#$ ≥1+ +11+
0 ≥1+, d'après l'hypothèse de récurrence.Donc :
1+
1+
01+
1+
Soit :
1+
0#$ ≥1+++Soit encore :
1+
0#$ ≥1+ +1 ≥1+ +1 , car ≥0.Et donc :
1+
0#$ ≥1+ +1 • Conclusion :La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe
de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n. Remarque : L'initialisation est indispensable sinon on peut démontrer des propriétés fausses ! En effet, démontrons par exemple que la propriété "2 n est divisible par 3" est héréditaire sans vérifier l'initialisation. 4