[PDF] FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3



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ETUDE DU SIGNE D’UN POLYNOME OU D’UNE FONCTION RATIONNELLE

ETUDE DU SIGNE D’UN POLYNOME OU D’UNE FONCTION RATIONNELLE 1°) Polynôme de degré 1 Pour étudier le signe de a x + b (avec a ≠ 0) , on calcule la racine de ce polynôme, c'est-à-dire la valeur de x qui annule a x + b : x = - b a Pour x > - b a on a : a x + b du signe de a x - ∞ - b a + ∞ a x + b Signe de – a 0 signe de a



Étude du signe d’un polynôme du second degré Aspect

Étude du signe d’un polynôme du second degré Aspect graphique et aspect algébrique Dans le programme de Première STAE, il est indiqué dans les compétences attendues à propos des polynômes du second degré « d’utiliser à la fois les aspects graphiques, numériques et algébriques pour comprendre la résolution » Dans les



FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3

2 étant un nombre positif, le signe de 2(#+1)(#−2)(#−5) dépend du signe de chaque facteur : x + 1, x – 2 et x – 5 On étudie ainsi le signe de chaque facteur et on présente les résultats dans un tableau de signes x + 1 = 0 ou x – 2 = 0 ou x – 5 = 0 x = –1 x = 2 x = 5 –1, 2 et 5 sont donc les racines du polynôme f



Signe d’un polynôme Inéquations Mini Cours

freemaths Mathématiques Signe d’un polynôme et Inéquations 4 F Démonstration à connaître: Théorème: Un polynôme du second degré a x2 + b x + c ( a 0 ) est toujours du signe de " a ", sauf dans le cas > 0 pour les valeurs comprises entre les deux racines



Les fonctions polynômes de degré 2

2 Signe d’une fonction polynôme du second degré Pour étudier le signe d’une fonction polynôme du second degré de la forme x −→ a(x − x1)(x − x2), on étudie le signe de chacun des trois facteurs et on dresse un tableau de signes Méthode



Racines d’un polynˆome - univ-rennes1fr

Racines d’un polynˆome 3 1 Fonction polynˆome D´efinition 3 1 Soit A=a0 + a1X+···+ anXn un polynomeˆ de K[X] Onappellefonction polynoˆme associe´e a` A l’application A:˜ K K qui a` tout x de K fait correspondre l’´el´ement A(˜ x)=a0 +a1x+···+anxn de K Remarque Comme on le verra plus loin, la confusion entre un polynome



Polynôme Du second degré

Etude du signe du polynôme De même que l’étude de la croissance, l’étude du signe d’une fonction est absolument fondamentale Dans le cas du polynôme du second degré, il nous sera possible d’utiliser les outils vus précédemment pour gagner du temps lors de notre étude



wwwmathsenlignecom P E OLYNOME DU SECOND DEGRE XERCICES 4A

Etablir le tableau de signe de chaque polynôme : C(E(EXERCICE 4A 2 Etablir le tableau de signe de chaque polynôme : 7 x EXERCICE 4A 3 Déterminer la/les racine/s de chaque polynôme (si c’est possible) puis établir son tableau de signe : A(x) = –15x 2 – x + 2 B(x) = x – 4 C(x) = 2x – 5x



SECOND DEGRÉ (Partie 2)

Soit f une fonction polynôme du second degré, telle que : f(x)=ax2+bx+c a) Cas où Δ < 0 Dans ce cas, l’équation ax2+bx+c=0 n’a pas de solution donc la parabole ne traverse pas l’axe des abscisses Selon le signe de a, elle est soit au dessus, soit en dessous de l’axe des abscisses



Polynômes de degré 2 - Free

Tester si un nombre réel est racine d’un polynôme de degré 2 Factoriser un polynôme de degré 2 donné dont les racines réelles sont connues Déterminer les racines et le signe d’un polynôme de degré 2 donné sous forme factorisée Déterminer la deuxième solution d’une équation du

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FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3

Partie 1 : Définition

Exemples et contre-exemples :

=4 +1 -2 sont des fonctions polynômes de degré 3. =1+ -2 =-+4 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). =2 +5-1 est une fonction polynôme de degré 5. Définition : Les fonctions définies sur ℝ par ⟼ ou ⟼ + sont des fonctions polynômes de degré 3. Les coefficients et sont des réels donnés avec ≠0.

Partie 2 : Représentation graphique

Propriétés :

Soit une fonction polynôme de degré 3, telle que - Si <0 : est strictement croissante. - Si <0 : est strictement décroissante.

2 sur 4

Partie 3 : Forme factorisée d'une fonction polynôme de degré 3

Exemple :

La fonction définie par

=5 -4 -1 +3 est une fonction polynôme de degré 3 sous sa forme factorisée. Si on développe l'expression de à l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient bien l'expression de degré 3 : =5 -10 -55+60 Définition : Les fonctions définies sur ℝ par sont des fonctions polynômes de degré 3.

Les coefficients ,

et sont des réels avec ≠0.

En partant de l'expression développée précédente, on peut vérifier que 4, 1 et -3 sont des

racines du polynôme . 4 =5×4 -10×4 -55×4+60=320-160-220+60=0 1 =5×1 -10×1 -55×1+60=5-10-55+60=0 -3 =5× -3 -10× -3 -55× -3 +60=-135-90+165+60=0

4, 1 et -3, solutions de l'équation

=0, sont donc des racines de f. Propriété : Soit la fonction définie sur ℝ par

L'équation

=0 possède trois solutions (éventuellement égales) := et appelées les racines de la fonction polynôme f. Méthode : Étudier le signe d'un polynôme de degré 3

Vidéo https://youtu.be/g0PfyqHSkBg

Étudier le signe de la fonction polynôme définie sur ℝ par : =2 +1 -2 -5

Correction

2 étant un nombre positif, le signe de 2

+1 -2 -5 dépend du signe de chaque facteur : +1, -2 et -5. On étudie ainsi le signe de chaque facteur et on présente les résultats dans un tableau de signes. +1=0 ou -2=0 ou -5=0 =-1 =2 =5

3 sur 4

-1, 2 et 5 sont donc les racines du polynôme . En appliquant la règle des signes dans le tableau suivant, on pourra en déduire le signe du produit =2 +1 -2 -5 On en déduit que ()≥0 pour ∈ -1;2

5;+∞

et -∞;-1 2;5

La représentation de la fonction à l'aide d'un logiciel permet de confirmer les résultats

établis précédemment.

Partie 4 : Équation de la forme x

3 = c

Propriété :

L'équation

=, avec c positif, possède une unique solution

Cette solution peut également se noter

4 sur 4

Méthode : Résoudre une équation du type x 3 = c

Vidéo https://youtu.be/4tQJRkpIH3k

Résoudre dans ℝ les équations : a) =27, b) 2 -6=16

Correction

a) On cherche le nombre qui, élevé au cube, donne 27. Ce nombre est égal à la racine cubique de 27, soit : = 27
=3. b) 2 -6=16

2

=16+6

2

=22 =11 L'équation admet donc une unique solution = 11quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46