Le tricercle de Mohr - ac-rouenfr
Le tricercle de Mohr Author: Collège Marceron Created Date: 11/24/2018 10:03:08 PM
Cercle de Mohr2 - ancientportsantiquescom
Cette représentation graphique permet de visualiser facilement les relations existant entre les contraintes Pour dessiner ce cercle, il faut placer les contraintes normales x et y sur les abscisses et "xy et -" xy sur les ordonnées, nous obtenons alors les points A et B où [AB] est le diamètre du cercle de Mohr Le point C d’abscisse
Le tricercle de Mohr - Académie de Strasbourg
Le tricercle de Mohr Énoncé On considère un segment [AB] tel que AB = 10 cm et un point C quelconque du segment [AB] Soit 1 le demi-cercle de diamètre [AB], 2 le demi-cercle de diamètre [AC] et 3 le demi-cercle de diamètre [CB] Dans cet exercice, nous nous intéresserons au périmètre de la figure coloriée 1
Mécanique des solides déformables - FUN-MOOC
Comme nous avons en général trois valeurs propres distinctes, on obtient un ensemble de trois cercles appelé tri cercles de Mohr 6 On démontre que si le vecteur normal n’appartient à aucun des plans principaux, l’extrémité du vecteur image est à l’intérieur du tricercle de Mohr Les projections du vecteur image sur les vecteurs
Séance 6 : Contraintes - Free
C Cercle de Mohr Le tricercle de Mohr se représente ainsi : Les équations de la MMC expriment que l’extrémité du vecteur contrainte se situe dans la zone bleue, c’est-à-dire à la fois à l’intérieur du cercle et à l’extérieur des cercles et
Séance 9 : Elastoplasticité - Free
en particulier par le grand cercle de Mohr (correspondant au plan de cisaillement maximal) Un état de contrainte donné correspondra à de l’élasticité si et seulement si la totalité du tricercle de Mohr qui lui correspond est strictement à l’intérieur du domaine élastique
EXERCICE 1 - Bejaia
6) Représentation dans le plan de Mohr 7) Angle entre les deux repère On voit sur le cercle que l’angle est de 90° entre le repère principal et le repère (2) alors que le repère (1) coïncide avec le repère principal D’où l’angle entre les deux repères (1) et (2) est de 45° ????????????=− = − s ????????= = s−
[cel-00530377, v1] Mécanique des milieux continus
2 3 Représentation de Mohr 25 2 3 1 Tricercle de Mohr 25 2 3 2 Cercle de Mohr et pole 26 exemple, dans le cas de la MMC classique objet de ce cours, il f aut écrire pour tout
Mécanique des milieux continus
G Legrain qui a réalisé le site web de ce cours et toutes les figures d’une main de maître Nicolas MOËS, Nantes, Septembre 2003 École Centrale de Nantes : cours de mécanique des milieux continus page 4
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Mécanique des milieux continus
Séance 9 : Elastoplasticité
Guilhem MOLLON
GEO3 2012-2013
Plan de la séance
A. Comportement des solides réels
1. Observation expérimentale
2. Notion de limite élastique
3. Représentation graphique
B. Exemples de critères de plasticité
1. Critère de Rankine
2. Critère de Tresca
3. Critère de Von Mises
4. Critère de Mohr-Coulomb
2A. Comportement des solides réels
Séance 9
4A. Comportement des solides réels
Beaucoup de matériaux solides réels ont un comportement élastique linéaire isotrope identique à celui décrit dans les cours précédents, mais seulement dans un domaine de contraintes donné. essai de traction pure, soit à un tenseur des contraintes de la forme suivante : On augmente progressivement la contrainte , qui est la seule non-nulle, et on observe la réponse du matériau en déformation axiale.1. Observation expérimentale
5A. Comportement des solides réels
très nombreux autres matériaux : On va détailler les différentes parties de ce graphique.1. Observation expérimentale
6A. Comportement des solides réels
Pour les faibles valeurs de la contrainte imposée, toutes les hypothèses du comportement élastique linéaire isotrope sont vérifiées, et on obtient directement la déformation axiale en appliquant la loi de Hooke :1. Observation expérimentale
Dans ce cas, on a donc une
proportionnalité entre contraintes est dans le domaine élastique.En particulier, on peut relâcher
la contrainte appliquée, et la retourner à O·pPMP initial (point O). réversible. 7A. Comportement des solides réels
Si on continue à augmenter la contrainte appliquée au matériau, on va atteindre un changement de comportement, correspondant au point B. Ce point correspond à une valeur maximale de la contrainte supportable par le1. Observation expérimentale
Au-delà du point B, il Q·HVP plus
possible G·MXJPHQPHU la contrainte appliquée au capable de " répondre » à cette sollicitation.Il va alors se déformer de
manière continue sous une contrainte constante : il entre en plasticité. 8A. Comportement des solides réels
rupture du matériau. Au point C, par exemple, il est encore possible de décharger O·pSURXYHPPH (de réduire la contrainte ).1. Observation expérimentale
Dans la plupart des matériaux, on
retrouve alors un comportementélastique.
déplacé le point de contrainte nulle : même reste un déplacement non-nul. On appelle ce phénomène déformations permanentes. On dit que la plasticité est un comportement irréversible. 9A. Comportement des solides réels
Si on recommence à charger, on va suivre le comportement élastique, puis atteindre de nouveau le palier de plasticité au point C, et retrouver un écoulement plastique. Si par la suite on atteint des niveaux de déformation suffisamment élevés, on atteindra finalement la rupture du matériau au point F, pour une déformation .1. Observation expérimentale
10A. Comportement des solides réels
Si on conduit une expérience réelle sur un matériau simple, avec un peu de chance le1. Observation expérimentale
11A. Comportement des solides réels
Selon les contextes, la plastification est parfois souhaitée, et parfois redoutée. Dans tous les contextes, la plastification être contrôlée.2. Notion de limite élastique
12A. Comportement des solides réels
contrainte celui-ci va entrer en plasticité. On va chercher à localiser le point B, ou plutôt à
connaître la valeur de la contrainte . plasticité. Ce critère déterminera si, pour une contrainte donnée, on est dans le domaine élastique ou plastique.2. Notion de limite élastique
13A. Comportement des solides réels
générale sous la forme suivante :Par ailleurs, il doit permettre de définir si on est dans le domaine élastique ou plastique. En un
point donné et à un instant donné, on utilisera de manière conventionnelle la méthode suivante : -Si , le matériau est dans le domaine élastique -Si , le matériau est dans le domaine plastique - correspond à une impossibilité physique2. Notion de limite élastique
14A. Comportement des solides réels
dépend très largement du matériau considéré, et peut prendre des formes très variées.
Dans un matériau isotrope, le critère de plasticité doit être le même dans toutes les directions.La fonction doit donc être invariante par rotation, et on peut la réécrire en fonction
des seuls invariants du tenseur de contrainte :Avec :
2. Notion de limite élastique
15A. Comportement des solides réels
est défini par : tel domaine dans le plan de Mohr.3. Représentation graphique
16A. Comportement des solides réels
Selon cette représentation, un état de contrainte est défini par un tricercle de Mohr, et en particulier par le grand cercle de Mohr (correspondant au plan de cisaillement maximal). Un état de contrainte donné correspondra à de O·pOMVPLŃLPp si et seulement si la totalité du tricercle de Mohr qui lui correspond est strictement à O·LQPpULHXU du domaine élastique.3. Représentation graphique
17A. Comportement des solides réels
Le domaine élastique correspond alors à une surface du plan de Mohr, qui doit respecter les conditions suivantes : -le domaine élastique est convexe -le domaine élastique est symétrique par rapport à O·M[H horizontal3. Représentation graphique
18A. Comportement des solides réels
Selon ces définitions, on peut alors dire que : -un cercle tangent à la limite du domaine correspond à de la plasticité -un cercle ne peut pas " sortir » du domaine, car cela correspondrait à des contraintes que le matériau ne pourrait pas reprendre3. Représentation graphique
A. Comportement des solides réels
le tenseur de contraintes suivant : Les deux autres contraintes principales sont nulles :3. Représentation graphique
A. Comportement des solides réels
Par conséquent, pour chacun des points A de la droite élastique, on peut définir levertical (car ). Plus la contrainte est élevée, plus le cercle est grand.
Lorsque le cercle est suffisamment grand pour être tangent au critère de plasticité dans le plan
lesquelles on a .3. Représentation graphique
A. Comportement des solides réels
Dans ce cas, le matériau entre en plastification : -> on ne peut plus faire encaisser de contraintes supérieures au matériau -> on ne peut pas construire de tricercle de Mohr plus grand sans sortir du domaine élastique -> on a donc atteint le point B, qui marque le début du pallier de plasticité.3. Représentation graphique
22A. Comportement des solides réels
les définir uniquement par le grand cercle de Mohr. Ils sont très répandus, notamment en mécanique des sols, car ils sont suffisants pour faire apparaître le cisaillement maximal. Or le cisaillement est souvent à O·RULJLQH de la plasticité.3. Représentation graphique
23A. Comportement des solides réels
O·HVSMŃH des trois contraintes principales.
3. Représentation graphique
B. Exemples de critères de plasticité
Séance 9
25B. Exemples de critères de plasticité
Le critère de plasticité de Rankine porte sur les contraintes maximales de traction et de compression que peut supporter un matériau. la plasticité (on obtient la contrainte de traction maximale ), puis en le soumettant compression maximale ).Il apparaît bien que le scalaire est strictement négatif lorsque les deux conditions
suivantes sont vérifiées : -la contrainte principale maximale est inférieure à la contrainte de traction admissible -la contrainte principale minimale est supérieure à la contrainte de compression admissible1. Critère de Rankine
26B. Exemples de critères de plasticité
le critère de Rankine permet également de faire apparaître la contrainte de cisaillement maximal :1. Critère de Rankine
Sur les matériaux réels, il est très rare de retrouver expérimentalement cette valeur par un essai de cisaillement. Le critère de Rankine est donc très imprécis. traction et compression. 27B. Exemples de critères de plasticité
maximale de la contrainte de cisaillement que le matériau peut reprendre. Casagrande), par un essai triaxial, par un essai de torsion, etc.Sa formulation mathématique est :
Dans cette expression, on reconnaît la valeur de la contrainte de cisaillement maximale existant en un point :Pour rester en élasticité, il faut donc que cette valeur reste inférieure à la limite .
2. Critère de Tresca
28B. Exemples de critères de plasticité
Graphiquement, le critère de Tresca est défini par deux lignes parallèles horizontales. On observe que le domaine élastique est infini dans la direction horizontale. Par2. Critère de Tresca
On utilise donc uniquement ce critère
sur des matériaux soumis à du cisaillement, ou alors on le restreint avec un critère de Rankine.F·HVP un critère très répandu en
mécanique des sols, car il décrit très bien le comportement en cisaillement G·XQH argile saturée et non drainée. 29B. Exemples de critères de plasticité
Le critère de Von Mises suppose que la plasticité est due à la partie purement déviatorique
du tenseur des contraintes. Sa formulation mathématique est donnée par : Sa formulation fait intervenir les trois contraintes principales, et pas seulement les deux contraintes principales extrêmes. Il est donc impossible de le représenter dans le plan de Mohr à cause de la présence de .3. Critère de Von Mises
30B. Exemples de critères de plasticité
élastique de forme cylindrique. En projection selon la direction méridienne, il est défini par un
cercle de rayon :